函数对称性与周期性几个重要结论赏析

对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。

一、几个重要的结论

（一）函数图象本身的对称性（自身对称）

1、函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线对称。

2、函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线对称。

3、函数满足的充要条件是图象关于直线对称。

4、如果函数满足且，（和是不相等的常数），则是以为为周期的周期函数。

5、如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。

6、如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、曲线与关于X轴对称。

2、曲线与关于Y轴对称。

3、曲线与关于直线对称。

4、曲线关于直线对称曲线为。

5、曲线关于直线对称曲线为。

6、曲线关于直线对称曲线为。

7、曲线关于点对称曲线为。

二、试试看，练练笔

1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时, ,则________。

2、已知函数满足，则图象关于__________对称。

3、函数与函数的图象关于关于__________对称。

4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。

5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。图象关于__________对称。

6、设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于__________对称，关于__________对称。

7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为（    ）

A、5        B、10        C、15        D、18

8、设函数的定义域为R，则下列命题中，①若是偶函数，则图象关于y轴对称；②若是偶函数，则图象关于直线对称；③若，则函数图象关于直线对称；④与图象关于直线对称，其中正确命题序号为_______。

9、函数定义域为R，且恒满足和，当

时，，求解析式。

10、已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根。

附参：

：  ： ：   ：y轴即  ：①y轴②

：①②    ：C    ：②④    

：

：方程的根为共9个根。