2021年山东省潍坊市高考数学模拟试卷(三模)

一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{3，4}，则集合{5}＝（　　）

A．∁U（A∪B）    B．（∁UA）∪（∁UB）    

C．（∁UA）∪B    D．（∁UB）∪A

2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i，则z1z2＝（　　）

A．﹣5    B．5    C．﹣4+i    D．﹣4﹣i

3．（5分）某学校参加志愿服务社团的学生中，高一年级有50人，高二年级有30人，高三年级有20人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高三年级的学生中应抽取的人数为（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

4．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，，若，则λ+μ＝（　　）

A．﹣    B．1    C．    D．

5．（5分）“tanα＝2”是“cos（2α﹣）＝”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

6．（5分）某地区为落实乡村振兴战略，帮助农民脱贫致富，引入一种特色农产品种植，该农产品上市时间仅能维持5个月，预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．经研究其价格模拟函数为f（t）＝t（t﹣3）2+n，（0≤t≤5，其中t＝0表示5月1日，t＝1表示6月1日，以此类推），若f（2）＝6，为保护农户的经济效益，当地计划在价格下跌时积极拓宽外销，请你预测该农产品价格下跌的月份为（　　）

A．5月和6月    B．6月和7月    C．7月和8月    D．8月和9月

7．（5分）双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的右支在第一象限的交点为A，与y轴的交点为B，且△ABF2为等边三角形，则以下说法正确的是（　　）

A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x    

B．若双曲线C的实轴长为2，则＝    

C．若双曲线C的焦距为2，则点A的纵坐标为    

D．点F2在以AF1为直径的圆上

8．（5分）定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a＝b（modm），比如：26＝16（mod10）．已知n＝，满足n＝p（mod10），则p可以是（　　）

A．23    B．21    C．19    D．17

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）已知函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

10．（5分）已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列结论正确的是（　　）

A．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n    

B．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β    

C．如果α∥β，m⊂α，那么m∥β    

D．如果m∥α，n∥β且α∥β，那么m∥n

11．（5分）已知函数f（x）＝2sinx﹣sin2x，则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）的周期为2π    

B．y＝f（x）的图象关于x＝对称    

C．f（x）的最大值为    

D．f（x）在区间（）上单调递减

12．（5分）如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（　　）

A．第6行第1个数为192    

B．第10行的数从左到右构成公差为210的等差数列    

C．第10行前10个数的和为95×29    

D．数表中第2021行第2021个数为6061×22020

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）在一次期中考试中某学校高三全部学生的数学成绩X服从正态分布N（μ，σ2），若P（X≥90）＝0.5，且P（X≥110）＝0.2，则P（X≤70）＝　    　．

14．（5分）设函数f（x）＝，则不等式f（1﹣|x|）+f（2）＞0的解集为　             　．

15．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且满足＝0，则椭圆C的离心率为　                　．

16．（5分）阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为　              　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知正项等比数列{an}，其中a1，a2，a3分别是如表第一、二、三行中的某一个数，令bn＝2log2an．

（2）设数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜．

18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是AC上的点，BM平分∠ABC，△ABM的面积是△BCM面积的2倍．

（1）求；

（2）若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积．

19．（12分）如图，已知△ABC是以AC为底边的等腰三角形，将△ABC绕AB转动到△PAB位置，使得平面PAB⊥平面ABC，连接PC，E，F分别是PA，CA的中点．

（1）证明：EF⊥AB；

（2）在①S△ABC＝3，②点P到平面ABC的距离为3，③直线PB与平面ABC所成的角为60°，这三个条件中选择两个作为已知条件，求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．

20．（12分）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，1998年中国女子冰壶队第一次参加奥运会冰壶比赛就获得了铜牌．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心0的远近决定胜负．

某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：

①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；

②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；

③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．

已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．

（1）求甲通过测试的概率；

（2）设Y为本次测试中乙的得分，求Y的分布列；

（3）请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁的水平较高？

21．（12分）设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P（m，2）（m＞0）在抛物线C上，且满足|PF|＝3．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）过点G（0，4）的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别以A，B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q，求三角形PQG周长的最小值．

22．（12分）设函数f（x）＝xlnx．

（1）求曲线y＝f（x）在点（e﹣2，f（e﹣2））处的切线方程；

（2）若关于x的方程f（x）＝a有两个实根，设为x1，x2（x1＜x2），证明：x2﹣x1＜1+2a+e﹣2．

2021年山东省潍坊市高考数学模拟试卷（三模）

参与试题解析

一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{3，4}，则集合{5}＝（　　）

A．∁U（A∪B）    B．（∁UA）∪（∁UB）    

C．（∁UA）∪B    D．（∁UB）∪A

【解答】解：对于A，A∪B＝{1，2，3，4}，则∁U（A∪B）＝{5}，故选项A正确；

对于B，∁UA＝{3，4，5}，∁UB＝{1，2，5}，所以（∁UA）∪（∁UB）＝{1，2，3，4，5}，故选项B错误；

对于C，∁UA＝{3，4，5}，所以（∁UA）∪B＝{3，4，5}，故选项C错误；

对于D，∁UB＝{1，2，5}，所以（∁UB）∪A＝{1，2，5}，故选项D错误．

故选：A．

2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i，则z1z2＝（　　）

A．﹣5    B．5    C．﹣4+i    D．﹣4﹣i

【解答】解：z1＝2+i对应的点的坐标为（2，1），

∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，

∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），

则对应的复数，z2＝﹣2+i，

则z1z2＝（2+i）（﹣2+i）＝i2﹣4＝﹣1﹣4＝﹣5，

故选：A．

3．（5分）某学校参加志愿服务社团的学生中，高一年级有50人，高二年级有30人，高三年级有20人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高三年级的学生中应抽取的人数为（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

【解答】解：根据分层抽样原理知，从高二年级的学生中抽取了6人，

设从高三年级的学生中应抽取x人，列方程得＝，

解得x＝4，

所以从高三年级的学生中应抽取4人．

故选：C．

4．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，，若，则λ+μ＝（　　）

A．﹣    B．1    C．    D．

【解答】解：因为，

所以＝＝﹣+＝＝，

若，

则λ+μ＝＝．

故选：D．

5．（5分）“tanα＝2”是“cos（2α﹣）＝”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【解答】解：∵cos（2α﹣）＝，∴sin2α＝，∴＝，

∴＝，∴2tan2α﹣5tanα+2＝0，∴tanα＝2，或tanα＝，

∴tana＝2是cos（2α﹣）＝的充分不必要条件．

故选：A．

6．（5分）某地区为落实乡村振兴战略，帮助农民脱贫致富，引入一种特色农产品种植，该农产品上市时间仅能维持5个月，预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．经研究其价格模拟函数为f（t）＝t（t﹣3）2+n，（0≤t≤5，其中t＝0表示5月1日，t＝1表示6月1日，以此类推），若f（2）＝6，为保护农户的经济效益，当地计划在价格下跌时积极拓宽外销，请你预测该农产品价格下跌的月份为（　　）

A．5月和6月    B．6月和7月    C．7月和8月    D．8月和9月

【解答】解：∵f（t）＝t（t﹣3）2+n，f（2）＝6，

∴f（2）＝2+n＝6，∴n＝4，

∴f（t）＝t（t﹣3）2+4，

∴f'（t）＝（t﹣3）2+2t（t﹣3）＝3（t﹣1）（t﹣3），

令f'（t）＜0得：1＜t＜3，

∴f（t）在（1，3）上单调递减，

∵t＝1表示6月1日，t＝2表示7月1日，t＝3表示8月1日，

∴该农产品价格下跌的月份为6月和7月，

故选：B．

7．（5分）双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的右支在第一象限的交点为A，与y轴的交点为B，且△ABF2为等边三角形，则以下说法正确的是（　　）

A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x    

B．若双曲线C的实轴长为2，则＝    

C．若双曲线C的焦距为2，则点A的纵坐标为    

D．点F2在以AF1为直径的圆上

【解答】解：由题意，因为△ABF2为等边三角形，

所以|AF2|＝|BF2|＝|AB|，∠BAF2＝∠ABF2＝∠AF2B＝60°，

因为△F1BO≌△F2BO，

所以∠AF1F2＝30°，∠AF2F1＝90°，即AF2⊥F1F2，故点A（c，），

因为，

则，即，解得．

对于A，因为，则，

所以双曲线的渐近线方程为＝，故选项A错误；

对于B，因为双曲线C的实轴长为2，即2a＝2，故a＝1，则c＝，

所以点A的坐标为，则，故选项B错误；

对于C，因为双曲线C的焦距为2，即2c＝，故c＝，则a＝1，

所以A点的纵坐标为，故选项C错误；

对于D，因为AF2⊥F1F2，所以点F2在以AF1为直径的圆上，故选项D正确．

故选：D．

8．（5分）定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a＝b（modm），比如：26＝16（mod10）．已知n＝，满足n＝p（mod10），则p可以是（　　）

A．23    B．21    C．19    D．17

【解答】解：由二项式定理可得，，

∵，

即，

故n≡1（mod10）（即n除以10的余数为1）．

根据选项，21≡1（mod10），

故选：B．

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）已知函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【解答】解：由指数函数图象知，函数为增函数，即a＞1，且当x＝1时，y＝2，即a＝2，

则A．y＝（）x的图象，满足条件，

B．y＝x﹣2＝的图象，满足对应性，

C．y＝2|x|，当x＞0时，为增函数，不满足对应性．

D．y＝|log2x|的图象，满足对应性，

故选：ABD．

10．（5分）已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列结论正确的是（　　）

A．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n    

B．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β    

C．如果α∥β，m⊂α，那么m∥β    

D．如果m∥α，n∥β且α∥β，那么m∥n

【解答】解：α，β是两个平面，m，n是两条直线，

对于A，如果m⊥α，n∥α，那么由线面垂直、线面平行的性质得m⊥n，故A正确；

对于B，如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α与β有可能平行，故B错误；

对于C，如果α∥β，m⊂α，那么由面面平的性质得m∥β，故C正确；

对于D，如果m∥α，n∥β且α∥β，那么m与n相交、平行或异面，故D错误．

故选：AC．

11．（5分）已知函数f（x）＝2sinx﹣sin2x，则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）的周期为2π    

B．y＝f（x）的图象关于x＝对称    

C．f（x）的最大值为    

D．f（x）在区间（）上单调递减

【解答】解：对于A，f（x+2π）＝2sin（x+2π）﹣sin2（x+2π）＝2sinx﹣sin2x＝f（x），∴选项A正确；

对于B，f（π﹣x）＝2sin（π﹣x）﹣sin2（π﹣x）＝﹣2sinx+sin2x≠f（x），∴选项B错误；

对于C，∵2π为f（x）的一个周期，∴要求f（x）最大值，只需考虑x∈[0，2π]的情况，

f′（x）＝2cosx﹣2cos2x＝2（cosx﹣2cos2x+1）＝﹣2（2cosx+1）（cosx﹣1），

当x∈（0，）时，f′（x）＞0，∴f′（x）在x∈（0，）上单调递增，

当x∈（）时，f′（x）＜0，∴f′（x）在x∈（）上单调递减，

当x∈（）时，f′（x）＞0，∴f′（x）在x∈（）上单调递增，

又f（）＝2sin﹣sin＝，f（2π）＝2sin2π﹣sin4π＝0，

∴f（x）的最大值为，∴选项C正确；

对于D，当x∈（）时，f′（x）＜0，∴f′（x）在x∈（）上单调递减，∴选项D正确．

故选：ACD．

12．（5分）如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（　　）

A．第6行第1个数为192    

B．第10行的数从左到右构成公差为210的等差数列    

C．第10行前10个数的和为95×29    

D．数表中第2021行第2021个数为6061×22020

【解答】解：由表知，每行是等差数列，第1行的首项为1，公差为2，

第2行的首项为4，公差为4，第3行的首项为12，公差为8，

则每行的首项为an＝n×2n﹣1，

每行的公差构成首项为2，公比为2的等比数列，∴公差满足bn＝2n，

A：第6行第一个数为a6＝6×25＝192，∴A正确，

B：第10行的数从左到右构成公差为210的等差数列，∴B正确，

C：第10行第一个数为10×29，公差为210，∴第10行前10个数的和为10×10×29+×210＝190×29，∴C错误，

D：第2021行第一个数为2021×22020，公差为22021，∴第2021行第2021个数为2021×22020+（2021﹣1）×22021＝6061×22020，∴D正确．

故选：ABD．

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）在一次期中考试中某学校高三全部学生的数学成绩X服从正态分布N（μ，σ2），若P（X≥90）＝0.5，且P（X≥110）＝0.2，则P（X≤70）＝　0.2　．

【解答】解：由题意，P（X≥90）＝0.5，得μ＝90，

又P（X≥110）＝0.2，

利用正态分布曲线的对称性可得，P（X≤70）＝P（X≥110）＝0.2，

故答案为：0.2．

14．（5分）设函数f（x）＝，则不等式f（1﹣|x|）+f（2）＞0的解集为　{x|x＞3或x＜﹣3}　．

【解答】解：∵函数f（x）＝，

故第二段函数值恒为正，满足不等式，故1﹣|x|＞1，此时无解，

∴f（2）＝（2﹣1）2+1＝2，

∴不等式f（1﹣|x|）+f（2）＞0⇒f（1﹣|x|）＞﹣2＝f（﹣2），

∴1﹣|x|＜﹣2且1﹣|x|≤1，

故|x|＞3⇒x＞3或x＜﹣3，

故答案为：{x|x＞3或x＜﹣3}．

15．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且满足＝0，则椭圆C的离心率为　　．

【解答】解：∵椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，

点A，B在椭圆上，且满足＝0，

设BF1＝x，则AF1＝2x，AF2＝2a﹣2x，BF2＝2a﹣x，

∴在RT△BAF2中，（2a﹣x）2＝（3x）2+（2a﹣2x）2，∴x＝，

∴AF1＝，AF2＝2a﹣2x＝，

∴RT△F1AF2中，（）2+（）2＝（2c）2，

∴5a2＝9c2，∴e＝，

故答案为：．

16．（5分）阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为　　．

【解答】解：设圆锥去的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，作出圆锥的轴截面如图所示，

设∠OBC＝θ，由于，则，

∵OD⊥AB，OE⊥BC，

∴∠DBE+∠DOE＝π，

又∠AOD+∠DOE＝π，

∴∠AOD＝∠DBE＝2θ，

∴AD＝Rtan2θ，

∴l+r＝AD+BD+r＝AD+2r＝，

则圆锥表面积为S1＝πr（l+r），圆锥内切球表面积为，

∴所求比值为，

令t＝tan2θ＞0，则，

当时，取得最大值为．

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知正项等比数列{an}，其中a1，a2，a3分别是如表第一、二、三行中的某一个数，令bn＝2log2an．

（2）设数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜．

【解答】解：（1）因为正项等比数列{an}的a1，a2，a3分别是表格中第一、二、三行中的某一个数，

可得a1＝2，a2＝4，a3＝8，可得公比为2，

则an＝2n，bn＝2log2an＝2log22n＝2n；

（2）证明：＝＝＝（﹣），

所以Tn＝（1﹣+﹣+...+﹣）＝（1﹣）＜．

18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是AC上的点，BM平分∠ABC，△ABM的面积是△BCM面积的2倍．

（1）求；

（2）若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积．

【解答】解：（1）S△ABM＝AB•BM•sin∠ABM，S△BCM＝BC•BM•sin∠MBC，

因为S△ABM＝2S△BCM，∠ABM＝∠MBC，

所以AB＝2BC，

由正弦定理可得＝＝2．

（2）由于＝2，可得c＝2a，

由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，又cosB＝，b＝2，

所以4＝a2+4a2﹣4a2×，

所以a＝1，c＝2，

又因为cosB＝，且0＜B＜π，可得sinB＝＝，

所以S△ABC＝acsinB＝＝．

19．（12分）如图，已知△ABC是以AC为底边的等腰三角形，将△ABC绕AB转动到△PAB位置，使得平面PAB⊥平面ABC，连接PC，E，F分别是PA，CA的中点．

（1）证明：EF⊥AB；

（2）在①S△ABC＝3，②点P到平面ABC的距离为3，③直线PB与平面ABC所成的角为60°，这三个条件中选择两个作为已知条件，求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．

【解答】（1）证明：过点E作ED⊥AB，垂足为D，连结DF，

由题意可得知，△PAB≌△FDA，

又E，F分别为PA，CA的中点，所以△EDA≌△FDA，

则∠EDA＝∠FDA，

因为ED⊥AB，即∠EDA＝90°，

所以∠EDA＝∠FDA＝90°，即FD⊥AB，

因为ED⊥AB，且ED∩FD＝D，ED，FD⊂平面EFD，

所以AB⊥平面EFD，又EF⊂平面EFD，

所以EF⊥AB；

（2）解：过点P作PO⊥AB，垂足为O，连结CO，则CO⊥AB，

因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PO⊂平面PAB，

所以PO⊥平面ABC，

以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

设AB＝BC＝a，

若选①②：

因为S△ABC＝3，所以（*），

因为点P到平面ABC的距离为3，则PO＝3，

由题意可知，∠ABP＝∠ABC，BP＝BC＝a，

因为∠OBP＝π﹣∠ABP，

所以在Rt△OBP中，PO＝BP•sin∠ABP＝asin∠ABP，

故PO＝asin∠ABP＝3，

代入（*）式中，可得a＝，

所以BP＝，故，

所以，

由题意可得，CO＝PO＝3，

则B（），A（），P（0，0，3），C（0，3，0），

因为E，F分别为PA，CA的中点，

则，

所以，

设平面BEF的法向量为，

则，即，

令z＝1，则，y＝1，故，

又平面ABF的一个法向量为，

所以＝，

故二面角E﹣BF﹣A的余弦值为．

若选①③：

因为直线PB与平面ABC所成的角为60°，

所以∠PBO＝60°，则∠PBA＝120°，

所以∠ABC＝120°，

因为S△ABC＝3，所以，解得a＝，

所以BP＝，故，

所以，

由题意可得，CO＝PO＝3，

则B（），A（），P（0，0，3），C（0，3，0），

因为E，F分别为PA，CA的中点，

则，

所以，

设平面BEF的法向量为，

则，即，

令z＝1，则，y＝1，故，

又平面ABF的一个法向量为，

所以＝，

故二面角E﹣BF﹣A的余弦值为．

若选②③：

因为点P到平面ABC的距离为3，即OP＝3，

又直线PB与平面ABC所成的角为60°，即∠PBO＝60°，

在Rt△PBO中，sin∠PBO＝，即，解得a＝，

所以BP＝，故，

所以，

由题意可得，CO＝PO＝3，

则B（），A（），P（0，0，3），C（0，3，0），

因为E，F分别为PA，CA的中点，

则，

所以，

设平面BEF的法向量为，

则，即，

令z＝1，则，y＝1，故，

又平面ABF的一个法向量为，

所以＝，

故二面角E﹣BF﹣A的余弦值为．

20．（12分）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，1998年中国女子冰壶队第一次参加奥运会冰壶比赛就获得了铜牌．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心0的远近决定胜负．

某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：

①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；

②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；

③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．

已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．

（1）求甲通过测试的概率；

（2）设Y为本次测试中乙的得分，求Y的分布列；

（3）请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁的水平较高？

【解答】解：（1）若甲通过测试，则甲的得分为X＝4或5，

所以P（X＝4）＝0.9×0.5×0.5＝0.225，

P（X＝5）＝0.1×0.5×0.5+0.1×0.5＝0.025+0.05＝0.075，

所以甲通过测试的概率为P＝P（X＝4）+P（X＝5）＝0.225+0.075＝0.3；

（2）Y的可能取值为0，2，3，4，5，

所以P（Y＝0）＝0.8×0.6×0.6＝0.288，

P（Y＝2）＝0.8×0.4×0.6+0.8×0.6×0.4＝0.384，

P（Y＝3）＝0.2×0.6×0.6＝0.072，

P（Y＝4）＝0.8×0.4×0.4＝0.128，

P（Y＝5）＝0.2×0.6×0.4+0.2×0.4＝0.128，

所以Y的分布列为：

甲通过测试的概率为0.3，乙通过测试的概率为0.256，

因为0.3＞0.256，

所以甲水平高．

21．（12分）设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P（m，2）（m＞0）在抛物线C上，且满足|PF|＝3．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）过点G（0，4）的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别以A，B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q，求三角形PQG周长的最小值．

【解答】解：（1）由抛物线定义可得，，解得p＝2，

所以抛物线C的标准方程为x2＝4y；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

设直线l的方程为y＝kx+4，

联立方程组，可得x2﹣4kx﹣16＝0，

所以x1+x2＝4k，x1x2＝﹣16，

设在点A，B处的切线斜率分别为k1，k2，则，

所以在点A的切线方程为，即①，

同理可得，在点B处的切线方程为②，

由①②可得，＝2k，

将xQ代入①可得，＝﹣4，

所以Q（2k，﹣4），即点Q在定直线y＝﹣4上，

设点G关于直线y＝﹣4的对称点位G'，则G'（0，﹣12），

因为|PQ|+|GQ|＝|PQ|+|G'Q|，

所以三角形PQG周长取得最小值为|GP|+|G'P|＝．

22．（12分）设函数f（x）＝xlnx．

（1）求曲线y＝f（x）在点（e﹣2，f（e﹣2））处的切线方程；

（2）若关于x的方程f（x）＝a有两个实根，设为x1，x2（x1＜x2），证明：x2﹣x1＜1+2a+e﹣2．

【解答】解：（1）f′（x）＝lnx+1，则f′（e﹣2）＝﹣1，又f（e﹣2）＝﹣2e﹣2，

∴切线方程为y+2e﹣2＝﹣（x﹣e﹣2），即y＝﹣x﹣e﹣2；

（2）证明：先证明f（x）＝xlnx≥﹣x﹣e﹣2，

令g（x）＝xlnx+x+e﹣2（x＞0），则g′（x）＝lnx+2，

易知函数g（x）在（0，e﹣2）上递减，在（e﹣2，+∞）上递增，

则g（x）≥g（e﹣2）＝0，即f（x）＝xlnx≥﹣x﹣e﹣2，

再证明f（x）＝xlnx≥x﹣1，令h（x）＝xlnx﹣x+1（x＞0），则h′（x）＝lnx，

易知函数h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，

则h（x）≥h（1）＝0，即f（x）＝xlnx≥x﹣1，

如图，设直线y＝a与直线y＝﹣x﹣e﹣2，y＝x﹣1相交点的横坐标分别为x1'，x2'，

由，得x1'≤x1，当且仅当a＝﹣e﹣2时等号成立，

由a＝x2'﹣1＝f（x2）≥x2﹣1，得x2'≥x2，当且仅当a＝0时等号成立，

∴，即得证．