2021年新高考数学模拟卷详细解析

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，则集合M与集合P的关系是（    ）

A．    B．

C．    D．

2．设复数，则的的虚部是（    ）

A．    B．    C．    D．

3．根据国家统计局数据显示，我国2010~2019年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法错误的是（    ）

B．可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万

C．2017年我国研究生在校女生人数少于男生人数

D．2019年我国研究生在校总人数不超过285万

4．已知，且，则（    ）

A．1    B．    C．    D．

5．如图所示，在梯形中，，，，，，，分别为边，的中点，则（    ）

A．    B．    C．3    D．4

6．函数的部分图象大致是（    ）

A．    B．

C．    D．

7．设函数，则当 ，表达式的展开式中二项式系数最大值为（    ）

A．32    B．4    C．24    D．6

8．已知双曲线左、右焦点分别为，过，且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（    ）

A．        B．

C．        D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知，且，则下列说法错误的是（    ）

A．        B．

C．        D．

10．设函数的最小正周期为，且过点，则下列正确的为（    ）

A．

B．在单调递减

C．的周期为

D．把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数的解析式为

11．正方体的棱长为分别为的中点.则（    ）

A．直线与直线AF垂直

B．直线与平面AEF平行

C．平面AEF截正方体所得的截面面积为

D．点和点D到平面AEF的距离相等

12．意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452．4—1519．5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中a为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为coshx＝，相应地双曲正弦函数的表达式为sinhx＝．若直线x＝m与双曲余弦函数C1与双曲正弦函数C2的图象分别相交于点A，B，曲线C1在点A处的切线l1与曲线C2在点B处的切线l2相交于点P，则下列结论正确的为（    ）

A．cosh(x﹣y)＝coshxcoshy﹣sinhxsinhy

B．y＝sinhxcoshx是偶函数

C．(coshx)′＝sinhx

D．若△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则实数m＝0

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数在点处的切线方程为，则________．

14．写出一个图象关于直线对称的奇函数________．

15．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的_____倍．（结果精确到0.01．当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）

16．已知点在抛物线：上运动，圆过点，，，过点引直线，与圆相切，切点分别为，，则的取值范围为__________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

如图，在中，，，点在边上，，为锐角．

（1）若，求线段的长度；

（2）若，求的值．

18．（12分）

已知数列的前项和满足，，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值．

19．（12分）

如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．

（1）求证：平面；

（2）设，当二面角的余弦值为时，求的值.

20．（12分）

某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．

（1）当时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望；

（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？

21．（12分）

已知是椭圆的左焦点，焦距为，且过点.

（1）求的方程;

（2）过点作两条互相垂直的直线，若与交于两点，与交于两点，记的中点为的中点为，试判断直线是否过定点，若过点，请求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.

22．（12分）

已知函数，．

（1）求在上的最小值；

（2）证明：．

详细解析

1．【答案】D

【解析】，，

所以．故选D．

2．【答案】A

【解析】,

所以的的虚部是.故选A

3．【答案】D

【解析】2010～2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加，故A项正确；

由于2010～2019年，我国研究生在校女生人数逐年增加，且2019年人数为144.8万，故可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万，故B项正确；

2017年我国研究生在校女生人数所占比重为48.4%，不足一半，故C项正确；

因为，故2019年我国研究生在校总人数超过285万，故D项错误．

故选D

4．【答案】A

【解析】由题意，所以，

，

因为，所以，所以，所以，

所以，所以．故选A．

5．【答案】B

【解析】在梯形中,,

则可建立以为原点,方向为轴正方向的直角坐标系,如下图所示:

由题可得,

因此,

所以,

所以,故选B．

6．【答案】A

【解析】由题可知函数定义域为，则，

又

所以是奇函数，且时，，故选项A正确.故选A

7．【答案】D

【解析】,

当时,,

故,

而的展开式共有5项,

故其中二项式系数最大值为,故选D．

8．【答案】D

【解析】由题可知，

若

即为

可得.

即有

由双曲线的定义可知

可得.

由于过的直线斜率为

所以在等腰三角形中

，则，

由余弦定理得: 

化简得

即

可得

所以此双曲线的渐近线方程为.故选D．

9．【答案】ABD

【解析】因为，不妨取，则，故A错误；

因为正弦函数是周期函数不单调，所以由推不出，故B错误；

因为函数是单调减函数，所以由得到，故C正确；

因为函数，，所以在上单减，在上单增，所以由推不出，故D错误；

故选ABD.

10．【答案】BC

【解析】由已知，

所以，，

又，，，又，所以，A错误；

，时，，由余弦函数性质得B正确；

是偶函数，，周期为，C正确；

把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数解析式这，D错．

故选BC．

11．【答案】BCD

【解析】因为，而与显然不垂直，因此与不垂直，A错；

取中点，连接，，由分别是中点，得，

又，，是平行四边形，所以，，平面，所以平面，平面，

而，平面，所以平面平面，

又平面，所以平面．B正确；

由正方体性质，连接，则截面即为四边形，它是等腰梯形，

，，等腰梯形的高为，

截面面积为，C正确，

设，易知是的中点，所以两点到平面的距离相等．D正确．

故选BCD．

12．【答案】ACD  

【解析】cosh(x﹣y)，A正确；

y＝sinhxcoshx，记以，则，为奇函数，即y＝sinhxcoshx是奇函数，B错误；

，即(coshx)′＝sinhx，C正确；

对于D，因为轴，因此若△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则，由解得，D正确．故选ACD．

13．【答案】

【解析】，则，故当时，，

又函数在点处的切线方程为，

所以，故答案为:.

14．【答案】

【解析】当时，

，又，所以是奇函数；

的对称轴方程为，，

当时，，所以的图象关于直线对称，符合题意. 

故答案为：.

15．【答案】1.26

【解析】由题意，两颗星的星等与亮度满足：m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），

令“心宿二”的星等m1＝1.00，“天津四“的星等m2＝1.25，

则m2﹣m1＝2.5（lgE1﹣lgE2）＝1.25﹣1.00＝0.25，

所以lgE1﹣lgE2＝，即，

所以，

则”心宿二“的亮度大约是”天津四“的1.26倍，故答案为：1.26．

16．【答案】

【解析】设圆的方程为，将，，分别代入，可得，解得，即圆：；

如图，连接，，，，易得，，，

所以四边形的面积为；

另外四边形的面积为面积的两倍，所以，

故，

故当最小时，最小，

设，则，所以当时，，当正无穷大时，趋近圆的直径4，故的取值范围为.

故答案为：

17．（10分）

【解析】（1）在△中，由余弦定理得，

所以或．

当时，，则，不合题意，舍去；

当时，，则，符合题意．

所以．

在△中，，

所以或（舍）．

所以．

（2）记，则．在△中，，

所以为锐角，得，，即，，

法一：，同理．

由知：，

所以．

法二：，．

所以.

18．（12分）

【解析】（1）由，得．

将上述两式相减，得．

所以．①

所以．②

①－②，得，

所以．

故数列为等差数列．

又由，及，得，的公差．

所以．

（2）由（1）知，．

所以

．

所以    

．

由，得．所以，，．

所以使成立的最小正整数的值为50．

19．（12分）

【解析】（1）取的中点，连接，

四边形为直角梯形，，，，且为的中点，

且，所以，四边形为矩形，，，

，

，，，，

，，，

，，

，平面，

平面，，

，平面；

（2）由（1）可知，、、两两垂直，以点为坐标原点，分别以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、，所以，，，

设平面的法向量为，

由，得，令，得，.

，，

设平面的法向量为，，

由，得，令，则，，

，

由于二面角的余弦值为，

则，整理可得，

，解得.

20．（12分）

【解析】（1）当时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为，设为该电子产品需要维修的系统个数，则，，

所以，

所以的分布列为：

（2）记个元件组成的系统正常工作的概率为．

个元件中有个正常工作的概率为，

因此系统工常工作的概率．

在个元件组成的系统中增加两个元件得到个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形：

（a）原系统中至少个元件正常工作，概率为；

（b）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，

概率为；

（c）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，

概率为．所以因此，

 ，

故当时，单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性．

21．（12分）

【解析】（1）由题意可得，解得：或(舍），

故椭圆的方程为.

（2）由题意知，当其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为，此时直线为轴；

当的斜率都存在且不为时，设，

设，联立，整理得

，

则

所以的中点

同理由，可得的中点

则

所以直线的方程为

化简得

故直线恒过定点.

综上，直线过定点

22．（12分）

【解析】（1），令，得，

故在区间上，的唯一零点是，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故在区间上，的最小值为．

（2）要证：当时，，

即证：当时，．

，

令，

所以，

所以时，，

所以，所以，

所以时，，

所以，所以，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以时，，

而时，，

综上，时，，即，

即是上的增函数，

所以．