2014年山东省烟台市中考数学试卷(word解析版)

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）

1．﹣3的绝对值等于（　　）

　 ．﹣3 ． 3 ．±3 ．﹣

2．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

　 ．  ．  ．  ． 

3．烟台市通过扩消费、促投资、稳外需的协同发力，激发了区域发展活力，实现了经济平稳较快发展．2013年全市生产总值（GDP）达5613亿元．该数据用科学记数法表示为（　　）

　 ． 5.613×1011元 ． 5.613×1012元 ． 56.13×1010元 ． 0.5613×1012元

4．如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是（　　）

　 ．  ．  ．  ． 

5．按如图的运算程序，能使输出结果为3的x，y的值是（　　）

　 ． x=5，y=﹣2 ． x=3，y=﹣3 ． x=﹣4，y=2 ． x=﹣3，y=﹣9

6．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（　　）

　 ． 28° ． 52° ． 62° ． 72°

7．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为（　　）

　 ． 1.5 ． 3 ． 3.5 ． 4.5

8．关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（　　）

　 ．﹣1或5 ． 1 ． 5 ．﹣1

9．将一组数，，3，2，，…，3，按下面的方式进行排列：

，，3，2，；

3，，2，3，；

…

若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（　　）

　 ．（5，2） ．（5，3） ．（6，2） ．（6，5）

10．如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（　　）

　 ．（1，1） ．（1，2） ．（1，3） ．（1，4）

11．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：

①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．

其中正确的结论有（　　）

　 ． 1个 ． 2个 ． 3个 ． 4个

12．如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（　　）

　 ．  ． 

C．  ．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

13．（﹣1）0+（）﹣1=　_________　．

14．在函数中，自变量x的取值范围是　_________　．

15．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是，那么袋子有球　_________　个．

16．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是　_________　．

17．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于　_________　．

18．如图，∠AOB=45°，点O1在OA上，OO1=7，⊙O1的半径为2，点O2在射线OB上运动，且⊙O2始终与OA相切，当⊙O2和⊙O1相切时，⊙O2的半径等于　_________　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分66分）

19．（6分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x为数据0，﹣1，﹣3，1，2的极差．

20．（7分）2014年世界杯足球赛6月12日﹣7月13日在巴西举行，某初中学校为了了解本校2400名学生对本次世界杯的关注程度，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和关注程度，分别绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．

（1）四个年级被调查人数的中位数是多少？

（2）如果把“特别关注”、“一般关注”、“偶尔关注”都统计成关注，那么全校关注本届世界杯的学生大约有多少名？

（3）在这次调查中，初四年级共有甲、乙、丙、丁四人“特别关注”本届世界杯，现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率．

21．（7分）小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．

22．（8分）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．

（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；

（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（8分）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．

（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）

（2）该车计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：

 型车 型车

进货价格（元） 

销售价格（元） 今年的销售价格

24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．

求证：tanα•tan=．

25．（10分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．

（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；

（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）

（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；

（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．

26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；

（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．

2014年山东省烟台市中考数学试卷

试题解析

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）

【考点】 中心对称图形；轴对称图形．

【分析】 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．

【详解】 解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；

C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．

故选：D．

3．烟台市通过扩消费、促投资、稳外需的协同发力，激发了区域发展活力，实现了经济平稳较快发展．2013年全市生产总值（GDP）达5613亿元．该数据用科学记数法表示为（　　）

　 ． 5.613×1011元 ． 5.613×1012元 ． 56.13×1010元 ． 0.5613×1012元

【考点】 科学记数法—表示较大的数．

【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】 解：将5613亿元用科学记数法表示为：5.613×1011元．

故选；A．

4．如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是（　　）

　 ．  ．  ．  ． 

【考点】 简单组合体的三视图；截一个几何体．

【分析】 根据主视图是从正面看到的图形判定则可．

【详解】 解：从正面看，主视图为．

故选：C．

5．按如图的运算程序，能使输出结果为3的x，y的值是（　　）

　 ． x=5，y=﹣2 ． x=3，y=﹣3 ． x=﹣4，y=2 ． x=﹣3，y=﹣9

【考点】 代数式求值．

【分析】 根据运算程序列出方程，再根据二元一次方程的解的定义对各选项分析判断利用排除法求解．

【详解】 解：由题意得，2x﹣y=3，

A、x=5时，y=7，故本选项错误；

B、x=3时，y=3，故本选项错误；

C、x=﹣4时，y=﹣11，故本选项错误；

D、x=﹣3时，y=﹣9，故本选项正确．

故选D．

6．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（　　）

　 ． 28° ． 52° ． 62° ． 72°

【考点】 菱形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】 根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．

【详解】 解：∵四边形ABCD为菱形，

∴AB∥CD，AB=BC，

∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，

在△AMO和△CNO中，

∵，

∴△AMO≌△CNO（ASA），

∴AO=CO，

∵AB=BC，

∴BO⊥AC，

∴∠BOC=90°，

∵∠DAC=28°，

∴∠BCA=∠DAC=28°，

∴∠OBC=90°﹣28°=62°．

故选C．

7．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为（　　）

　 ． 1.5 ． 3 ． 3.5 ． 4.5

【考点】 等腰梯形的性质；梯形中位线定理．

【分析】 根据等腰梯形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，∠ABD与∠ADB的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠ABD与∠ADB的关系，根据直角三角形的性质，可得BC的长，再根据三角形的中位线，可得答案．

【详解】 解：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，

∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠ADB，∠ADB=∠BDC．

∴∠ABD=∠CBD，∠C=2∠DBC．

∵BD⊥CD，

∴∠BDC=90°，

∴∠DBC=∠C=30°，

BC=2DC=2×3=6．

∵EF是梯形中位线，

∴MF是三角形BCD的中位线，

∴MF=BC=6=3，

故选：B．

8．关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（　　）

　 ．﹣1或5 ． 1 ． 5 ．﹣1

【考点】 根与系数的关系．

【分析】 设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．

【详解】 解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1•x2=2a，

∵x12+x22=5，

∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，

∴a2﹣4a﹣5=0，

∴a1=5，a2=﹣1，

∵△=a2﹣8a≥0，

∴a=﹣1．

故选：D．

9．将一组数，，3，2，，…，3，按下面的方式进行排列：

，，3，2，；

3，，2，3，；

…

若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（　　）

　 ．（5，2） ．（5，3） ．（6，2） ．（6，5）

【考点】 实数；规律型：数字的变化类．

【分析】 根据观察，可得，根据排列方式，可得每行5个，根据有序数对的表示方法，可得答案．

【详解】 解：3=，3得被开方数是得被开方数的30倍，

3在第六行的第五个，即（6，5），

故选：D．

10．如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（　　）

　 ．（1，1） ．（1，2） ．（1，3） ． （1，4）

【考点】 坐标与图形变化-旋转．

【分析】 先根据旋转的性质得到点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AA′的垂直平分线，也在线段BB′的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心．

【详解】 解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△A′B′C′，

∴点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，

作线段AA′和BB′的垂直平分线，它们的交点为P（1，2），

∴旋转中心的坐标为（1，2）．

故选B．

11．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：

①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．

其中正确的结论有（　　）

　 ． 1个 ． 2个 ． 3个 ． 个

【考点】 二次函数图象与系数的关系．

专题： 数形结合．

【分析】 根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．

【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，

∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；

∵当x=﹣3时，y＜0，

∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；

∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），

∴a﹣b+c=0，

而b=﹣4a，

∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，

∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；

∵对称轴为直线x=2，

∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，所以④错误．

故选B．

12．如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（　　）

　 ．   ． 

C．  ． 

【考点】 动点问题的函数图象．

【分析】 分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．

【详解】 解：点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；

点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；

点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小．

故选：A．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

13．（﹣1）0+（）﹣1=　2015　．

【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．

【分析】 分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．

【详解】 解：原式=1+2014

=2015．

故答案为：2015．

14．在函数中，自变量x的取值范围是　x≤1且x≠﹣2　．

【考点】 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．

【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．

【详解】 解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+2≠0，

解得：x≤1且x≠﹣2．

15．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是，那么袋子有球　12　个．

【考点】 概率公式．

【分析】 设袋有球x个，根据概率公式列出等式解答．

【详解】 解：设袋有球x个，

∵有3个白球，且摸出白球的概率是，

∴=，解得x=12（个）．

故答案为：12．

16．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是　x＜4　．

【考点】 一次函数与一元一次不等式．

【分析】 把P分别代入函数y=2x+b与函数y=kx﹣3求出k，b的值，再求不等式kx﹣3＞2x+b的解集．

【详解】 解：把P（4，﹣6）代入y=2x+b得，

﹣6=2×4+b

解得，b=﹣14

把P（4，﹣6）代入y=kx﹣3

解得，k=﹣

把b=﹣14，k=﹣代入kx﹣3＞2x+b得

﹣x﹣3＞2x﹣14

解得x＜4．

故答案为：x＜4．

17．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于　π　．

【考点】 正多边形和圆；扇形面积的计算．

【分析】 先正确作辅助线，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积．

【详解】 解：连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD于Z，

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，

由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，

∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，

∴BM=OB×sin60°=2，OM=OB•cos60°=2，

∴BD=2BM=4，

∴△BDO的面积是×BD×OM=×4×2=4，

同理△FDO的面积是4；

∵∠COD=60°，OC=OD=4，

∴△COD是等边三角形，

∴∠OCD=∠ODC=60°，

在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2，

∴S扇形OCD﹣S△COD=﹣×4×2=π﹣4，

∴阴影部分的面积是：4+4+π﹣4+π﹣4=π，

故答案为：π．　

18．如图，∠AOB=45°，点O1在OA上，OO1=7，⊙O1的半径为2，点O2在射线OB上运动，且⊙O2始终与OA相切，当⊙O2和⊙O1相切时，⊙O2的半径等于　3或15　．

【考点】 圆与圆的位置关系．

【分析】 作O2C⊥OA于点C，连接O1O2，设O2C=r，根据⊙O1的半径为2，OO1=7，表示出O1O2=r+2，O1C=7﹣r，利用勾股定理列出有关r的方程求解即可．

【详解】 解：如图，作O2C⊥OA于点C，连接O1O2，

设O2C=r，

∵∠AOB=45°，

∴OC=O2C=r，

∵⊙O1的半径为2，OO1=7，

∴O1O2=r+2，O1C=7﹣r，

∴（7﹣r）2+r2=（r+2）2，

解得：r=3或15，

故答案为：3或15．

三、解答题（本大题共8个小题，满分66分）

19．（6分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x为数据0，﹣1，﹣3，1，2的极差．

【考点】 分式的化简求值；极差．

【分析】 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出数据的极差确定出x，代入计算即可求出值．

【详解】 解：原式=÷=•=，

当x=2﹣（﹣3）=5时，原式==．　

20．（7分）2014年世界杯足球赛6月12日﹣7月13日在巴西举行，某初中学校为了了解本校2400名学生对本次世界杯的关注程度，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和关注程度，分别绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．

（1）四个年级被调查人数的中位数是多少？

（2）如果把“特别关注”、“一般关注”、“偶尔关注”都统计成关注，那么全校关注本届世界杯的学生大约有多少名？

（3）在这次调查中，初四年级共有甲、乙、丙、丁四人“特别关注”本届世界杯，现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率．

【考点】 列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．

【分析】 （1）根据条形统计图中的数据，找出中位数即可；

（2）根据扇形统计图找出关注本届世界杯的百分比，乘以2400即可得到结果；

（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是甲与乙的情况，即可确定出所求概率．

【详解】 解：（1）四个年级被抽出的人数由小到大排列为30，40，50，80，

∴中位数为=45（人）；

（2）根据题意得：2400×（1﹣45%）=1320（人），

则该校关注本届世界杯的学生大约有1320人；

（3）画树状图，如图所示：

所有等可能的情况有12种，其中恰好是甲与乙的情况有2种，

则P==．

21．（7分）小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．

【考点】 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【分析】 延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°，解Rt△ACD，得出AD=AC•tan∠ACD=米，CD=2AD=3米，

再证明△BOD是等边三角形，得到BD=OD=OA+AD=4.5米，然后根据BC=BD﹣CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．

【详解】 解：延长OA交BC于点D．

∵AO的倾斜角是60°，

∴∠ODB=60°．

∵∠ACD=30°，

∴∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°．

在Rt△ACD中，AD=AC•tan∠ACD=•=（米），

∴CD=2AD=3米，

又∵∠O=60°，

∴△BOD是等边三角形，

∴BD=OD=OA+AD=3+=4.5（米），

∴BC=BD﹣CD=4.5﹣3=1.5（米）．

答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米．

22．（8分）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．

（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；

（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】 （1）根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；

（2）存在，设E（x，0），表示出DE与CE，连接AE，BE，三角形ABE面积=四边形ABCD面积﹣三角形ADE面积﹣三角形BCE面积，求出即可．

【详解】 解：（1）由题意得：，

解得：，

∴A（1，6），B（6，1），

设反比例函数解析式为y=，

将A（1，6）代入得：k=6，

则反比例解析式为y=；

（2）存在，

设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，

∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，

∴∠ADE=∠BCE=90°，

连接AE，BE，

则S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE=（BC+AD）•DC﹣DE•AD﹣CE•BC=×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1=﹣x=5，

解得：x=5，

则E（5，0）．

23．（8分）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．

（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）

（2）该车计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：

 型车 型车

进货价格（元） 

销售价格（元） 今年的销售价格

【考点】 一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式的应用．

【分析】 （1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；

（2）设今年新进A行车a辆，则B型车（60﹣x）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．

【详解】 解：（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由题意，得

，

解得：x=1600．

经检验，x=1600是元方程的根．

答：今年A型车每辆售价1600元；

（2）设今年新进A行车a辆，则B型车（60﹣x）辆，获利y元，由题意，得

y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a），

y=﹣100a+36000．

∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，

∴60﹣a≤2a，

∴a≥20．

∵y=﹣100a+36000．

∴k=﹣100＜0，

∴y随a的增大而减小．

∴a=20时，y最大=34000元．

∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．

∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．

24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．

求证：tanα•tan=．

25．（10分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．

（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；

（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）

（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；

（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．

【考点】 四边形综合题．

【分析】 （1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；

（2）是．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+

∠ADF=90°，所以AE⊥DF；

（3）成立．由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；

（4）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得

OC的长，再求CP即可．

【详解】 解：（1）AE=DF，AE⊥DF．

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．

∵DE=CF，

∴△ADE≌△DCF．

∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，

由于∠CDF+∠ADF=90°，

∴∠DAE+∠ADF=90°．

∴AE⊥DF；

（2）是；

（3）成立．

理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF

延长FD交AE于点G，

则∠CDF+∠ADG=90°，

∴∠ADG+∠DAE=90°．

∴AE⊥DF；

（4）如图：

由于点P在运动中保持∠APD=90°，

∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，

设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，

在Rt△ODC中，OC=，

∴CP=OC﹣OP=．

26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；

（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．

【考点】 二次函数综合题．

【分析】 （1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得．

（2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD∽△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论．

（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果．

【详解】 解：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得=a×22﹣2a﹣a，

解得a=，

∴抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣．

（2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90°

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠BCF=90°，

∴∠ACO=∠CBF，

∵∠AOC=∠CFB=90°，

∴△AOC∽△CFB，

∴=，

设OC=m，则CF=2﹣m，则有=，

解得m=m=1，

∴OC=OF=1，

当x=0时y=﹣，

∴OD=，

∴BF=OD，

∵∠DOC=∠BFC=90°，

∴△OCD∽△FCB，

∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，

∴点B、C、D在同一直线上，

∴点B与点D关于直线AC对称，

∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．

（3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，

解得k=﹣，

∴y=﹣x+，代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣．

解得x=2或x=﹣2，