空间向量及其运算(复习)

1、空间向量的基本知识

(1)空间向量的定义：

把具有大小和方向的量叫做向量．并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量．

(2)共线向量定理：

对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使．

(3)共面向量定理：

如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对，使

(4)空间向量分解定理：

如果三个向量，不共面，那么对空间任一向量存在唯一的有序实数组，，使．

    由上述定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成．不共面的三向量{， }构成空间的一个基底，任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，此定理是空间向量分解的、基础．

(5)空间两向量的夹角：

已知两个非零向量，在空间任取一点0，作，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作<， >．且规定O≤<， >≤．

(6)两个向量的数量积：

已知空间两向量，则叫做向量的数量积，记作．即： =

       由上述定义可知两个向量的数量积是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值．之积，此定义对于是零向量及共线向量的情况仍成立．由此可知零向量与任何向量的数量积均为零．由上述定义我们不难得到如下结论，对于两个非零向量有：①=   ②  ③

向量的数量积适合如下运算律。

交换律: =    结合律:    分配律: 

2.典型问题

（1）平行条件运用

[例1] 已知：且不共面.若∥,求的值.

[解] 

（2）垂直的充要条件运用   若

[例2] 如图,直三棱柱中,求证: 

[证明]

（3）用求距离或线段的长

  [例3]  在平行四边形中, ,将它沿对角线折起,使与成角,求间的距离.

[解] 如图,

（4）用数量积公式求异面直线所成的角

[例4]  如图,长方体中, 是的中点.求异面直线与所成的角.

[解]  

  [例5]  如图,平行六面体底面是菱形,且

(1)求证: 

(2)当的值为多少时,能使平面请给出说明.

[解] 

一、选择题

1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（　　）

Ａ．一个圆        Ｂ．一个点        Ｃ．半圆        Ｄ．平行四边形

2 ．若为任意向量，，下列等式不一定成立的是（　　）

Ａ．     Ｂ． 

Ｃ．        Ｄ． 

3．若三点共线，为空间任意一点，且，则的值为（　　）

Ａ．1        Ｂ．        Ｃ．        Ｄ． 

4．设，且，则等于（　　）

Ａ．        Ｂ．9        Ｃ．        Ｄ． 

5．已知非零向量不共线，如果，则四点（　　）

Ａ．一定共圆   Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心  Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面

6．若向量与的夹角的余弦值为，则（　　）

Ａ．            Ｂ．            Ｃ．或            Ｄ．2或

7．已知为平行四边形，且，则顶点的坐标为（　　）

Ａ．        Ｂ．        Ｃ．            Ｄ． 

8．给出下列命题：

①已知，则；

②为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么共面；

③已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；

④若共线，则所在直线或者平行或者重合．

正确的结论的个数为（　　）

Ａ．1          Ｂ．2          Ｃ．3         Ｄ．4

二、填空题

9．已知，向量与轴垂直，且满足，则　　．

10．已知三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与共面，那么　　　　．

11．在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为　　　　　．