《指数函数和对数函数》单元检测试卷及答案

一、单选题

1．已知函数，则的图象大致为（    ）

A．B．C．D．

2．已知函数，则（    ）

A．是奇函数，且在R上是增函数    B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数    D．是偶函数，且在R上是减函数

3．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（    ）

A．B．C．D．

4．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）

A．    B．

C．    D．

5．已知集合，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

6．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则（    ）

A．    B．    C．    D．

7．如果方程的两根为、，则的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．若，则（    ）

A．    B．    C．    D．

9．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ）

A．1.2天       B．1.8天         C．2.5天         D．3.5天

二、多选题

10．已知函数，，，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．的图象可由的图象平移得到

B．函数的图象关于直线对称

C．函数的图象关于点对称

D．不等式的解集是

11．设是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，若，，，则，，的大小关系是（    ）

A．    B．    C．    D．

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是　　

A．是偶函数    B．是奇函数

C．在上是增函数    D．的值域是

三、填空题

13．函数在的零点个数为________．

14．=______．

15．函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于__________.

16．设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是____________

四、解答题

17．已知函数.

（1）当时，求；

（2）求解关于的不等式；

（3）若恒成立，求实数的取值范围.

18．已知函数（且）．

（1）求的解析式，再判断的奇偶性；

（2）解关于的方程．

19．已知函数．

（1）作出函数的图象；

（2）若，且，求证：．

20．已知函数．

（1）若的定义域为（是自然对数的底数），求函数的最大值和最小值；

（2）求函数的零点个数．

21．如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．

22．已知函数，a常数.

（1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间；

（2）若对于，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

答案

一、单选题

1．已知函数，则的图象大致为（    ）

A．B．C．D．

答：B

分析：因为，所以A错；

因为，所以C错；

因为，所以D错，

故选：B．

2．已知函数，则（    ）

A．是奇函数，且在R上是增函数    B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数    D．是偶函数，且在R上是减函数

答：A

分析：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，

又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数．

故选A.

3．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（    ）

A．B．C．D．

答：D

分析：当时，为增函数，当时，且，

故A,B 不符合.

当时，为减函数，当时，，故C不符合，D符合.

故选：D.

4．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）

A．    B．

C．    D．

答：D

分析：注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根

即可，

令，即与的图象有个不同交点.

因为，

当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；

当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；

当时，如图3，当与相切时，联立方程得，

令得，解得（负值舍去），所以.

综上，的取值范围为.

故选：D.

5．已知集合，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

答：D

分析：由得

所以,

所以；

所以．

故选：D．

6．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则（    ）

A．    B．    C．    D．

答：C

分析：设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为

（），由已知（）在函数的图像上，∴，

解得，即，

∴，解得，故选C．

7．如果方程的两根为、，则的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

答：C

分析：由题意、是关于的方程的两根，

∴，∴，

故选：C．

8．若，则（    ）

A．    B．    C．    D．

答：B

分析：设，则为增函数，因为

所以，

所以，所以.

，

当时，，此时，有

当时，，此时，有，所以C、D错误.

故选：B.

9．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ）

A．1.2天    B．1.8天

C．2.5天    D．3.5天

答：B

分析：

因为，，，所以，所以，

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，

则，所以，所以，

所以天.

故选：B.

二、多选题

10．已知函数，，，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．的图象可由的图象平移得到

B．函数的图象关于直线对称

C．函数的图象关于点对称

D．不等式的解集是

答：ABC

分析：对于A，因为，所以的图象可由的图象平移得到，所以A正确；

对于B，设，则，

，因为，

所以的图象关于直线对称，B正确；

对于C，设，则，

，因为，

所以的图象关于点对称，所以C正确；

对于D，由，得，化为，，若，则；若，则，所以D错误．

故选：ABC

11．设是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，若，，，则，，的大小关系是（    ）

A．    B．    C．    D．

答：AC

分析：因为，

，所以．

因为在上单调递增，

所以．

因为是偶函数，

所以，

，

．

所以．

故选：AC

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是　　

A．是偶函数    B．是奇函数

C．在上是增函数    D．的值域是

答：BC

分析：，

，

，则不是偶函数，故错误；

的定义域为，

，为奇函数，故正确；

，

又在上单调递增，在上是增函数，故正确；

，，则，可得，

即．

，，故错误．

故选：．

三、填空题

13．函数在的零点个数为________．

答：

分析：

由题可知，或

解得,或

故有3个零点．

14．=______．

答：

分析：．

15．函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于__________.

答：8

分析：且

令解得，则

即函数过定点，又点在直线上，，

则，当且仅当 时，

等号成立，

故答案为：8．

16．设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是____________

答：8

分析：由于，则需考虑的情况，

在此范围内，且时，设，且互质，

若，则由，可设，且互质，

因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，

因此不可能与每个周期内对应的部分相等，

只需考虑与每个周期的部分的交点，

画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，

且处，则在附近仅有一个交点，

因此方程的解的个数为8．

四、解答题

17．已知函数.

（1）当时，求；

（2）求解关于的不等式；

（3）若恒成立，求实数的取值范围.

答：（1）；（2）当时，的解集为，当时；（3）.

分析：（1）当时，

（2）由得：

或

当时，解不等式可得：或

当时，解不等式可得：或

综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为

（3）由得：

或

①当时，，

或，解得：

②当时，，

或，解得：

综上所述：的取值范围为

18．已知函数（且）．

（1）求的解析式，再判断的奇偶性；

（2）解关于的方程．

答：（1），奇函数；（2）.

分析：（1）令，则，

∴，由，得，

∴，即，

∴，

又，

∴为奇函数．

（2）由（1）得，∴，解得，解集为.

19．已知函数．

（1）作出函数的图象；

（2）若，且，求证：．

答：（1）图象见解析；（2）证明见解析.

分析：（1），其图象如图所示．

（2）由图知， 在上是减函数，在上是增函数，

故结合条件知必有．

若，则，，所以；

若，则由，得，

即，所以．

综上知，总有．

20．已知函数．

（1）若的定义域为（是自然对数的底数），求函数的最大值和最小值；

（2）求函数的零点个数．

答：（1）最大值为11，最小值为2；（2）2个

分析：（1）因为的定义域为，

设，

则在上单调递减，在上单调递增，

所以，

因为，则．

故函数的最大值为11，最小值为2；

（2）函数，，

因为，所以是偶函数．

当时，在上连续不间断，且单调递增，

又，，

则函数在上存在唯一的零点，

由于函数为偶函数，则函数在上也存在唯一的零点．

综上，函数在定义域内零点的个数为2个．

21．如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．

答：（1）15（百米）；

（2）见解析；

（3）17+（百米）.

分析：解法一：

（1）过A作，垂足为E.

由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.

因为PB⊥AB，

所以.

所以.

因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处，连结AD，由（1）知，

从而，所以∠BAD为锐角.

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此，Q选在D处也不满足规划要求.

综上，P和Q均不能选在D处.

（3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

设为l上一点，且，由（1）知，，

此时；

当∠OBP>90°时，在中，.

由上可知，d≥15.

再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.

解法二：

（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.

以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.

因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.

因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.

从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为.

因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，

直线PB的方程为.

所以P（−13，9），.

因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），

所以线段AD：.

在线段AD上取点M（3，），因为，

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此Q选在D处也不满足规划要求.

综上，P和Q均不能选在D处.

（3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

设为l上一点，且，由（1）知，，此时；

当∠OBP>90°时，在中，.

由上可知，d≥15.

再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.

当QA=15时，设Q（a，9），由，

得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上，当P（−13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离

.

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.

22．已知函数，a常数.

（1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间；

（2）若对于，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

答：（1）证明见解析，单调增区间为；（2）.

分析：（1）证明：当时，.

的定义域为.

当时,

.

，

∴在区间上是奇函数，

的单调增区间为，.

（2）由，

得.

令，

若使题中不等式恒成立，只需要.

由（1）知在上是增函数，所以.

所以m的取值范围是.