等腰三角形复习讲义

【回顾与思考】 

    等腰三角形

【例题经典】

根据等腰三角形的性质寻求规律

例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？

    若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中，

根据等腰三角形的性质，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE，

即可得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠BOC=90°+∠A；

∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠BOC=120°+∠A；

∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠BOC=·180°+∠A．

    【点评】在例1图中，若AE=AB，AD=AC．类似上题方法同样可证得BD=CE．上述规律仍然存在．

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

    【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15两种情况讨论．

利用等腰三角形的性质证线段相等

例3．（2006年常德市）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．

    （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

    【分析】（1）把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△CBQ．利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ．（2）连接PQ，则△PBQ是等边三角形．PQ=PB，AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5，∴△PQC是直角三角形．

    【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明．

【考点精练】

一、基础训练

1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°．

             （1）                （2）                   （3）

2．如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_______．

3．如图3，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．

4．（2006年烟台市）如图4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′等于________．

           （4）                   （5）                     （6）

5．（2006年包头市）如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离D的距离约为_______米（精确到1米）．

6．（2006年诸暨市）等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为________．

7．如图6，等边△ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），点A关于x轴对称点A′的坐标为_______．

8．（2006年江阴市）如图7，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20°，且AE=AD，则∠CDE=________．

                （7）                （8）                  （9）

9．（2005年常州市）如图8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（  ）

    A．44°    B．68°    C．46°    D．22°

10．（2006年海南省）如图9，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（  ）

A．L1     B．L2      C．L3       D．L4

11．（2006年日照市）如图10，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD．则∠A等于（  ）

A．30°     B．36°     C．45°     D．72°

                      （10）                          （11）

12．（2006年怀化市）同学们都玩过跷跷板的游戏．如图11所示，是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB．当跷跷板的一头A着地时，∠OAC=25°，则当跷跷板的另一头B着地时，∠AOA′等于（  ）

    A．25°    B．50°     C．60°     D．130°

二、能力提升

13．如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边长．

14．已知如图△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD．

试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由．

15．（2006年扬州市）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．

（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．

三、应用与探究

16．（2005年江西省）如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点．

 （1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论．

 （2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．

答案：

考点精练  

1．82.5  2．30a  3．220  4．105°  

5．368  6．7秒或25秒  7．（2，-2）  

8．10°  9．D  10．B  11．B  12．B  

13．7cm或11cm  

14．关系：DE=DB，

∵CD=CE，

∴∠E=∠EDC，

又∵∠ACB=60°，

∴∠E=30°，

又∵∠DBC=30°，

∴∠E=∠DBC，

∴DB=DE  

15．（1）①③或②③  

（2）已知①②求证△ABC是等腰三角形．

证：先证△EBO≌△DCO．得OB=OC，得∠DBC=∠ECB．

∴∠ABC=∠ACB．即△ABC是等腰三角形  

16．（1）△DEF是等边三角形，

提示证△ADF≌△BED≌△CFE．即得△DEF是等边三角形  

（2）AD=BE=CF成立．证略．