北师大版 八年级上册_实数_全章复习经典讲义_知识点与考点习题

【知识网络】

【知识梳理】

一．数的开方主要知识点：

【平方根】如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：。因此：

1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；

2.当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：。

3.当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。

例1.

（1）       的平方是，所以的平方根是       ；

（2）        的平方根是它本身。

（3）若的平方根是±2，则x=   　 ；的平方根是      

（4）当x                时，有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？

【算术平方根】：

   （1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。

（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：。

（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。

例2.

（1）下列说法正确的是      （    ）

A．1的立方根是；       B．；   （C）、的平方根是；    （ D）、0没有平方根； 

（2）下列各式正确的是（      ）

A、     B、   C、       D、

（3）的算术平方根是         。

（4）若有意义，则___________。

（5）已知△ABC的三边分别是且满足，求c的取值范围。

（6）已知：A=是的算术平方根，B=是的立方根。求A－B的平方根。

（7）（提高题）如果x、y分别是4－的整数部分和小数部分。求x － y的值.

【立方根】

  （1）如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。

（2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

例3.

（1）的立方根是           

（2）若，则b等于（    ） 

　A. 1000000　  B. 1000　   C. 10   　D. 10000

（3）下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。

其中正确的有                     （    ）

A、1个       B、2个        C、3个      D、4个

【无理数】

 （1）无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如： 

（2） 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号）

（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-, ,其中无理数有 (      )个

A   2       B  3       C  4       D   5  

【实数】

（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1，最小的正整数是1.

（2）实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

（3）实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

（4）实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。

例5.

（1）下列说法正确的是（      ）；

A、任何有理数均可用分数形式表示 ；   B、数轴上的点与有理数一一对应 ；

C、1和2之间的无理数只有；      D、不带根号的数都是有理数。

（2）①a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是(    )

b

0

a

A、         B、        C、      D、

②（2012山东省聊城，10，3分）如右图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是和-1，则点C所对应的实数是（   ）

A. 1+  -+1

③（2012·湖南省张家界市·6题·3分）实数、在轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（    ）

A．        B.        C .   D. 

（3）比较大小(填“>”或“<”).

3    ，           ，   ，       ，

（4）将下列各数：，用“＜”连接起来；______________________________________。

（5）若，且，则： =       。

（6）计算：

（7）已知：，求代数式的值。

例6.（提高题）观察下列等式：回答问题：

 ①     ②

③，……

（1）根据上面三个等式的信息，请猜想的结果；

（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。

【常见题型训练】：

一、易考题：

1．－1的相反数的倒数是　　　　　

2．已知｜a+3|+＝0，则实数（a+b）的相反数　　　　　

3．数－3．14与－的大小关系是　　　　　

4．和数轴上的点成一一对应关系的是　　　　　　

5．和数轴上表示数－3的点A距离等于2．5的B所表示的数是　　　　　　

6．在实数中,－,0, ,－3．14,无理数有（　　）

（A）1　个　　（B）2个　　（C）3个　　（D）4个

7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（　　）

（A）非负数　　（B）非正数　　（C）负数　　（D）正数

8．若x＜－3，则｜x＋3｜等于（　　　）

（A）x＋3　　（B）－x－3　　（C）－x＋3　　（D）x－3

9．下列说法正确是（　　）

（A）有理数都是实数       （B）实数都是有理数

（B）带根号的数都是无理数　（D）无理数都是开方开不尽的数

10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：

（1）c-b和d-a            

（2）bc和ad      

二、考点训练：

*1．判断题：

（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（　）

（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（　）

（3）两个无理数之和一定是无理数；（　）

（4）两个无理数之积不一定是无理数；（　）

（5）任何有理数都有倒数；（　）　　（6）最小的负数是－1；（　）

（7）a的相反数的绝对值是它本身；（　）

（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（　）

2．把下列各数分别填入相应的集合里

－|－3|，21．3，－1．234，－,0，－,－, －, , (－)0，3－2，1.2121121112．．．．．．中

   无理数集合｛　　　　　 　　   　｝　　负分数集合｛　　　　  　　　　｝

   整数集合｛　　　  　　　   　　｝　非负数集合｛    　　　　　　　　 ｝

*3．已知1（A）－2x　（B）2　（C）2x　　（D）－2

4．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？

－3,  －1， 3， － 0．3，  3－1，  1 +，  3

互为相反数：          ；互为倒数：      互为负倒数：        

*5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X－）2和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y的值　

6.若ａ,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，则+4m-3cd=            。

*7．已知＝0，则ａ＋ｂ=            。

三、解题指导：　　　　　　　　　

1．下列语句正确的是（　　）

（A）无尽小数都是无理数　              （B）无理数都是无尽小数

（C）带拫号的数都是无理数　              （D）不带拫号的数一定不是无理数。

2．和数轴上的点一一对应的数是（　　　）

（A）整数　     （B）有理数　      （C）无理数　   　（D）实数

3．零是（　　　）

（A）最小的有理数   （B）绝对值最小的实数　（C）最小的自然数　    （D）最小的整数

4.如果a是实数，下列四种说法：

（1）ａ2和｜ａ｜都是正数；    （2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，

（3）ａ的倒数是；         （4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的（　　）

（A）0　　（B）1　　（C）2　　　（D）3

*5．比较下列各组数的大小：（1）　　  (2) 　 (3)a6．若a,b满足=0,则的值是            

*7．实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c|

（1）判定a+b,a+c,c-b的符号

（2）化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|

*8．数轴上点A表示数－1，若AB＝3，则点B所表示的数为              

9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x，－x，－|y|，y。

10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？

11．（2011广东茂名，9，3分）对于实数、，给出以下三个判断：

 ①若，则．

②若，则．

 ③若，则．其中正确的判断的个数是（ ）

A．3．2．1．0

12．（2012江苏省淮安市，16，3分）若的值在两个整数a与a+1之间，则a=      ．

*13.数轴上作出表示，，－的点。

四．训练：

1．0的相反数是　　，3－л的相反数是　　，  的相反数是　　　；－л的绝对值是　　　，0　的绝对值是　　，－的倒数是　　　　　　

2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是　　　。

A表示的数是－，且AB＝，则点B表示的数是　　　　。

3　－,л,(1－)º,－,0．1313…,2cos60º,  －3－1 ,1．101001000… 

(两1之间依次多一个0),中无理数有　　      　，整数有　      　　，负数有　        　　。

4. 若a的相反数是27，则｜a|＝      ；5．若|a|＝，则a=           

5．若实数x，y满足等式（x＋3）2＋｜4－y｜＝0，则x＋y的值是           

6．实数可分为（　　　）（A）正数和零（B）有理数和无理数（C）负数和零 （D）正数和负数

*7．若2a与1－a互为相反数，则a等于（　　　）

　　（A）1　　  （B）－1　　    （C）      （D）

8．当a为实数时， =－a在数轴上对应的点在（　　　）

(A)原点右侧（B）原点左侧（C）原点或原点的右侧（D）原点或原点左侧

*9．代数式＋＋的所有可能的值有（　　　）

（A）2个　　　（B）3个　　　（C）4个　　（D）无数个

10．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图

（1）比较a－b与a+b的大小　　　　　　　（2）化简|b－a|+|a+b|

11．实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜

试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜

*12．已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0 。求它的周长。

＊13．若3，ｍ，5为三角形三边，化简：－