高中数学复合函数学生版

一、复合函数定义：　设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

二、复合函数定义域问题：

（一）例题剖析：

(1)、已知的定义域，求的定义域

思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，E为的定义域。

例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。

解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）

又f对lnx作用，作用范围不变，所以

解得，故函数的定义域为（1，e）

例2. 若函数，则函数的定义域为______________。

解析：先求f的作用范围，由，知

即f的作用范围为，又f对f(x)作用

所以，即中x应满足

即，解得

故函数的定义域为

（2）、已知的定义域，求的定义域

思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。

例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________。

解析：的定义域为，即，由此得

所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以

即函数的定义域为

例4. 已知，则函数的定义域为______________。

解析：先求f的作用范围，由，知

解得，f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以，即的定义域为

（3）、已知的定义域，求的定义域

思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。

例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。

解析：的定义域为，即，由此得

的作用范围为

又f对作用，所以，解得

即的定义域为

评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

（二）同步练习：

1、 已知函数的定义域为，求函数的定义域。

2、 已知函数的定义域为，求的定义域。

3、 已知函数的定义域为，求的定义域。

4、设，则的定义域为（       ）

  A.    

C. D. 

三、复合函数单调性问题

（1）引理证明

已知函数.若在区间）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间）上是增函数.

证明：在区间）内任取两个数，使

因为在区间）上是减函数，所以,记,即

因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，

故函数在区间）上是增函数.

（2）．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

（3）、复合函数的单调性判断步骤：

ⅰ   确定函数的定义域； 

ⅱ   将复合函数分解成两个简单函数：与。

ⅲ   分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ   若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数；  若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数。

（4）例题演练

例1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明

解：定义域 

单调减区间是   设则 

=

∵   ∴  

∴>     又底数 

∴      即 

∴在上是减函数

同理可证：在上是增函数

［例］2、讨论函数的单调性.

［解］由得函数的定义域为

则当时，若，∵为增函数，∴为增函数.

若，∵为减函数.

∴为减函数。

当时，若，则为减函数，若，则为增函数.

例3、.已知y= (2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.

解：∵a＞0且a≠1

当a＞1时，函数t=2->0是减函数

由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是增函数，

∴a＞1

由x［0，1］时，2-2-a＞0,得a＜2,

∴1＜a＜2

当00是增函数

由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是减函数，

∴0由x［0，1］时，2-2-1＞0, ∴0综上述，0例4、已知函数（为负整数）的图象经过点，设.问是否存在实数使得在区间上是减函数，且在区间上是减函数？并证明你的结论。

［解析］由已知，得，

其中∴即，

解得

∵为负整数，∴

∴，

即，

∴

假设存在实数，使得满足条件，设，

∴

∵，当时，为减函数，

∴，∴

∵,∴,

∴,

∴  ①

当时, 增函数,∴

∵,∴,

∴.  ②

由①、②可知，故存在

（5）同步练习：

1．函数y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间是（　　）

A．（－∞，1）     B．（2，＋∞）

C．（－∞，）     D．（，＋∞）

2找出下列函数的单调区间.

（1）； （2）

3、讨论的单调性。

4．求函数y＝（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．

变式练习

　　一、选择题

　　1．函数f（x）＝的定义域是（　　）

　　 A．（1，＋∞）     B．（2，＋∞）

　　 C．（－∞，2）     D． 

　　2．函数y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间是（　　）

　　 A．（－∞，1）     B．（2，＋∞）

　　 C．（－∞，）     D．（，＋∞）

　　3．若2（x－2y）＝x＋y，则的值为（　　）

　　 A．4       ．1或

　　 C．1或4      ． 

　　4．若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为（　　）

　　 A．（0，）      B．（0，）

　　 C．（，＋∞）     D．（0，＋∞）