2017-高中数学必修3期末考试-

副标题

1.下列属于相关现象的是（　　） 

A.利息与利率           B.居民收入与储蓄存款 

C.电视机产量与苹果产量      D.某种商品的销售额与销售价格

2.根据某校高三一班一次数学考试成绩整理得到下侧频率分布直方图，根据频率分布直方图估计该班的学生数学成绩的众数、中位数分别为（　　） 

A.105，103  B.115，113.3 C.125，113.3 D.115，125

3.如果执行如图的程序框图，那么输出的S的值为（　　） 

A.1740    B.1800    C.1860    D.1984

4.在长为 12cm的线段 AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC， CB的长，则该矩形面积大于 20cm2的概率是(　　) 

A. B. C. D.

5.国庆阅兵中，某兵种A、B、C三个方阵按一定次序通过台，若先后次序是随机排定的，则B先于A、C通过的概率为（　　） 

A.  B.  C.  D. 

6.调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表： 

A.80%     B.90%     C.95%     D.99%

7.如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是（　　） 

A.  B.  C.  D. 

8.如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其相关系数r的绝对值应接近于（　　） 

A.0      B.0.5     C.2      D.1

9.某中学高中学生有900名．为了考察他们的体重状况，打算抽取容量为45的一个样本．已知高一有400名学生，高二有300名学生，高三有200名学生．若采取分层抽样的办法抽取，则高一学生需要抽取的学生个数为（　　） 

A.20人    B.15人    C.10人    D.5人

10.某校高一（1）班共有40人，学号依次为1，2，3，…，40，现用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，若学号为2，10，18，34的同学在样本中，则还有一个同学的学号应为（　　） 

A.27     B.26     C.25     D.24

11.在平面直角坐标系xOy中，已知平面向量=（a，0），=（0，b），其中a，b为[-2，2]上的两个随机实数，定义平面上的点集Ω，Ω1，Φ分别为Ω={P|=+}，Ω1={Q||=||=且|QP|＜1，P∈Ω}，Φ：Ω1∪{R|＜||＜2}．若在Ω对应的平面区域内随机取一个点W，则点W落在Φ对应的平面区域内的概率为（　　） 

A.  B.1- C.  D. 

12.阅读如图所示的程序框图，若输出的S=55，则判断框中应填（　　） 

A.i＜3    B.i＜4    C.i＜5    D.i＜6

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是______________（结果用数值表示）.

14.执行如图所示的程序框图，若输入的T=1，a=2，则输出的T的值为 ______ ． 

15.已知b1是[0，1]上的均匀随机数，b=(b1-0.5)*6，则b是区间____________上的均匀随机数．

16.某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽80名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从31～40这10个数中取的数是39，则在第1小组1～10中随机抽到的数是 ______ ．

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.为考察某种药物预防禽流感的效果，进行动物家禽试验，调查了100个样本，统计结果为：服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本． 

(1)根据所给样本数据画出2×2列联表； 

(2)请问能有多大把握认为药物有效？ 

18.据统计某校学生在上学路上所需时间最多不超过120分钟．该校随机抽取部分新入校的新生其在上学路上所需时间（单位：分钟）进行调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图． 

（I）求频率分布直方图中a的值． 

（Ⅱ）为减轻学生负担，学校规定在上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在校内住宿．请根据抽样数据估计该校600名新生中有多少学生可申请在校内住宿． 

19.为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据分组如下： 

（2）画出频率分布直方图； 

（3）根据频率分布直方图估计这组数据的众数、中位数和平均数； 

（4）根据上述图表，估计数据落在[10.95，11.35）范围内的可能性有百分之几？ 

20.抽样调查某大型机器设备使用年限x和该年支出维修费用y（万元），得到数据如表 

参考公式：线性回归直线方程为=x+， = 

（1）求线性回归方程； 

（2）由（1）中结论预测第10年所支出的维修费用． 

21.设在12个同类型的零件中有4个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X表示取出次品数．求X的分布列、均值及方差． 

22.已知三个正数a，b，c满足a＜b＜c． 

（1）若a，b，c是从中任取的三个数，求a，b，c能构成三角形三边长的概率； 

（2）若a，b，c是从（0，1）中任取的三个数，求a，b，c能构成三角形三边长的概率． 

答案和解析

【答案】 

1.B    2.B    3.C    4.C    5.A    6.B    7.D    8.D    9.A    10.B    11.A    12.D    

13.0.314.315.[-3，3] 

16.917.解：(1)根据服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本， 

没有服用药且未患病的有20个样本，没有服药且没有患病的有20个， 

得到列联表 

(2)假设检验问题H0：服药与家禽得禽流感没有关系 

= 

由P(K2≥2.706)=0.10∴大概90%认为药物有效． 

18.解：（Ⅰ）由频率直方图可得 

（0.0030+0.0021+0.0014+0.0060+a+0.025）×20=1a=0.0125；…（5分） 

（Ⅱ） 新生上学所需时间不少于1小时的频率为： 

（0.0030+0.0021+0.0014）×20=0.13，…（9分） 

所以，该校600名新生中可申请在校内住宿的人数估计为 

600×0.13=78．…（12分） 

19.解：（1）由频率=，得到频率分布表： 

（2）频率分布直方图如右图所示： 

（3）根据频率分布直方图估计这组数据的众数==11.20， 

中位数=11.15+≈11.49． 

平均数==11.173． 

（4）数据落在[10.95，11.35）范围内的概率为： 

0.13+0.16+0.26+0.20=0.75． 

∴数据落在[10.95，11.35）范围内的可能性有75%． 

20.解：（1）由题意得=4， =5， xiyi=112.3， x=90， 

所以 ==1.23， =5-1.23×4=0.08， 

即线性回归方程为 =1.23x+0.08； 

（2）当x=10时， =1.23×10+0.08=12.38（万元） 

即估计使用10年时维修费用是12.38万元． 

21.解：X的取值为0，1，2，3，则 

P（X=0）==， 

P（X=1）==， 

P（X=2）==， 

P（X=3）==； 

∴X的分布列为： 

方差为D（X）=×（0-1）2+×（1-1）2+×（2-1）2+×（3-1）2=． 

22.解：（1）若a，b，c能构成三角形，则． 

①若时，．共1种； 

②若时．．共2种； 

同理时，有3+1=4种；时，有4+2=6种；时，有5+3+1=9种；时，有6+4+2=12种． 

于是共有1+2+4+6+9+12=34种． 

下面求从中任取的三个数a，b，c（a＜b＜c）的种数： 

①若，，则，有7种；，有6种；，，有5种；…； ，有1种． 

故共有7+6+5+4+3+2+1=28种． 

同理，时，有6+5+4+3+2+1=21种；时，有5+4+3+2+1=15种；时，有4+3+2+1=10种；时，有3+2+1=6种；时，有2+1=3种；时，有1种．这时共有28+21+15+10+6+3+1=84种． 

∴a，b，c能构成三角形的概率为=． 

（2）a，b，c能构成三角形的充要条件是． 

在坐标系aOb内画出满足以上条件的区域（如右图阴影部分）， 

由几何概型的计算方法可知，只求阴影部分的面积与图中正方形的面积比即可． 

又S阴影=，于是所要求的概率为． 

【解析】 

1. 如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，我们称这样的两个变量具有相关关系， 

也就是说两个变量之间即不存在函数关系，又不是完全没有关系， 

选项A中的两个变量具有函数关系；选项B中居民收入与储蓄存款具有相关关系，一般来说，居民收入越高对应的储蓄存款越多； 

选项C中的电视机产量与苹果产量吴任何关系；选项D中某种商品的销售额与销售价格具有函数关系． 

互选B． 

根据所学函数关系和相关关系的概念逐一核对四个选项即可得到正确答案． 

本题考查了变量间的相关关系，解答的关键在于正确区分相关关系和函数关系，是基础的概念题． 

2. 解：以中位数为准做一条垂直于横轴的直线， 

这条直线把频率分步直方图分成面积相等的两个部分， 

由频率分步直方图知中位数要把最高的小长方形三等分， 

∴中位数是110+×10≈113.3， 

而众数为最高的小长方形的组中值115， 

故该班的学生数学成绩的众数、中位数分别约为115，113.3， 

故选：B 

以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分步直方图分成面积相等的两个部分，由频率分步直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，进而可得中位数，而众数为最高的小长方形的组中值． 

本题考查频率分步直方图的应用，本题解题的关键看清楚条件中所给的各个小长方形的面积，从小到大累加，分析中位数的位置． 

3. 解：由程序框图知：终止运行的最小k值为31， 

∴算法的功能是求S=4+8+12+…+4×30的值， 

∴输出S=×30=1860． 

故选：C． 

根据框图的流程得算法的功能是求S=4+8+12+…+4×30的值，利用等差数列的前n项和公式计算可得答案． 

本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键． 

4. 解：设AC=xcm且020,得2∴以AC、CB为邻边的矩形面积为x·(12-x),  

令x(12-x)>20,得2由几何概型知矩形面积大于20cm  2 的概率为  =  . 

5. 解：用（A，B，C）表示A第一，B第二，C第三的次序，则所有可能的次序有（A，B，C），（A，C，B），（B，A，C），（B，C，A），（C，A，B），（C，B，A）共6种，其中B先于A、C通过的有（B，C，A）和（B，A，C）两种，故所求概率为P==． 

先求出A、B、C三个方阵按一定次序通过台的所有可能的次序，再确定出B先于A、C通过台的所有可能的次序，由此可求概率． 

本题考查等可能事件的概率，解题的关键是利用列举法确定基本事件的种数，属于基础题． 

6. 解：根据所给的数据代入求观测值的公式，得到 

k2=≈3.844＞2.706∴有90%的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系． 

故选B． 

根据所给的数据，代入求观测值的公式，得到观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论． 

本题考查性检验的应用，本题解题的关键是理解临界值对应的概率的意义，能够看出两个变量之间的关系，属于基础题． 

7. 解：本题利用几何概型求解．测度是弧长． 

根据题意可得，满足条件：“弦MN的长度超过R”对应的弧， 

其构成的区域是半圆， 

则弦MN的长度超过R的概率是P=． 

故选：D． 

本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦MN的长度超过R的图形测度，再代入几何概型计算公式求解． 

几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关． 

8. 解：由相关系数r的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，可得C正确． 

故选：D． 

根据相关系数r的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，由此可得答案． 

本题考查了两个变量的相关关系，熟练掌握相关系数的意义是解题的关键． 

9. 解：由分层抽样的定义可得高一学生需要抽取的学生个数为人， 

故选：A 

根据分层抽样的定义建立比例公式即可得到结论． 

本题主要考查分层抽样的应用，比较基础． 

10. 解：根据系统抽样的定义可知，抽取样本的号码具备等距离性， 

∵10-2=8， 

∴18+8=26， 

即另外一个学号为26． 

故选：B． 

根据系统抽样的定义进行求解即可． 

本题主要考查系统抽样的应用，利用系统抽样的定义是解决本题的关键，比较基础． 

11. 解：由题意，N1=（a，0），N2=（0，b）， 

∵a，b为[-2，2]上的两个随机实数， 

∴点集Ω是以4为边长的正方形， 

∴SΩ=16， 

设Q（x，y），则 

（x-a）2+y2=2，x2+（y-b）2=2，（x-a）2+（y-b）2＜1， 

∴x2+y2＞3， 

∵x2+y2=4-（x-a）2-（y-b）2， 

∴x2+y2≤4∴3＜x2+y2≤4，① 

∵（x-a）2+y2=2，x2+（y-b）2=2， 

∴-≤y≤②，∴-≤x≤③ 

由①②③可知Ω1对应的平面区域为圆环与正方形的公共部分，即为图中阴影部分， 

∵{R|＜||＜2}表示圆环区域， 

∴Φ表示图中圆环区域，S=4π-3π=π， 

∴所求概率为． 

故选：A． 

先求出SΩ=16，确定Ω1对应的平面区域为圆环与正方形的公共部分，求出面积，即可求出概率． 

本题考查几何概型，确定区域面积是关键． 

12. 解：执行程序框图，有 

s=0，i=1s=1，i=2满足判断条件，有s=5，i=3满足判断条件，有s=14，i=4满足判断条件，有s=30，i=5满足判断条件，有s=55，i=6若输出的S=55，此时应有不满足判断条件， 

故选：D． 

执行程序框图，写出每次循环得到的s，i的值，当s=55，i=6时应有不满足判断条件，退出循环，输出S的值． 

本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题． 

13.因为是随机取数字，所以每个数字被取到的可能性相等，所以是古典概型.5个中取3个的所有可能结果有=10(种).又从3个奇数中选1个奇数的选法共有3种，因此所求概率为=0.3. 

14. 解：模拟执行程序框图，可得 

T=1，a=2T= ，a=4满足条件a≤6，T=  • ，a=6满足条件a≤6，T=  •  • ，a=8不满足条件a≤6，退出循环，输出T的值， 

由于T=  •  •  ==3． 

故答案为：3． 

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的T，a的值，当a=8时不满足条件a≤6，退出循环，输出T的值，由换底公式计算即可得解． 

本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了换底公式的应用，属于基础题． 

15. 解：∵b1是[0，1]上的均匀随机数， 

∴b1-是[-，]上的均匀随机数， 

∴b=(b1-0.5)*6是[-3，3]上的均匀随机数， 

故答案为：[-3，3] 

16. 解：样本间隔为800÷80=10， 

∵在从31～40这10个数中取的数是39， 

∴从31～40这10个数中取的数是第4个数， 

∴第1小组1～10中随机抽到的数是39-3×10=9， 

故答案为9． 

根据系统抽样的定义进行求解即可． 

本题主要考查系统抽样的应用，比较基础． 

17. (1)根据服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本，没有服药且没有患病的有20个，根据各种情况的数据，列出表格，填好数据，得到列联表 

(2)根据上一问做出的列联表，看出各种情况的数据，代入求临界值的公式，做出观测值，拿观测值同临界值表进行比较，得到2.778＞2.706，得到有90%的把握认为药物有效． 

18. 

（Ⅰ）利用频率直方图概率的和为1，求解a即可． 

（Ⅱ）就是新生上学所需时间不少于1小时的频率，然后求解校600名新生中可申请在校内住宿的人数． 

本题考查频率分布直方图的应用，基本知识的考查． 

19. 

（1）由频率=，及其频率和=1，频数和=100，即可得出． 

（2）频率分布直方图如右图所示： 

（3）根据频率分布直方图估计这组数据的众数=，中位数=11.15+． 

平均数=． 

（4）数据落在[10.95，11.35）范围内的概率为：0.13+0.16+0.26+0.20，即可得出． 

本题考查了频率分布直方图及其性质、众数、中位数和平均数及其概率计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 

20. 

（1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程； 

（2）当自变量为10时，代入线性回归方程，求出维修费用，这是一个预报值． 

本题考查线性回归方程，本题是一个基础题，而求线性回归方程的问题，是运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法． 

21. 

根据题意，相当于从有4个次品的12个同类型的零件中取3个，取出次品的个数可能为0、1、2、3．求出相应的概率，列出分布列，再求出期望与方差． 

本题考查了分类讨论的思想方法、排列与组合的计算公式、古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列、数学期望的应用问题，是中档题． 

22. 

（1）讨论c的值，从而求出a，b，c能构成三角形的个数，然后求出求从中任取的三个数a，b，c（a＜b＜c）的种数，利用古典概型的概率公式解之即可； 

（2）a，b，c能构成三角形的充要条件是，在坐标系aOb内画出满足以上条件的区域，由几何概型的计算方法可求出所求． 

本题考查古典概型和几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．