中考总复习：二次函数--知识讲解(提高)

【考纲要求】

1．二次函数的概念常为中档题．主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；

2．二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；

3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现．

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、二次函数的定义

    一般地，如果（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．

要点诠释： 

二次函数(a≠0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．(2)二次项系数a≠0．

考点二、二次函数的图象及性质

1.二次函数(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点为．

2.当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下．

3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大．

  ②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴．

  ③ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时，对称轴为y轴；当ab＞0时，对称轴在y轴左侧；当ab＜0时，对称轴在y轴的右侧．

 4.抛物线的图象，可以由的图象移动而得到．

将向上移动k个单位得：．

将向左移动h个单位得：．

将先向上移动k(k＞0)个单位，再向右移动h(h＞0)个单位，即得函数的图象．

5. 几种特殊的二次函数的图象特征如下：

求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

考点三、二次函数的解析式

1.一般式：(a≠0)．

    若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为，将已知条件代入，求出a、b、c的值．

2.交点式（双根式）：．

    若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．

3.顶点式：．

    若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．

4.对称点式：．

若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为

，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式．

要点诠释：

    已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).

考点四、二次函数(a≠0) 的图象的位置与系数a、b、c的关系

1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下．

2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧．

3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点．

要点诠释：

 关于二次函数(a≠0)中几个常用结论：

 (1)抛物线的对称轴是y轴(顶点在y轴上)，则b＝0；

 (2)抛物线与x轴只有一个交点(顶点在x轴上)，则；

(3)抛物线过原点，则c＝0；

（4）当x＝1时，函数y＝a+b+c；

（5）当x＝-1时，函数y＝a-b+c；

（6）当a+b+c＞0时，x＝1与函数图象的交点在x轴上方，否则在下方；

（7）当a-b+c＞0时，x＝-1与函数图象的交点在x轴的上方，否则在下方．

考点五、二次函数的最值

1.如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，

即当时，．

2.如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内．

    ①若在此范围内，则：

当a＞0时，，

(此时，)；

当a＜0时，，

(此时，)．

    ②若不在此范围内，则：

当y随x的增大而增大时，(此时，)，

(此时，x＝x1)；

当y随x的增大而减小时，(此时，)，

(此时，x＝x2)．

要点诠释：

    在求应用问题的最值时，除求二次函数的最值，还应考虑实际问题的自变量的取值范围．

考点六、二次函数与一元二次方程的关系

　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.

　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；

　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.

　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

    二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.

　  (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；

　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.

【典型例题】

类型一、应用二次函数的定义求值    

1．已知抛物线y=（m-1）x2+mx+m2-4的图象过原点，且开口向上．

（1）求m=        2，并写出函数解析式 y=x2+2x                    ；

（2）写出函数图象的顶点坐标 （-1，-1）               及对称轴 x=-1            ．

【思路点拨】

（1）直接根据抛物线的性质可知m-1＞0，m2-4=0，解之即可得到m=2，即y=x2+2x；

（2）y=x2+2x=（x+1）2-1直接可写出顶点坐标及对称轴．

【答案与解析】

（1）∵抛物线y=（m-1）x2+mx+m2-4的图象过原点，且开口向上，

∴m-1＞0，且m2-4=0，

解得m=±2，而m＞1，

∴m=2，

∴y=x2+2x；

（2）∵y=x2+2x=（x+1）2-1，

∴顶点坐标为（-1，-1），对称轴为x=-1．

【总结升华】

主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式和象限内点的坐标特点．

用待定系数法求函数解析式的一般步骤是：

（1）写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；

（2）把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组；

（3）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式．

举一反三：

【变式】已知抛物线过原点，求m．

【答案】

解：由题意得，∴  m＝±1．

又∵  m-1≠0，∴  m≠1，∴  取m＝-1．

类型二、二次函数的图象及性质的应用

2．已知点M(-2，5)，N(4，5)在抛物线，则抛物线的对称轴为________．

【思路点拨】

M(-2，5)，N(4，5)两点纵坐标相等，根据抛物线的对称性，对称轴为两点横坐标的平均数．

【答案】x＝1；

【解析】因为M(-2，5)，N(4，5)两点纵坐标相等，所以M，N两点关于抛物线的对称轴对称，

所以抛物线的对称轴为直线x＝1．   

【总结升华】抛物线上纵坐标相等的两点是关于抛物线的对称轴对称的两点．抛物线的对称性：当抛物线上两点纵坐标相等时，对称轴为两点横坐标的平均数．

举一反三：

【变式1】如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积.

【答案】

（1）把A（2，0）、B（0，－6）代入

得：

解得

∴这个二次函数的解析式为

（2）∵该抛物线对称轴为直线

∴点C的坐标为（4，0）

∴

∴.

【高清课程名称：二次函数与中考  高清ID号：359069 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2】

【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C. 抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M、F、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由. 

【答案】

解：（1）当y=0时，-3x-3=0，x=-1

∴A（-1，0）

当x=0时，y=-3，

∴C（0，-3），

∴∴，

抛物线的解析式是：y=x2-2x-3．

当y=0时，x2-2x-3=0，

解得：x1=-1，x2=3

∴B（3，0）．

（2）由（1）知B（3，0），C（0，-3）直线BC的解析式是：y=x-3，

设M（x，x-3）（0≤x≤3），则E（x，x2-2x-3）

∴ME=（x-3）-（x2-2x-3）=-x2+3x=-（x- ）2+ ；

∴当x=时，ME的最大值为．

（3）答：不存在．

由（2）知ME取最大值时ME=，E（，），M（，-）

∴MF=，BF=OB-OF=．

设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，

则BP∥MF，BF∥PM．

∴P1（0，-）或P2（3，-）

当P1（0，-）时，由（1）知y=x2-2x-3=-3≠-

∴P1不在抛物线上．

当P2（3，-）时，由（1）知y=x2-2x-3=0≠-

∴P2不在抛物线上．

综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形．

类型三、求二次函数的解析式

3．抛物线的顶点为(2，3)，且与x轴的两个交点之间的距离为6，求抛物线解析式．

【思路点拨】

已知了抛物线的对称轴方程和抛物线与x轴两交点间的距离，可求出抛物线与x轴两交点的坐标；然后用待定系数法求出抛物线的解析式，

【答案与解析】

解：∵  抛物线的顶点为(2，3)，

      ∴  抛物线的对称轴为直线x＝2．

又∵  抛物线与x轴的两个交点之间的距离为6，

根据抛物线的对称性知抛物线与x轴交点为(-1，0)，(5，0)．

设抛物线为，

∵  过点(-1，0)，

      ∴  ．

      ∴  ．

      ∴  抛物线解析式为．

      即．

【总结升华】求二次函数解析式选择恰当的方法很重要，可以节省时间.

举一反三：

【变式】请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数(a≠0)的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是___     _____．

【答案】由①知a＜0，由②知抛物线的对称轴为直线x＝2，因此解析式满足，且a＜0即可．

答案：(答案不唯一)

类型四、二次函数图象的位置与a、b、c的关系

4．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m(am+b)(m≠1的实数)．其中正确的结论有(    )

    A．2个    B．3个    C． 4个    D．5个

【思路点拨】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【答案】B；

【解析】由图象可知a＜0，b＞0，c＞0，a-b+c＜0，a+b+c＞0，由对称性知，当x＝2时函数值大于零，

∴  4a+2b+c＞0，由对称性知9a+3b+c＜0，且，

∴  ，∴  ．

把代入a+b＞m(am+b)中可验证此项正确，故③④⑤正确．

【总结升华】数形结合是解此类题的关键．难度较大，要求有很强的逻辑推理能力．

举一反三：

【变式】如图所示的二次函数的图象中，张凯同学观察得出了下面四条信息：

（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0.你认为其中错误的有（   ）

A．2个         B．3个         C．4个         D．1个

1

【答案】D.（2）错了.

类型五、求二次函数的最值

5．二次函数的最小值为(    )

    A．-35    B．-30    C．-5    D．20

【思路点拨】直接套用求函数最值的公式即可，即y最值= ．

【答案】B；

【解析】

解析1：配方法化成顶点式来解，，

因此当，．

解析2：用顶点坐标公式：，

．

【总结升华】求二次函数的最值有两种方法：一是用配方法化成顶点式，顶点纵坐标即为最值，二是用顶点坐标公式来求．

类型六、二次函数综合题

6．如左图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米(即MO＝6米)，小孔顶点N距水面4.5米(即NC＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助右图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．

【思路点拨】先求出大孔所在抛物线解析式，再由EF所在高度求出相应宽度EF．

【答案与解析】

解：设抛物线解析式为．

     依题意得，B(10，0)在图象上，

     ∴  a×102+6＝0，解得a＝-0.06．

     ∴  ．

当y＝4.5时，，

解得，

     ∴  DF＝5，EF＝10，即水面宽度为10米．

【总结升华】解决二次函数在物体运动或抛物线建筑方面的应用题，先求抛物线解析式，然后再具体问题具体分析（即要求横向宽度找纵向条件，要求纵向高度找横向条件），充分体现了函数建模思想．

举一反三：

【变式1】如图所示，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起。据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

    (1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式。

    (2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取≈7)

    (3)运动员乙要抢到第二个落地点D，他应再向前跑多少米?(取≈5)

【答案】

 (1)如图所示，设第一次落地时，抛物线的表达式为．由已知当x＝0时，y＝1．

即，∴  ．

∴  表达式为．

(2)令y＝0，．

∴  ．

       解得，(舍去)．

       ∴  足球第一次落地距守门员约13米．

(3)如图所示，第二次足球弹出后的距离为CD，

根据题意得CD＝EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位)，

∴  ，

解得，．

∴  CD＝．

∴  BD＝13-6+10＝17(米)．

答：他应再向前跑17米．

【变式2】已知关于x的一元二次方程 .（其中m为实数），

（1）若此方程的一个非零实数根为k，

① 当k=m时，求m的值； 

② 若记为y，求y与m的关系式；

（2）当＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.

【答案】

解：（1）∵ k为的实数根，

∴.※  

① 当k=m时，

∵ k为非零实数根， 

∴ m≠0，方程※两边都除以m，得.

              整理，得 . 

解得 ，. 

∵是关于x的一元二次方程，∴m≠2.

∴m= 1. 

② ∵k为原方程的非零实数根，

  ∴将方程※两边都除以k，得.

  整理，得 . 

∴.

（2）解法一： . 

当＜m＜2时，m＞0，＜0.

∴ ＞0，＞1＞0，Δ＞0.

∴ 当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 

解法二：直接分析＜m＜2时，函数的图象，

∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交，

∴ 该抛物线必与x轴有两个不同交点.  

∴ 当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 

解法三：. 

结合关于m的图象可知，（如图）

当＜m≤1时，＜≤4；

当1＜m＜2时，1＜＜4.

∴ 当＜m＜2时，＞0.

∴ 当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.