2013年高考陕西卷文科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试

 文科数学

（陕西卷）

注意事项:

1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。

2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。

3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(共50分)

一、选择题

1．设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则∁RM为(　　)

A．(－∞，1)             B．(1，＋∞)

C．(－∞，1]             D．[1，＋∞)

答案　B

解析　f(x)的定义域为1－x≥0，即x≤1，则∁RM＝{x|x>1}＝(1，＋∞)．

2．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(　　)

A．－                 B.

C．－或              D．0

答案　C

解析　由a∥b，得1×2－m2＝0，∴m2＝2，即m＝±.

3．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)

A．logab·logcb＝logca

B．logab·logca＝logcb

C．loga(bc)＝logab·logac

D．loga(b＋c)＝logab＋logac

答案　B

解析　由logab·logcb＝·≠logca，故A错；由logab·logca＝·＝＝logcb.故选B.

4．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为(　　)

A．25  B．30  C．31  D．61

答案　C

解析　∵x＝60>50，∴y＝25＋0.6×(60－50)＝31.

5．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为(　　)

A．0.09  B．0.20  C．0.25  D．0.45

答案　D

解析　设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x，则所有矩形面积之和为1，即(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x)×5＝1，解得x＝0.05.产品为二等品的频率为0.04×5＋0.05×5＝0.45.

6．设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)

A．若z2≥0，则z是实数

B．若z2<0，则z是虚数

C．若z是虚数，则z2≥0

D．若z是纯虚数，则z2<0

答案　C

解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得即或.所以a＝0时b＝0，b＝0时a∈R.故z是实数，所以A为真命题；由于实数的平方不小于0，所以当z2<0时，z一定是虚数，故B为真命题；由于i2＝－1<0，故C为假命题，D为真命题．

7．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为(　　)

A．－6  B．－2  C．0  D．2

答案　A

解析　如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－2,2)时，z取得最小值，此时z＝2×(－2)－2＝－6.

8．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)

A．相切              B．相交

C．相离              D．不确定

答案　B

解析　由点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，则a2＋b2>1，圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝<1，故直线与圆O相交．

9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为                    (　　)

A．直角三角形                  B．锐角三角形

C．钝角三角形                  D．不确定

答案　A

解析　由bcos C＋ccos B＝asin A，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝1，由010．设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y有(　　)

A．[－x]＝－[x]                  B．[x＋]＝[x]

C．[2x]＝2[x]                  D．[x]＋[x＋]＝[2x]

答案　D

解析　特殊值法．令x＝1.5，∵[－1.5]＝－2，－[1.5]＝－1，故A错；∵[1.5＋]＝2，[1.5]＝1，故B错；∵[2×1.5]＝3,2[1.5]＝2，故C错，所以选D.

第二部分（共100分）

二、填空题

11．双曲线－＝1的离心率为________．

答案　

解析　由已知双曲线－＝1，得a＝4，b＝3，所以c＝＝5，所以e＝＝.

12．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．

答案　3π

解析　由三视图还原的几何体为半个球，其表面积为球面面积的一半加上底面圆的面积，即×4πR2＋πR2＝2π＋π＝3π.

13．观察下列等式：

(1＋1)＝2×1

(2＋1)(2＋2)＝22×1×3

(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5

…

照此规律，第n个等式可为______________．

答案　(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)

解析　由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n×1×3×…×(2n－1)．

14．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________ m.

答案　20

解析　如图所示，△ADE∽△ABC，设矩形的面积为S，另一边长为y，

则＝2＝2.

所以y＝40－x，则S＝x(40－x)＝－(x－20)2＋202，

所以当x＝20时，S最大．

15．A.(不等式选做题)

设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．

答案　(－∞，＋∞)

解析　∵|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|.又∵|a－b|>2，∴|x－a|＋|x－b|>2恒成立，即该不等式的解集为(－∞，＋∞)．

B．(几何证明选做题)

如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.

答案　

解析　∵BC∥PE，∴∠PED＝∠C＝∠A，

∴△PDE∽△PEA，∴＝，则PE2＝PA·PD，

又∵PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA＝3.

∴PE＝＝.

C．(坐标系与参数方程选做题)

圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________．

答案　(1,0)

解析　由y＝2t，得t＝y，代入x＝t2，得y2＝4x，所以抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)．

三、解答题

16．已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在上的最大值和最小值．

解　f(x)＝·(sin x，cos 2x)

＝cos xsin x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x

＝cos sin 2x－sin cos 2x＝sin.

(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，

即函数f(x)的最小正周期为π.

(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.

由正弦函数的性质，

当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1；

当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－；

当2x－＝π，即x＝时，f()＝，

∴f(x)的最小值为－，

因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是－.

17．设Sn表示数列{an}的前n项和．

(1)若{an}为等差数列，推导Sn的计算公式；

(2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有Sn＝.判断{an}是否为等比数列，并说明你的结论．

解　(1)方法一　设{an}的公差为d，则

Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，

又Sn＝an＋(an－d)＋…＋[an－(n－1)d]，

∴2Sn＝n(a1＋an)，∴Sn＝.

方法二　设{an}的公差为d，则Sn＝a1＋a2＋…＋an

＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，

又Sn＝an＋an－1＋…＋a1＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋…＋a1，

∴2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d]＝2na1＋n(n－1)d，

∴Sn＝na1＋d.

(2){an}是等比数列，证明如下：

∵Sn＝，

∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝－＝＝qn.

∵a1＝1，q≠0，

∴当n≥1时，有＝＝q，

因此，{an}是首项为1且公比为q的等比数列．

18．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.

 (1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；

(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．

(1)证明　由题设知，BB1綊DD1，

∴BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.

又BD⃘平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.

∵A1D1綊B1C1綊BC，

∴A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.

又A1B⃘平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.

又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.

(2)解　∵A1O⊥平面ABCD，

∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．

又∵AO＝AC＝1，AA1＝，

∴A1O＝＝1.

又∵S△ABD＝××＝1，

∴VABD－A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.

19．有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：

组别	A	B	C	D	E
人数	50	100	150	150	50

(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．

组别	A	B	C	D	E
人数	50	100	150	150	50
抽取人数		6

(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．

解　(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：

组别	A	B	C	D	E
人数	50	100	150	150	50
抽取人数	3	6	9	9	3

(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：

由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率p＝＝.

20．已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．

(1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．

解　(1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|.

由此得|4－x|＝2，

化简得＋＝1，

所以，动点M的轨迹方程为＋＝1.

(2)方法一　由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

将y＝kx＋3代入＋＝1中，有

(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，

其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)>0，

解得k2>.

由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，①

x1x2＝.②

又因A是PB的中点，故x2＝2x1，③

将③代入①，②，得x1＝－，x＝，

可得2＝，且k2>，

解得k＝－或k＝，

所以，直线m的斜率为－或.

方法二　由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

∵A是PB的中点，

∴x1＝，①

y1＝.②

又＋＝1，③

＋＝1，④

联立①，②，③，④解得或，

即点B的坐标为(2,0)或(－2,0)，

所以，直线m的斜率为－或.

21．已知函数f(x)＝ex，x∈R.

(1)求f(x)的反函数的图像在点(1,0)处的切线方程；

(2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点；

(3)设a(1)解　f(x)的反函数为g(x)＝ln x, 设所求切线的斜率为k，

∵g′(x)＝，∴k＝g′(1)＝1.

于是在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1.

(2)证明　方法一　曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1公共点的个数等于函数φ(x)＝ex－x2－x－1零点的个数．

∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x)存在零点x＝0.

又φ′(x)＝ex－x－1，令h(x)＝φ′(x)＝ex－x－1，

则h′(x)＝ex－1，

当x<0时，h′(x)<0，∴φ′(x)在(－∞，0)上单调递减；

当x>0时，h′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．

∴φ′(x)在x＝0处有唯一的极小值φ′(0)＝0，

即φ′(x)在R上的最小值为φ′(0)＝0.

∴φ′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，

∴φ(x)在R上是单调递增的，

∴φ(x)在R上有唯一的零点，

故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点．

方法二　∵ex>0，x2＋x＋1>0，

∴曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1公共点的个数等于曲线y＝与y＝1公共点的个数，

设φ(x)＝，则φ(0)＝1，即x＝0时，两曲线有公共点．

又φ′(x)＝＝≤0(仅当x＝0时等号成立)，

∴φ(x)在R上单调递减，

∴φ(x)与y＝1有唯一的公共点，

故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点．

(3)解　－f＝－e

＝

＝[e－e－(b－a)]．

设函数u(x)＝ex－－2x(x≥0)，

则u′(x)＝ex＋－2≥2－2＝0，

∴u′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，

∴u(x)单调递增．

当x>0时，u(x)>u(0)＝0.

令x＝，则e－e－(b－a)>0，

∴>f.