全国各省高考数学——数列试题及答案

一、选择题

1．（福建）已知等差数列中，，则的值是（  ）

    A．15    B．30    C．31    D．

2．（江苏）在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则=（  ）

A．3．7．8．1

3．（全国）如果，，…，为各项都大于零的等差数列，公差，则（ ）

（A）（B）（C）++（D）=

4．（江西理）将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）

 ． ． ． ．

5．（05，广东，10）已知数列（    ）

    A．    B．3    C．4    D．5

6．（辽宁）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）

A  B                   C                  D

二、填空题

1．（天津理）在数列{an}中,a1=1,a2=2,且则=____．

2．（湖北理）设等比数列{}的公比为q，前n项和为，若，，成等差数列，则q的值为      

三、解答题

1．（北京文）数列的前n项和为S,且n=1,2,3….求

   （）的值及数列的通项公式；

   （）的值.

2．（天津理）

已知

（Ⅰ）当时，求数列的前n项和

（Ⅱ）求。

3．（全国）已知是各项均为正数的等差数列，、、成等差数列．又，…．

（Ⅰ）证明为等比数列；

（Ⅱ）如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项和公差．

（注：无穷数列各项的和即当时数列前项和的极限）

4．（北京理）设数列的首项,且,记

(Ⅰ)求

(Ⅱ)判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;

(Ⅲ)求

5．（全国）设等比数列的公比为，前n项和

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）设，记的前n项和为，试比较与的大小

（Ⅰ）

（Ⅱ）

6．（江西理）已知数列

（1）证明

（2）求数列的通项公式an.

7．（全国）在等差数列{an}中，公差d≠0,且a2是a1和a4的等比中项,已知a1,a3,成等比数列，求数列k1,k2,k3,…,kn的通项kn

在等差数列{an}中，公差d≠0,且a2是a1和a4的等比中项,已知a1,a3,成等比数列，求数列k1,k2,k3,…,kn的通项kn

8．（山东理）已知数列的首项前项和为，且

（I）证明数列是等比数列；

（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小

9．（福建理）已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：

（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；

（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1, bn+1=，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；

（Ⅲ）若，求a的取值范围.

已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：

（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；

（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1, bn+1=，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；

（Ⅲ）若，求a的取值范围.

本题主要考查数列不等式的基础知识，考察逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力

参

一、A C B A B A

二、2600  -2

三、（1）解：（I）由a1=1，，n=1，2，3，……，得

，，，

由（n≥2），得（n≥2），

又a2=，所以an=(n≥2),

∴ 数列{an}的通项公式为；

（）由（）可知是首项为，公比为项数为n的等比数列，∴ =

（2）解：（Ⅰ）当时，．这时数列的前项和

．　　　①

①式两边同乘以，得　　  ②　

①式减去②式，得

若，

，

若，

（Ⅱ）由（Ⅰ），当时，，

则．

当时，

此时，．

若，．

若，．

（3）答案： 

（4） 解：（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+；

（）∵ a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,

所以b1=a1－=a－, b2=a3－=(a－), b3=a5－=(a－),

猜想：{bn}是公比为的等比数列·

    证明如下：

    因为bn+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=bn, (n∈N*)

    所以{bn}是首项为a－, 公比为的等比数列

（）.

（5）

（6）解：（1）方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，

 ∴，命题正确.

2°假设n=k时有

 则

而

又

∴时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证明：

 °当n=1时，∴；

 °假设n=k时有成立，

 令，在[0，2]上单调递增，所以由假设

有：即

也即当n=k+1时  成立，所以对一切

 （2）下面来求数列的通项：

所以　　

,

又bn=－1，所以

（7）解：由题意得：……………1分 

 即…………3分

又…………4分   

 又成等比数列,

∴该数列的公比为，………6分    

所以………8分

又……………………………………10分

所以数列的通项为……………………………12分

（8）解：由已知可得两式相减得

即从而当时所以又所以从而

故总有，又从而即数列是等比数列；

（II）由（I）知

因为所以

从而=

=-=

由上-=

=12①

当时，①式=0所以；

当时，①式=-12所以

当时，又

所以即①从而

（9）（I）解法1：

解法2：

（II）

所以数列{只能有n项为有穷数列（III）所以

这就是所求的取值范围