函数周期性解题的一道经典试题

高一数学试题问答内容：已知对于任意x、y∈R，都有4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)恒成立，且f(1)=1/4，求f(2010)的值是多少？

试题说明：本题是一道2010年重庆理科数学高考的一道填空试题(分值5分)，十分压轴题，属于拔高题和拉分题，要想在短时间内得到正确的答案，这务必要求学生平时对“函数的周期性”的具体应用要有所熟练！

试题分析：面对抽象函数的题型，喜欢钻研的同学一定会有似曾相似的感觉，但在没有给出具体函数f(x)的解析式的前提下，值告诉我f(x)的函数值，就要我们求f(2010)的值，这道试题确实有点偏难，甚至愕然。那怎么办呢？自变量x=1如何与x=2010联系起来呢？此题的玄机和突破口究竟在何处？我们不妨先从特殊值x=0入手，令x=y=0，代入函数关系式，我们不难得到f(0)=0或f(0)=1/2两种情况。那么到底取哪一种呢？不妨在令x=y=1代入函数关系式，得到：1/4=f(2)+f(0)；令x=2，y=0代入函数关系式，显然f(0)不能等于0，由此得出：f(0)=1/2。但自变量x=1如何与x=2010联系起来呢？在已知f(1)的情况下，要想求出f(2010)的值，数学能力较强的学生一般很容易想到起f(x)的“函数的周期性”，因此能否求出函数f(x)的周期性，是解答本题的关键所在。那么如何通过已知的函数关系式，求出函数的周期呢？这是本题中的另一个困难所在，我们知道，周期函数的一般表达式一般是：f(x+T)=f(x)或f(x)=f(x+T)，要想由“4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)”得到或变成“f(x)=f(x+T)”，我们唯一的办法就是通过对x、y进行特殊的赋值和恒等变形，并且要经过不断的尝试。

数学方法：特殊值赋值法            恒等变形                                   函数周期性的表达式

深圳高一数学家教数学题目详细解答：

第一步、求出f(0)的函数值：令x=y=0，则4f(0)f(0)=f(0+0)+f(0-0)，则f(0)=0或f(0)=1/2

                                         ∵ 令x=y=1，且4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)     ∴f(2)=1/4-f(0)

                                         ∵令x=2，y=0且4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)    ∴4f(2)f(0)=f(2)+f(2)

                                         ∵f(2)=1/4-f(0)，4f(2)f(0)=f(2)+f(2)且f(0)=0或f(0)=1/2

                                          ∴f(0)=1/2

第二步、求出f(x)的周期：∵对于任意x、y∈R，都有4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)恒成立

                                        ∴对于任意x、y∈R，都有f(x+y)=4f(x)f(y)-f(x-y)恒成立

                                        ∴令x=t,y=1，则f(t+1)=4f(1)f(t)-f(t-1)即f(t+1)=f(t)-f(t-1)①

                                           令x=t+2,y=1，则f[(t+1)+1]=4f(1)f(t+1)-f(t)，即f(t+2)=f(t+1)-f(t)②

                                        ∵f(t+1)=f(t)-f(t-1)①且f(t+2)=f(t+1)-f(t)②  ∴f(t+2)=-f(t-1)           即：f(t+2)+f(t-1)=0③

                                        ∵f(t+2)+f(t-1)=0          ∴ f(t+5)+f(t+2)=0④  

                                       ∵f(t+2)+f(t-1)=0③且f(t+5)+f(t+2)=0④ 

                                       ∴④-③得：f(t+5)=f(t-1)   即：f(t)=f(t+6)

                                        ∴原函数f(x)是以6为周期的周期函数

                                       ∵2010=6×335且f(x)是以“6”为周期的函数    ∴f(2010)=f(335×6)=f(0)=1/2

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