三角恒等变换(学案)

一、知识点击

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C(α－β))

cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，(C(α＋β))

sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β，(S(α－β))

sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β，(S(α＋β))

tan(α－β)＝，(T(α－β))

tan(α＋β)＝.(T(α＋β))

2．二倍角公式

sin 2α＝2sin_αcos_α；

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

tan 2α＝.

【知识拓展】

1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.

2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.

3．辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.

二、题组设计

命题点1  和差公式的直接应用

1．(2015课标1,2) （    ）

2．（2017江苏，5）若，则=_____________ .

3．(2016·杭州模拟)已知sin α＝，α∈(，π)，则＝________.

4．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)

A．－      B. 

C.      D．－

5．(2016·全国丙卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于(　　)

A.  B.  C．1  D. 

6．(2016·宁波期末考试)已知θ∈(0，)，且sin θ－cos θ＝－，则等于(　　)

A.  B.  C.  D. 

7．(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四，4)已知，，则属于（    ）

A.第一象限       B.第二象限        C.第三象限        D.第四象限

命题点2　角的变换

8．设α、β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β等于(　　)

A.      B. 

C.或      D.或

9．已知cos(α－)＋sin α＝，则sin(α＋)的值是________．

10．设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．

11．(2016·浙江五校联考)已知3tan＋tan2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)等于(　　)

A.  B．－  C．－  D．－3

命题点3　三角函数式的化简

12．（2013重庆，9）（    ）

13．化简： (0<θ<π)；

14．求值：－sin 10°(－tan 5°)．

15．　化简：＝________.

16．(2017·嘉兴第一中学调研)若sin(π＋α)＝，α是第三象限角，则等于(　　)

A.      B．－

C．2      D．－2

命题点4　给值求值问题

17．（2017课标全国3文，4）已知，则（    ）

18．(2016·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝________.

19．（2013浙江，6）已知，,则（    ）

20．（2014江苏，15）已知，

（1）求的值；

（2）求的值。

21．(2015·广东)已知tan α＝2.

①求tan(α＋)的值；

②求的值．

命题点5　给值求角问题

22．　设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)

A.      B. 

C.      D.或

23．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．

24．（2014课标1,8）设，，且，则（    ）

25．(2016·义乌检测)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α＋β的值是(　　)

A.      B. 

C.或      D. 

命题点6　三角恒等变换的应用

26．(2016·天津)已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.

(1)求f(x)的定义域与最小正周期；

(2)讨论f(x)在区间上的单调性．

27．(2015·重庆)已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)讨论f(x)在上的单调性．

堂测题组

专题四 三角恒等变形【A】

1．(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　)

A．－  B.  C．－  D. 

2．(2016·全国甲卷)若cos＝，则sin 2α等于(　　)

A.  B.  C．－  D．－

3．(2016·富阳模拟)已知tan α＝3，则的值等于(　　)

A．2      B．3

C．4      D．6

4．已知：，，且，则=_______.

专题四 三角恒等变形【B】

1．(2016·东北三省三校联考)已知sin α＋cos α＝，则sin2(－α)等于(　　)

A.      B. 

C.      D. 

2．(2016·绍兴高三教学质检)已知sin(－α)＝，则cos(2α＋)等于(　　)

A．－  B．－  C.  D. 

3．(2017·浙江九校联考)已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是(　　)

A．α<<β      B．β<<α

C. <α<β      D. <β<α

4．的值是（    ）

A.     B.     C.     D. 

巩固作业

专题四 三角恒等变形

1．(2017浙江ZDB联盟一模)已知， ，则__________， __________．

2．已知0<α<，sin α＝，tan(α－β)＝－，则tan β＝________；＝________.

3．(2016·合肥质检)已知cos(＋α)cos(－α)＝－，α∈(，)．

(1)求sin 2α的值；

(2)求tan α－的值．

4．(2017浙江温州二模)已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）若，，求的值.