2015年陕西省高考数学试题及答案(理科)及解析

N={x|lgx≤0}=（0，1]，

得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．

故选：A．

∴该校女教师的人数为77+60=137，

故选：C．

函数取最小值ymin=﹣3+k=2，解得k=5，

∴y=3sin（x+φ）+5，

∴当当sin（x+φ）取最大值1时，

函数取最大值ymax=3+5=8，

故选：C．

∴=15，即=15，解得n=6，

故选：B．

该几何体是圆柱体的一半，

∴该几何体的表面积为

S几何体=π•12+π×1×2+2×2

=3π+4．

故选：D．

∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．

故选：A．

又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；

选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；

选项C正确，由向量数量积的运算可得（）2=||2；

选项D正确，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．

故选：B

x=2006，

x=2004

满足条件x≥0，x=2002

满足条件x≥0，x=2000

…

满足条件x≥0，x=0

满足条件x≥0，x=﹣2

不满足条件x≥0，y=10

输出y的值为10．

故选：C．

q=f（）=ln（）≥ln（）=p，

r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），

∴p=r＜q，

故选：B

则，

目标函数为 z=3x+4y．

作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．

由z=3x+4y得y=﹣x+，

平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，

此时z最大，

解方程组，解得，

即B的坐标为x=2，y=3，

∴zmax=3x+4y=6+12=18．

即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，

故选：D．

∴|z|=≤1，即（x﹣1）2+y2≤1，

∴点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部，

而y≥x表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形）

∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，

∴所求概率P==

故选：D．

若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b，

即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，

又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零整数．

若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈∅，不成立；

若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不为非零整数，不成立；

若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不为非零整数，不成立．

故选：A．

由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2

解得a=5

故答案为：5

∴=，∴p=2，

故答案为：2．

∴f'（0）=e0=1．

∵y=ex在（0，1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直

∴点P处的切线斜率为﹣1．

又y'=﹣，设点P（x0，y0）

∴

∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1

∴y0=1

∴点P（1，1）

故答案为：（1，1）

所以抛物线方程：y=，

横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：

2×=2（）=，

等腰梯形的面积为：=16，当前最大流量的横截面的面积16﹣，

原始的最大流量与当前最大流量的比值为：=1.2．

故答案为：1.2．

（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．

所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，

所以tanA=，可得A=；

（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，

△ABC的面积为：=．

（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．

∴BE⊥AC，

即在图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，

则BE⊥平面A1OC；

∵CD∥BE，

∴CD⊥平面A1OC；

（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，

由（Ⅰ）知BE⊥OA1，BE⊥OC，

∴∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角，

∴∠A1OC=，

如图，建立空间坐标系，

∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED

∴B（，0，0），E（﹣，0，0），A1（0，0，），C（0，0），

=（﹣，0），=（0，﹣），

设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），平面A1CD的法向量为=（a，b，c），

则得，令x=1，则y=1，z=1，即=（1，1，1），

由得，

取=（0，1，1），

则cos＜＞===，

∵平面A1BC与平面A1CD为钝二面角，

∴平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为﹣．

（Ⅱ）设T1，T2分别表示往、返所需时间，事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”，先求出P（）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.09，即P（A）=1﹣P（）=0.91．

T（分钟）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．

则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，

e===；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①

由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，

易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得

（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=．x1x2=，

由x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，

从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=•|x1﹣x2|=•

==，解得b2=3，

则有椭圆E的方程为+=1．

（Ⅱ）先求出，构造函数h（x）=fn（x）﹣gn（x）=1+x+x2+…++xn﹣，当x=1时，fn（x）=gn（x）．

当x≠1时，利用导数求得h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，得到fn（x）＜gn（x）．

则Fn（1）=n﹣1＞0，

Fn（）=1+．

∴Fn（x）在（，1）内至少存在一个零点，

又，∴Fn（x）在（，1）内单调递增，

∴Fn（x）在（，1）内有且仅有一个零点xn，

∵xn是Fn（x）的一个零点，∴Fn（xn）=0，

即，故；

（Ⅱ）由题设，，

设h（x）=fn（x）﹣gn（x）=1+x+x2+…++xn﹣，x＞0．

当x=1时，fn（x）=gn（x）．

当x≠1时，．

若0＜x＜1，h′（x）＞=．

若x＞1，h′（x）＜=．

∴h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，

∴h（x）＜h（1）=0，即fn（x）＜gn（x）．

综上，当x=1时，fn（x）=gn（x）；

当x≠1时，fn（x）＜gn（x）．

（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．

则∠BED+∠EDB=90°，

∵BC⊥DE，

∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，

∵AB切⊙O于点B，

∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，

则=3，

∵BC=，

∴AB=3，AC=，

则AD=3，

由切割线定理得AB2=AD•AE，

即AE=，

故DE=AE﹣AD=3，

即可⊙O的直径为3．

（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．

∴ρ2=2，化为x2+y2=，

配方为=3．

（II）设P，又C．

∴|PC|==≥2，

因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．

（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．

又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，

∴，解方程组可得；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+

=+≤

=2=4，

当且仅当=即t=1时取等号，

∴所求最大值为4