2015年清华大学自主招生试题

发表于2015年7月21日由意琦行 

注    所有选择题均为不定项选择题．

1、已知非负实数\\(x,y,z\\)满足\\(4x^2+4y^2+z^2+2z=3\\)，求\\(5x+4y+3z\\)的最大值．

2、已知\\(x^2+y^2\\leqslant 1\\)，求\\(\\left|x^2+2xy-y^2\\right|\\)的最大值．

3、如图所示，已知函数\\(f(x)\\)与直线\\(y=kx+m\\)有两个切点，则\\(g(x)=kx-f(x)\\)有（        ）

A．\\(3\\)个极大值点

B．\\(2\\)个极小值点

C．\\(2\\)个极大值点

D．\\(4\\)个极小值点

4、已知\\(x,y,z\\in\\mathcal Z\\)，且\\(xy+yz+zx=1\\)，则\\(\\left(1+x^2\\right)\\left(1+y^2\\right)\\left(1+z^2\\right)\\)的值可能是（        ）

A．\\(16900\\)

B．\\(17900\\)

C．\\(100\\)

D．以上都不对

5、一个以\\(O\\)为圆心的圆上的整数格点（横纵坐标都是整数）的点的个数可能是（        ）

A．\\(4\\)

B．\\(6\\)

C．\\(8\\)

D．\\(12\\)

6、已知\\(2x+y=1\\)，求\\(x+\\sqrt{x^2+y^2}\\)的最值．

7、\\(50\\)个黑球和\\(49\\)个白球排成一排，则（        ）

A．必有一个黑球右侧白球的数量等于黑球的数量

B．必有一个白球右侧白球的数量等于黑球的数量

C．必有一个黑球右侧黑球的数量比白球的数量多\\(1\\)

D．必有一个白球右侧黑球的数量比白球的数量多\\(1\\)

8、已知\\(P=\\left\\{(x,y)\\left|x^2+y^2=r^2\\right.\\right\\}\\)，\\(Q=\\left\\{(x,y)\\left|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\\right.\\right\\}\\)，已知\\(P\\cap Q=\\left\\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\\right\\}\\)，则（        ）

A．\\(a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)=0\\)

B．\\(2ax_1+2by_1=a^2+b^2\\)

C．\\(0D．\\(x_1+x_2=a\\)，\\(y_1+y_2=b\\)

9、一个正十五边形，任取其三个顶点构成三角形，可构成多少个钝角三角形？

？10、已知\\(\\overrightarrow{a}=\\left(m\\cos\heta_1,m\\sin\heta_1\\right)\\)，\\(\\overrightarrow{b}=\\left(m\\cos\heta_2,m\\cos\heta_2\\right)\\)，定义\\(\\overrightarrow{a}^{\\frac 12}=\\left(\\sqrt m\\cos\\dfrac{\heta_1}{2},\\sqrt m\\sin\\dfrac{\heta_1}{2}\\right)\\)，\\(\\overrightarrow{b}^{\\frac 12}=\\left(\\sqrt m\\cos\\dfrac{\heta_2}{2},\\sqrt m\\sin\\dfrac{\heta_2}{2}\\right)\\)，则（        ）

A．\\(\\left|\\overrightarrow{a}^{\\frac 12}\\cdot \\overrightarrow{b}^{\\frac 12}\\right|\\)

B．\\(\\left|\\overrightarrow{a}^{\\frac 12}+\\overrightarrow{b}^{\\frac 12}\\right|\\geqslant 4\\sqrt{mn}\\cos^2\\dfrac{\heta}{2}\\)

C．\\(\\left|\\overrightarrow{a}^{\\frac 12}-\\overrightarrow{b}^{\\frac 12}\\right|\\geqslant 4\\sqrt{mn}\\sin^2\\dfrac{\heta}{2}\\)

D．

？11、一个抛物线\\(y^2=2px\\)上有两个点\\(A\\)、\\(B\\)，则（        ）

A．\\(AB\\)过抛物线焦点

B．\\(OA\\cdot OB\\leqslant ?\\)

C．\\(OA^2+OB^2\\leqslant ?\\)

D．\\(O\\)到\\(AB\\)的距离小于\\(1\\)

？12、点集\\(A=\\left\\{(x,y)\\left|\\dfrac{\\sin\\pi x}{x^2-x+1}=y\\right.\\right\\}\\)，则（        ）

A．曲线有对称轴

B．\\(A\\subseteq \\left\\{(x,y)\\left|-\\dfrac 12\\leqslant y\\leqslant \\dfrac 12\\right.\\right\\}\\)

C．曲线有对称中心

D．\\(A\\subseteq ?\\)

？13、已知\\(f(x)+f(y)=f\\left(\\dfrac{xy}{1+xy}\\right)\\)，\\(x,y\\in\\mathcal R\\)，则\\(f(x)\\)（        ）

A．为奇函数

B．为偶函数

C．有对称轴

D．中心对称

参

1、\\(\\sqrt{77}-3\\)    提示    柯西不等式．

2、\\(\\sqrt 2\\)    提示    三角换元．

3、C．

4、A．    提示    \\(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=(x+y)(x+z)\\)．

5、ACD．    提示    \\(r=1,\\sqrt 5,5\\)．

6、最小值为\\(\\dfrac 45\\)，无最大值．    提示    三角换元．

7、A．

8、ABD．

9、\\(315\\)．    提示    正\\(2k+1\\)边形对应的钝角三角形个数为\\(\\dfrac 12k(k-1)(2k+1)\\)．