2019年广东省中考数学试卷及答案

一、选择题（本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.

1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）

A．2 B．﹣2 C． D．±2

2．（3分）某网店2019年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学记数法表示为（　　）

A．2.21×106          B．2.21×105 C．221×103 D．0.221×106

3．（3分）如图，由4个相同正方体组合而成的儿何体，它的左视图是（　　）

A． B．    

C． D．

4．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．b6+b3＝b2 B．b3•b3＝b9 C．a2+a2＝2a2 D．（a3）3＝a6

5．（3分）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

6．（3分）数据3，3，5，8，11的中位数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（　　）

A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．＜0

8．（3分）化简的结果是（　　）

A．﹣4 B．4 C．±4 D．2

9．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　　）

A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2

10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.

11．（4分）计算：20190+（）﹣1＝　   　．

12．（4分）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝　   　．

13．（4分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是　   　．

14．（4分）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是　   　．

15．（4分）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是　   　米（结果保留根号）．

16．（4分）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　   　（结果用含a，b代数式表示）．

三.解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

17．（6分）解不等式组：

18．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．

19．（6分）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．

（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若＝2，求的值．

四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)

20．（7分）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：

成绩等级频数分布表

（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．

21．（7分）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．

（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？

（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？

22．（7分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．

（1）求△ABC三边的长；

（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．

五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)

23．（9分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．

（1）根据图象，直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；

（2）求这两个函数的表达式；

（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．

24．（9分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．

（1）求证：ED＝EC；

（2）求证：AF是⊙O的切线；

（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．

25．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．

（1）求点A、B、D的坐标；

（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；

（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．

①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；

②直接回答这样的点P共有几个？

参与试题解析

一、选择题（本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.

1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）

A．2 B．﹣2 C． D．±2

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答．

【解答】解：|﹣2|＝2，故选：A．

【点评】本题考查了绝对值，解决本题的关键是明确负数的绝对值是它的相反数．

2．（3分）某网店2019年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学记数法表示为（　　）

A．2.21×106          B．2.21×105 C．221×103 D．0.221×106

【分析】根据有效数字表示方法，以及科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将221000用科学记数法表示为：2.21×105．

故选：B．

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）如图，由4个相同正方体组合而成的儿何体，它的左视图是（　　）

A． B．    

C． D．

【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．

【解答】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形，如图所示．

故选：A．

【点评】此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．

4．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．b6+b3＝b2 B．b3•b3＝b9 C．a2+a2＝2a2 D．（a3）3＝a6

【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：A、b6+b3，无法计算，故此选项错误；

B、b3•b3＝b6，故此选项错误；

C、a2+a2＝2a2，正确；

D、（a3）3＝a9，故此选项错误．

故选：C．

【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

5．（3分）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：C．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合

6．（3分）数据3，3，5，8，11的中位数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】先把原数据按从小到大排列，然后根据中位数的定义求解即可．

【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，3，5，8，11，

故这组数据的中位数是，5．

故选：C．

【点评】本题考查了中位数的概念：把一组数据按从小到大的顺序排列，最中间那个数或中间两个数的平均数就是这组数据的中位数．

7．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（　　）

A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．＜0

【分析】先由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，且|a|＞|b|，再判定即可．

【解答】解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，

∴a＜b，故A错误；

|a|＞|b|，故B错误；

a+b＜0，故C错误；

＜0，故D正确；

故选：D．

【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用数轴确定a，b的取值范围．利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．

8．（3分）化简的结果是（　　）

A．﹣4 B．4 C．±4 D．2

【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出16的算术平方根是多少即可．

【解答】解：＝＝4．

故选：B．

【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．

9．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　　）

A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2

【分析】由根的判别式△＝4＞0，可得出x1≠x2，选项A不符合题意；将x1代入一元二次方程x2﹣2x＝0中可得出x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，x1•x2＝0，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意．

【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，

∴x1≠x2，选项A不符合题意；

∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，

∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；

∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝2，x1•x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．

10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】由正方形的性质得到FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，求得∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，根据全等三角形的定理定理得到△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；根据全等三角形的性质得到∠AHN＝∠HFG，推出∠AFH≠∠AHF，得到∠AFN≠∠HFG，故②错误；根据全等三角形的性质得到AN＝AG＝1，根据相似三角形的性质得到∠AHN＝∠AMG，根据平行线的性质得到∠HAK＝∠AMG，根据直角三角形的性质得到FN＝2NK；故③正确；根据矩形的性质得到DM＝AG＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，

∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，

∴AD＝4，AH＝2，

∠BAD＝90°，

∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，

∵∠ANH＝∠GNF，

∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；

∴∠AHN＝∠HFG，

∵AG＝FG＝2＝AH，

∴AF＝FG＝AH，

∴∠AFH≠∠AHF，

∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；

∵△ANH≌△GNF，

∴AN＝AG＝1，

∵GM＝BC＝4，

∴＝＝2，

∵∠HAN＝∠AGM＝90°，

∴△AHN∽△GMA，

∴∠AHN＝∠AMG，

∵AD∥GM，

∴∠HAK＝∠AMG，

∴∠AHK＝∠HAK，

∴AK＝HK，

∴AK＝HK＝NK，

∵FN＝HN，

∴FN＝2NK；故③正确；

∵延长FG交DC于M，

∴四边形ADMG是矩形，

∴DM＝AG＝2，

∵S△AFN＝AN•FG＝2×1＝1，S△ADM＝AD•DM＝×4×2＝4，

∴S△AFN：S△ADM＝1：4故④正确，

故选：C．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.

11．（4分）计算：20190+（）﹣1＝　4　．

【分析】分别计算负整数指数幂、零指数幂，然后再进行实数的运算即可．

【解答】解：原式＝1+3＝4．

故答案为：4．

【点评】此题考查了实数的运算，解答本题关键是掌握负整数指数幂及零指数幂的运算法则，难度一般．

12．（4分）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝　105°　．

【分析】根据平行线的性质及对顶角相等求解即可．

【解答】解：∵直线L直线a，b相交，且a∥b，∠1＝75°，

∴∠3＝∠1＝75°，

∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°．

故答案为：105°

【点评】此题考查平行线的性质，解题关键为：两直线平行，同旁内角互补，对顶角相等．

13．（4分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是　8　．

【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）可得方程180（x﹣2）＝1080，再解方程即可．

【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得：

180（x﹣2）＝1080，

解得：x＝8，

故答案为：8．

【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3）．

14．（4分）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是　21　．

【分析】直接将已知变形进而代入原式求出答案．

【解答】解：∵x＝2y+3，

∴x﹣2y＝3，

则代数式4x﹣8y+9＝4（x﹣2y）+9

＝4×3+9

＝21．

故答案为：21．

【点评】此题主要考查了整式的加减以及代数式求值，正确将原式变形是解题关键．

15．（4分）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是　（15+15）　米（结果保留根号）．

【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、△ABE，进而可解即可求出答案．

【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，

在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．

在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．

故教学楼AC的高度是AC＝15米．

答：教学楼AC的高度是（15）米．

【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．

16．（4分）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　a+8b　（结果用含a，b代数式表示）．

【分析】用9个这样的图形的总长减去拼接时的重叠部分，即可得到拼出来的图形的总长度．

【解答】解：由图可得，拼出来的图形的总长度＝9a﹣8（a﹣b）＝a+8b．

故答案为：a+8b．

【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．

三.解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

17．（6分）解不等式组：

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．

【解答】解：

解不等式组①，得x＞3

解不等式组②，得x＞1

则不等式组的解集为x＞3

【点评】本题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

18．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．

【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．

【解答】解：原式＝

＝

当x＝时，

原式＝＝

【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．

19．（6分）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．

（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若＝2，求的值．

【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作出∠ADE＝∠B；

（2）先利用作法得到∠ADE＝∠B，则可判断DE∥BC，然后根据平行线分线段成比例定理求解．

【解答】解：（1）如图，∠ADE为所作；

（2）∵∠ADE＝∠B

∴DE∥BC，

∴＝＝2．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．

四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)

20．（7分）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：

成绩等级频数分布表

（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．

【分析】（1）随机抽男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；扇形图中表示C的圆心角的度数360°×＝36°；

（2）先画树状图，然后求得P（同时抽到甲，乙两名学生）＝＝．

【解答】（1）随机抽男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；

C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；

扇形图中表示C的圆心角的度数360°×＝36°．

故答案为4，40，36；

（2）画树状图如下：

P（同时抽到甲，乙两名学生）＝＝．

【点评】本题考查了统计图与概率，熟练掌握列表法与树状图求概率是解题的关键．

21．（7分）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．

（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？

（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？

【分析】（1）设购买篮球x个，购买足球y个，根据总价＝单价×购买数量结合购买篮球、足球共60个\购买这两类球的总金额为4600元，列出方程组，求解即可；

（2）设购买了a个篮球，则购买（60﹣a）个足球，根据购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，列不等式求出x的最大整数解即可．

【解答】解：（1）设购买篮球x个，购买足球y个，

依题意得：．

解得．

答：购买篮球20个，购买足球40个；

（2）设购买了a个篮球，

依题意得：70a≤80（60﹣a）

解得a≤32．

答：最多可购买32个篮球．

【点评】此题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

22．（7分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．

（1）求△ABC三边的长；

（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．

【分析】（1）根据勾股定理即可求得；

（2）根据勾股定理求得AD，由（1）得，AB2+AC2＝BC2，则∠BAC＝90°，根据S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF即可求得．

【解答】解：（1）AB＝＝2，

AC＝＝2，

BC＝＝4；

（2）由（1）得，AB2+AC2＝BC2，

∴∠BAC＝90°，

连接AD，AD＝＝2，

∴S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF＝AB•AC﹣π•AD2＝20﹣5π．

【点评】本题考查了勾股定理和扇形面积的计算，证得△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．

五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)

23．（9分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．

（1）根据图象，直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；

（2）求这两个函数的表达式；

（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．

【分析】（1）根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求x的取值范围；

（2）将点A，点B坐标代入两个解析式可求k2，n，k1，b的值，从而求得解析式；

（3）根据三角形面积相等，可得答案．

【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．

由图象可得：kx+b＞的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜4；

（2）∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣1，4），B（4，n）

∴k2＝﹣1×4＝﹣4，k2＝4n

∴n＝﹣1

∴B（4，﹣1）

∵一次函数y＝kx+b的图象过点A，点B

∴，

解得：k＝﹣1，b＝3

∴直线解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y＝﹣；

（3）设直线AB与y轴的交点为C，

∴C（0，3），

∵S△AOC＝×3×1＝，

∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×4＝，

∵S△AOP：S△BOP＝1：2，

∴S△AOP＝×＝，

∴S△COP＝﹣＝1，

∴×3•xP＝1，

∴xP＝，

∵点P在线段AB上，

∴y＝﹣+3＝，

∴P（，）．

【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．

24．（9分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．

（1）求证：ED＝EC；

（2）求证：AF是⊙O的切线；

（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．

【分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得证；

（2）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证；

（3）证△ABE∽△CBA得AB2＝BC•BE，据此知AB＝5，连接AG，得∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB＝5．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，

∴∠BCD＝∠ADC，

∴ED＝EC；

（2）如图1，连接OA，

∵AB＝AC，

∴＝，

∴OA⊥BC，

∵CA＝CF，

∴∠CAF＝∠CFA，

∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，

∵∠ACB＝∠BCD，

∴∠ACD＝2∠ACB，

∴∠CAF＝∠ACB，

∴AF∥BC，

∴OA⊥AF，

∴AF为⊙O的切线；

（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，

∴△ABE∽△CBA，

∴＝，

∴AB2＝BC•BE，

∴BC•BE＝25，

∴AB＝5，

如图2，连接AG，

∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，

∵点G为内心，

∴∠DAG＝∠GAC，

又∵∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB，

∴∠BAG＝∠BGA，

∴BG＝AB＝5．

【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆心角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．

25．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．

（1）求点A、B、D的坐标；

（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；

（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．

①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；

②直接回答这样的点P共有几个？

【分析】（1）利用抛物线解析式求得点A、B、D的坐标；

（2）欲证明四边形BFCE是平行四边形，只需推知EC∥BF且EC＝BF即可；

（3）①利用相似三角形的对应边成比例求得点P的横坐标，没有指明相似三角形的对应边（角），需要分类讨论；

②根据①的结果即可得到结论．

【解答】解：（1）令x2+x﹣＝0，

解得x1＝1，x2＝﹣7．

∴A（1，0），B（﹣7，0）．

由y＝x2+x﹣＝（x+3）2﹣2得，D（﹣3，﹣2）；

（2）证明：∵DD1⊥x轴于点D1，

∴∠COF＝∠DD1F＝90°，

∵∠D1FD＝∠CFO，

∴△DD1F∽△COF，

∴＝，

∵D（﹣3，﹣2），

∴D1D＝2，OD＝3，

∴D1F＝2，

∴＝，

∴OC＝，

∴CA＝CF＝FA＝2，

∴△ACF是等边三角形，

∴∠AFC＝∠ACF，

∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，

∴∠ECF＝∠AFC＝60°，

∴EC∥BF，

∵EC＝DC＝＝6，

∵BF＝6，

∴EC＝BF，

∴四边形BFCE是平行四边形；

（3）∵点P是抛物线上一动点，

∴设P点（x，x2+x﹣），

①当点P在B点的左侧时，

∵△PAM与△DD1A相似，

∴或＝，

∴＝或＝，

解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合题意舍去）x2＝﹣；

当点P在A点的右侧时，

∵△PAM与△DD1A相似，

∴＝或＝，

∴＝或＝，

解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣（不合题意舍去）；

当点P在AB之间时，

∵△PAM与△DD1A相似，

∴＝或＝，

∴＝或＝，

解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣；

综上所述，点P的横坐标为﹣11或﹣或﹣；

②由①得，这样的点P共有3个．

【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．