2021年高考数学模拟试卷(带解析)

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）)

1.  设集合＝，＝，则＝（ ） 

A.   

2.  已知是虚数单位，是复数，若＝，则复数的虚部为（ ） 

A.   

3.  在中，“＝”是“＝”的（ ） 

A.充分不必要条件 必要不充分条件

C.充要条件 既不充分也不必要条件

4.  函数＝的图象不可能是（ ） 

A. 

C. 

5.  已知圆＝截直线＝所得弦的长度小于，则实数的取值范围为（ ） 

A. 

C. 

6.  的展开式中的常数项是（ ） 

A.   

7.  已知双曲线的实轴长为，左焦点为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ） 

A.   

8.  已知函数＝，若不等式对任意的恒成立，则实数的最小值为（ ） 

A.-   

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）)

9.  设，，为实数，且，则下列不等式中正确的是（ ） 

A.   

10.  函数＝的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿轴向左平移个单位，得到函数＝的图象．

下列说法正确的是（ ）

A.在上是增函数

B.的图象关于对称

C.是奇函数

D.在区间上的值域是

11.  已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，．若点为的中点，则下列说法正确的为（ ）

A.平面

B.面

C.四棱锥外接球的表面积为

D.四棱锥的体积为

12.  设为等比数列的前项和，满足＝，且，，成等差数列，则下列结论正确的是（ ） 

A.

B.＝

C.若数列中存在两项，使得，则的最小值为

D.若恒成立，则的最小值为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）)

13.  已知＝，＝，+＝，-），则＝________． 

14.  若（＝，则）＝________． 

15.  已知直线＝与抛物线＝交于，两点，抛物线的焦点为，则•的值为________． 

16.  已知函数，，若函数有个不同的零点，，，且，则的取值范围是________． 

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）)

17.  如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，是等边三角形，，，是线段的中点．

求证：；

求与平面所成角的正弦值．

18.  在①＝，②＝，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．

已知中，，，分别为内角，，的对边，＝，＝，______，求角及的面积． 

19. 已知数列满足＝，且＝且．  

（1）求，的值；

（2）设＝，是否存在实数，使得是等差数列？若存在，求出的值，否则，说明理由．

（3）求的前项和．

20. 为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加年月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近个月参与竞拍的人数（如表）：

（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数（万人）与月份编号之间的相关关系．请用最小二乘法求关于的线性回归方程：，并预测年月份参与竞拍的人数；

（2）某市场调研机构对位拟参加年月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：

假设所有参与竞价人员的报价可视为服从正态分布，且与可分别由中所求的样本平均数及估值．若年月份实际发放车牌数量为，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价．

参考公式及数据：①回归方程，其中，；

②，，；

③若随机变量服从正态分布，则，，．

21. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆有且仅有一个公共点．  

（1）求椭圆的方程及点坐标；

（2）设直线与轴交于点．过点的直线与交于，两点，记在轴上的投影为，为的中点，直线，与轴分别交于，两点．试探究是否为定值？若为定值，求出此定值，否则，请说明理由．

22. 已知函数＝．  

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，为函数的两个极值点，且，为函数＝的两个零点，．求证：当时，．

参与试题解析

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）

1.

【答案】

A

【解析】

此题暂无解析

2.

【答案】

B

【解析】

此题暂无解析

3.

【答案】

B

【解析】

此题暂无解析

4.

【答案】

C

【解析】

观察选项可知，，选项中的函数图象关于原点对称，即为奇函数，，选项的函数图象关于轴对称，即为偶函数，再根据函数解析式判断得出结论

5.

【答案】

D

【解析】

此题暂无解析

6.

【答案】

D

【解析】

求出展开式的通项公式，分别令的指数为，，求出对应的值，从而计算得解．

7.

【答案】

A

【解析】

求得双曲线一条渐近线方程为，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得，进而得到双曲线的离心率．

8.

【答案】

C

【解析】

此题暂无解析

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）

9.

【答案】

A,C,D

【解析】

此题暂无解析

10.

【答案】

B,C,D

【解析】

此题暂无解析

11.

【答案】

B,C

【解析】

设，取中点为，连接，可得．，．

，根据，，即可判定平面不可能；

，由，可得面；

，由，即可得四棱锥外接球的表面积．

，利用体积公式可得四棱锥的体积为．

12.

【答案】

A,B,D

【解析】

此题暂无解析

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13.

【答案】

【解析】

此题暂无解析

14.

【答案】

【解析】

此题暂无解析

15.

【答案】

【解析】

此题暂无解析

16.

【答案】

【解析】

此题暂无解析

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.

【答案】

证明：∵侧面，平面，

∴．

又∵是等边三角形，是线段的中点，

∴．

∵，

∴平面．

∵平面，

∴．

解：以为原点，、分别为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，．

，，．

设为平面的一个法向量．

由 

令＝，可得．

设与平面所成的角为，得

，

所以与平面所成角的正弦值为． 

【解析】

（I）根据线面垂直的性质和正三角形性质，得且，从而得到 平面．再结合线面垂直的性质定理，可得；

以为原点，、分别为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得、、、各点的坐标，从而得到向量、、的坐标，利用垂直向量数量积等于的方法，可得平面一个法向量，最后根据直线与平面所成角的公式，可得与平面所成角的正弦值为．

18.

【答案】

若选①＝，

因为＝，

所以由正弦定理得＝，

即＝，所以，

因为，或，

若，由，

而，，

从而，矛盾．

故，

接下来求的面积．

法一：设外接圆的半径为，则由正弦定理，得，

∴＝＝，＝＝，

∴，

∴，

法二：由题意可得＝，即，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴或，

当时，又，

∴，，

由正弦定理，得，

∴，

当时，同理可得，

故的面积为．

选②，

因为，

所以，

即，，

所以或（舍），

因为，

以下同解法同①．

选③，

由，及正弦定理得，

即，

由余弦定理得，

∵，∴，

以下解法同①．

【解析】

若选①由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围，可求的值，接下来求的面积，

法一：设外接圆的半径为，则由正弦定理可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．

法二：由题意可得＝，利用三角函数恒等变换的应用可求＝，结合范围，可求，的值，由正弦定理得，利用三角形的面积公式即可求解．

选②利用二倍角公式化简已知等式，可得，解得，结合范围，可求的值，以下同解法同①．

选③由已知利用正弦定理得，由余弦定理得，结合范围，可求的值，以下解法同①．

19.

【答案】

由题设，知，

令＝，有，得＝，

令＝，有，得＝；

由（1），可得，，，

若数列是等差数列，则有＝，即，解得＝，

下证：当＝时，数列是等差数列，

由，可得＝，

∵＝-＝-＝＝，

∴数列是公差为的等差数列，又，∴＝，

故存在＝使得数列是等差数列；

由（2），可得，

∴，

令，

则，

两式相减，得＝

＝＝-，

∴＝-，

∴．

【解析】

此题暂无解析

20.

【答案】

由题意求出，

．

由，，

那么

从而得到回归直线方程为．

当时，可得（万）

根据表中数据求解平均值．

样本方差．

．

正态分布，可得

∴，

即．

，

∴年月份竞拍的最低成交价为万元．

【解析】

（1）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；

（2）根据（1）求出．根据表中数据求解平均值和样本方差，由正态分布，则，由此可得．，从而预测竞拍的最低成交价．

21.

【答案】

设的半焦距为，则，即＝，＝＝，

所以，联立与，，

得＝，依题意＝＝，

解得＝，所以＝，＝，

故椭圆的方程为；

此时＝，即＝，

根为＝，则，

所以点坐标为．

易知，，

若直线的斜率为，此时，，

，或，，则，

若直线的斜率不为，设直线的方程为＝，

得＝，

设，，则，，

可得直线的方程为，则，，

同理，，所以 ，

∵，，

所以．

综上，为定值．

【解析】

此题暂无解析

22.

【答案】

由于＝，，

∴＝＝，

对于方程＝，＝，

当，即时，

故在 内单调递增，

当，即时＝恰有两个不相等实根，

令，得 或，

，得，此时单调递减，

综上所述：当时，在；

当时，在，），（，（，）单调递减．

证明

∵，为函数的两个极值点，

∴，即为方程＝的两根，

又∵，

∴＝，且＝，＝，

又∵，为函数＝的两个零点，

∴＝，＝，

两式相减得＝，

∴＝，

∵，

∴＝＝，

令，

∵，

∴，

由＝可得＝，

由＝，上式两边同时除以得：，

又∵，

故，

解得或（舍去），

设，

∴＝•，

∴＝在 上单调递减，

∴，

∴．

【解析】

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