三角函数的图像习题精选精讲

　　三角函数的图象变换是三角函数的图象的重要的组成部分.利用三角函数的图象变换不仅可方便的画出三角型函数的图象，而且还可以进一步研究函数的性质．下面举例说明几种常见的变换及应用．

一、正向变换

例1　由函数的图象经过怎样的变换，得到函数的图象．

分析：可以从“平移变换”和“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑，于是得到两种解法（而本文只介绍一种解法，另一种解法请同学们参照评注自行探究）．

解： 

评注：由函数的图象得到函数的图象的变换主要有两条途径：

①；

②

“相位变换”中的平移量是个易错点，对于这个问题，关键在于x的变化顺序：途径①中由x到，变化了，应平移个单位；途径②中由到（即），变化了，应平移个单位．平移方向遵循“左加右减”的规律.本题还涉及到了对称变换，先对称后平移与先平移后对称得到的结果是否一致呢？同学们开动脑筋思考一下．

二、逆向变换

例2　已知函数，将的图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x轴向左平移个单位，这样得到的是的图象，求已知函数的解析式．

分析：对函数的图象作相反的变换，寻求应有的结论．

　　解：把的图象沿着x轴向右平移个单位，得到的解析式是；再使它的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的倍，得到的解析式为．故所求函数解析式为．

评注：本题也可以设所求函数的解析式为，通过“正向变换”得到，因与是同一函数，进行相应系数的比较也可以得出结论.

三、综合应用

例3　已知函数，当时，的最大值为．

（1）求的解析式；

（2）由的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数的图象？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由．

解：（1）由，得，

∴，

∴当时，，与矛盾，舍去；当时，由，，得，∴．

（2）能．先将的图象向右平移个单位，再向上平移１个单位，即得到奇函数的图象．

图象变换问题

　　三角函数的图象变换是一个重点内容．解这类问题，先通过三角恒等变换将函数化为的形式，然后再探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平移变换、伸缩变换或振幅变换得到的．特别需要注意的是：在图象变换中，无论是“先平移后伸缩”，还是“先伸缩后平移”，须记清每次变换均对“”而言．

例6　已知函数，．该函数的图象可由，的图象经过怎样的变换而得到？

解： ．

将函数依次作如下变换：

（1）把函数的图象向左平移，得到函数的图象；

（2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；

（3）把得到的图象上各点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象；

（4）把得到的函数图象向上平移个单位长度，得到函数的图象．

综上得到函数的图象．

点评：由的图象变换得到的图象，一般先作平移变换，后作伸缩变换，即．如果先作伸缩变换，后作平移变换，则左（右）平移时不是个单位，而是个单位，即是左（右）平移个单位长度．

解“三角函数图像与性质”问题的两个“切入点”

三角函数的图像与性质是高考必考内容之一，不管从什么    角度考察，不管考察哪一种性质问题，解决问题的切入点一般有两个：一是把所研究的函数解析式化为：“一角一”；二是画出函数在某一区间上的图像。举例说明如下：

例1、（2006年福建卷）已知函数

    （I）求函数的最小正周期和单调增区间；        

    （II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？

    思路分析：先把函数的解析式化为的形势后，类比讨论。

解：（I）= 的最小正周期

    由题意得、即　

    的单调增区间为

    （II）先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。

    点评：求三角函数的值域、单调区间、周期、对称中心、对称轴，判断函数奇偶性等问题时，把函数的解析式化为：“一角一”的形式（如： ）是解决此类问题的共同切入点。    

易错点剖析：若把化为，由求的增区间是错误的，处理方法：（1）把变为，或把变为=后类比求。

例2、（2003辽宁卷理）已知函数是R上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值.

思路分析：（1）是R上的偶函数，应为，，易求

（2）在区间上是单调函数，根据图像， ，可求的范围。 

解：由是偶函数，得依题设，所以解得. 

由的图象关于点M对称，得…，   ….

.根据， ，得  所以，综合以上得.    

点评：根据函数图像很容易找到条件(1)偶函数（2）且在区间上是单调函数应用的切入点，从而快速准确求出参数的值。

例3．已知函数，若函数有两个不同零点。

（1）求实数的取值范围；（2）求的值。    

思路分析：把函数解析式化为“一角一”，然后利用五点法画出函数在区间上的图像，利用图像求解。

解：           列表

根据函数的图像可得：

（1）当时，函数有两个不同的零点。

（2）当时；当时。

点评：利用图像很直观地得到问题的答案，同时也体现了数形结合思想在解题中的应用，由此可见画出三角函数在某一区间上的图像，利用图像来思考三角问题是解三角问题一个非常直观和非常有效的切入点。

 “三角函数的图像与性质”高考大盘点

一：以简单的素材，直白的语言，客观题的形式全面考查三角函数最基本的图像、性质

1、（2007年海南宁夏卷理3）．函数在区间的简图是（   ）

2、（2007年安徽卷理6）函数的图象为C

①图象关于直线对称;

②函灶在区间内是增函数;

③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.

其中正确的个数有（   ）个

  （A）0                （B）1                （C）2            （D）3

3、（2006年天津卷）已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则函数是（　　）

A．偶函数且它的图象关于点对称 　B．偶函数且它的图象关于点对称

C．奇函数且它的图象关于点对称　 D．奇函数且它的图象关于点对称

4、（2007年四川卷理16）下面有五个命题：

①函数的最小正周期是.

②终边在y轴上的角的集合是

③在同一坐标系中，函数的图象和函数y=x的图象有三个公共点.

④把函数

⑤函数

其中真命题的序号是    （写出所有真命题的编号）

答案1A,   2C,      3D,          4  ①   ④    

应对策略：紧扣定义，灵活选择方法（如：利用三角函数图像、特值排除、代如验证）求解

二、以较复杂的三角变换为背景，以低档解答题的形式考察三角函数的图像与性质

5．(07年辽宁卷文19）．已知函数（其中）

（I）求函数的值域；     

（II）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间．

（I）解： ．          5分

由，得，

可知函数的值域为．    7分

（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周期为，又由，得，即得．   9分

于是有，再由，解得

．

所以的单调增区间为    12分

应对策略：把所研究的函数解析式化为：“一角一”； 然后类比基本三角函数的图像与性质求解。 

三、以平面向量为背景，以低档解答题的形式考察三角函数的图像与性质

6．（2007陕西卷）设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点，

（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.

解：（Ⅰ），

由已知，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

当时，的最小值为，

由，得值的集合为

应对策略：脱出向量这层外依    ，把所研究的函数解析式化为：“一角一”； 然后类比基本三角函数的图像与性质求解。 

说明：三角与向量结合是近几年高考考察的主要形式，也是今后高考出题方向。复习时应注意向量与三角知识的整合。

四、以导数的应用为背景，以中档解答题的形式考察三角函数的图像与性质。

7．（2005年全国）（本大题满分12分）

设函数图像的一条对称轴是直线。

（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；

（Ⅲ）证明直线于函数的图像不相切。

解：（Ⅰ）的图像的对称轴， 

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

由题意得

所以函数

（Ⅲ）证明： 

所以曲线的切线斜率取值范围为[－2，2]，而直线的斜率为，

8．（2007年江西卷）（本小题满分12分）

如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．

（1）求和的值；

（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．

解：（1）将，代入函数得，

因为，所以．

又因为，，，所以，因此．

（2）因为点，是的中点，，所以点的坐标为．

又因为点在的图象上，所以．

因为，所以，

从而得或．即或．

应对策略：灵活利用导数这一工具求曲线上任一点切线的斜率，把复杂问题转化成三角基本问题。

四法求初相“”

　　要确定正弦型函数的解析式，需要求出和的值．下面就介绍求的四种方法．

例1 已知图1是函数的图象上的一段，则（　　）

Ａ．        

Ｂ． 

Ｃ．            

Ｄ． 

分析：观察图象我们可以得到很多信息：周期、五个关键点、图象平移量等，那么是不是这些信息全具备我们才能求出和呢？其实我们只要知道其中的某些信息，通过不同的方法就能求和．下面从不同角度用三种方法解决此问题．

一、最值点法

若题设中出现最值点时，在求出和后把最值点的坐标代入解析式，然后通过解三角方程来求角．

解法一：∵，，

∴．∴．

把最高点代入上式得，

∴，，∵，∴取，得，故选（Ｃ）．

二、逆用五点法

“五点法”可作出正弦型函数的图象，因此利用五个关键点可求出．

解法二：（求解过程同解法一），选取一个关键点，则其对应着用“五点法”作函数图象的第一个点，故令，得，故选（Ｃ）．

点评：①用此法求，需要对“五点法”作简图有深刻的理解；②此法对五个关键点都适用．注意选点时尽可能的选用能够简化运算的点；③本解法中选取的是第一个关键点，得到．如果选取第二个关键点，1、第三个关键点及第四个、第五个关键点，得到的是否相同呢？通过验证我们知道得到的是相等的，但它可能并不是我们所要求的范围的角，我们可以根据终边相同的角的性质，即终边相同的角相差的整数倍，将转化到所要求的范围．

三、图象平移法

图象的变换规律见第二版《三角函数的图象变换及应用》．

解法三：（求解过程同解法一），由图象知，的图象可由的图象向左平移个单位得到．

∴函数的解析式为，∴．

点评：图象平移法简单易行，但此法需要我们对三角函数的变换规律有深刻的理解．

　　如果通过分析题意我们不知道函数的周期，不知道五个关键点，更不知道函数图象的平移量，那该怎么办呢？下面介绍一种解这类问题的方法——单调性法．

四、单调性法

将函数的图象与的图象进行比较，选取某一单调区间上的点，代入函数的表达式，得到一个等式，从而求出．

代入的点在图象递增段上时，；在图象递减段上时，．

例2　已知函数的图象，如图2，求角．

解：把点代入函数解析式得．

∵在函数图象的递减段上，∴，

∴，∴．