指数函数及其性质常见题型

       ——习题课

题型一：与指数有关的复合函数的定义域和值域

1、含指数函数的复合函数的定义域

（1）由于指数函数的定义域是，所以函数的定义域与的定义域相同.

（2）对于函数的定义域，关键是找出的值域哪些部分的定义域中.

2、含指数函数的复合函数的定义域

（1）在求形如的函数值域时，先求得的值域（即中的范围），再根据的单调性列出指数不等式，得出的范围，即的值域.

（2）在求形如的函数值域时，易知（或根据对限定的更加具体的范围列指数不等式，得出的具体范围），然后再上，求的值域即可.

【例】求下列函数的定义域和值域.

（1）；                   （2）；                   （3）.

题型二：利用指数函数的单调性解指数不等式

解题步骤：（1）利用指数函数的单调性解不等式，首先要将不等式两端都凑成底数相同的指数式.

         （2）

【例】（1）解不等式；     （2）已知，求的取值范围.

题型三：指数函数的最值问题

解题思路：指数函数在定义域上是单调函数，因此在的某一闭区间子集上也是单调函数，因此在区间的两个端点处分别取到最大值和最小值.需要注意的是，当底数未知时，要对底数分情况讨论.

【例】函数在上的最大值比最小值大，求的值.

题型四：与指数函数有关的单调性

1、研究形如的函数的单调性时，有如下结论：

（1）当时，函数的单调性与的单调性相同；

（2）当时，函数的单调性与的单调性相反.

2、研究形如的函数的单调性时，有如下结论：

（1）当时，函数的单调性与的单调性相同；

（2）当时，函数的单调性与的单调性相反.

注意：做此类题时，一定要考虑复合函数的定义域.

【例】1.已知，讨论的单调性.

2.求下列函数的单调区间.

（1）；                            （2）

题型五：指数函数与函数奇偶性的综合应用

虽然指数函数不具有奇偶性，但一些指数型函数可能具有奇偶性，对于此类问题可利用定义进行判断或证明.

【例】1. 已知函数为奇函数，则的值为          .

      2. 已知函数是奇函数，则实数的值为          .

3. 已知函数，判断函数的奇偶性.

题型六：图像变换的应用

1、平移变换：若已知的图像，

（1）把的图像向左平移个单位，则得到的图像；

（2）把的图像向右平移个单位，则得到的图像；

（3）把的图像向上平移个单位，可得到的图像；

（4）把的图像向下平移个单位，则得到的图像.

2、对称变换：若已知的图像，

（1）函数的图像与的图像关于轴对称；

（2）函数的图像与的图像关于轴对称；

（3）函数的图像与的图像关于坐标原点对称.

【例】1. 画出下列函数的图象，并说明它们是由函数的图像经过怎样的变换得到的.

①；②；③；④；⑤；⑥

2. 函数与的图像可能是（    ）

A                    B                    C                    D

3.若直线与函数的图像有两个公共点，则的取值范围是               .