直线与圆知识点总结及例题

1、直线的倾斜角：1定义：在平面直角坐标系中,对于一条与轴相交的直线,如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角;当直线与轴重合或平行时,规定倾斜角为0；2倾斜角的范围;如1直线的倾斜角的范围是____答：；

倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.

2过点的直线的倾斜角的范围值的范围是______答：

2、直线的斜率：1定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率,即＝tan≠90°；倾斜角为90°的直线没有斜率；2斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；3直线的方向向量,直线的方向向量与直线的斜率有何关系 4应用：证明三点共线： ;如1 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件答：既不充分也不必要；2实数满足 ,则的最大值、最小值分别为______答：

3、直线的方程：1点斜式：已知直线过点斜率为,则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线;直线的斜率时,直线方程为；当直线的斜率不存在时,不能用点斜式求它的方程,这时的直线方程为.2斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率,则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线;3两点式：已知直线经过、两点,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线;若要包含倾斜角为或的直线,两点式应变为的形式.4截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线;5一般式：任何直线均可写成A,B不同时为0的形式;如1经过点2,1且方向向量为=－1,的直线的点斜式方程是___________答：；2直线,不管怎样变化恒过点______答：；3若曲线与有两个公共点,则的取值范围是_______答：

提醒：1直线方程的各种形式都有局限性.如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢 ；2直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点;如过点,且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条答：3

4.设直线方程的一些常用技巧：1知直线纵截距,常设其方程为；2知直线横截距,常设其方程为它不适用于斜率为0的直线；3知直线过点,当斜率存在时,常设其方程为,当斜率不存在时,则其方程为；4与直线平行的直线可表示为；5与直线垂直的直线可表示为.

提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解;

5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：

1点到直线的距离；

2两平行线间的距离为;

6、直线与直线的位置关系：

1平行斜率且在轴上截距；

2相交；

3重合且;

提醒：1 、、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件为什么 2在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；3直线与直线垂直;如1设直线和,当＝_______时∥；当＝________时；当_________时与相交；当＝_________时与重合答：－1；；；3；2已知直线的方程为,则与平行,且过点—1,3的直线方程是______答：；3两条直线与相交于第一象限,则实数的取值范围是____答：；4设分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长,则直线与的位置关系是____答：垂直；5已知点是直线上一点,是直线外一点,则方程＝0所表示的直线与的关系是____答：平行；6直线过点１,０,且被两平行直线和所截得的线段长为9,则直线的方程是________答：

7、特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：1当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,互相平行；2当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直．

8、对称中心对称和轴对称问题——代入法：如1已知点与点轴对称,点P与点N轴对称,点Q与点P直线对称,则点Q的坐标为_______答：；3点Ａ４,５直线的对称点为Ｂ－2,7,则的方程是_________答：；4已知一束光线通过点Ａ－３,５,经直线:3x－4y+4=0反射;如果反射光线通过点Ｂ２,15,则反射光线所在直线的方程是_________答：；5已知ΔABC顶点A3,－１,ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0,∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0,求ＢＣ边所在的直线方程答：；6直线2x―y―4=0上有一点Ｐ,它与两定点Ａ4,－1、Ｂ3,4的距离之差最大,则Ｐ的坐标是______答：5,6；7已知轴,,C2,1,周长的最小值为______答：;提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解;

9.1直线过定点;如直线3m+4x+5-2my+7m-6=0,不论m取 何值恒过定点-1,2 

2直线系方程1与已知直线Ax+By+C=0平行的直线的设法:  Ax+By+m=0 m≠C

 2  与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线的设法: Bx-Ay+m=0 

3经过直线∶x+y+=0,∶x+y+=0交点的直线设法：

    x+y++λx+y+=0λ为参数,不包括

3对称  1点点对称中点坐标公式

2线点对称转化为点点对称,或代入法,两条直线平行

3点线对称点和对称点的连线被线垂直平分,中点在对称轴上、kk’= -1二个方程

4线线对称求交点,转化为点线对称 

10、圆的方程：

⑴圆的标准方程：;

⑵圆的一般方程：,特别提醒：只有当时,方程才表示圆心为,半径为的圆二元二次方程表示圆的充要条件是什么  且且；

⑶圆的参数方程：为参数,其中圆心为,半径为;圆的参数方程的主要应用是三角换元：；

;

⑷为直径端点的圆方程

如1圆C与圆直线对称,则圆C的方程为____________答：；2圆心在直线上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________答：或；3已知是圆为参数,上的点,则圆的普通方程为________,P点对应的值为_______,过P点的圆的切线方程是___________答：；；；4如果直线将圆：x2+y2-2x-4y=0平分,且不过第四象限,那么的斜率的取值范围是____答：0,2；5方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆,则实数k的取值范围为____答：；6若为参数,,,若,则b的取值范围是_________答：

11、点与圆的位置关系：已知点及圆,1点M在圆C外；2点M在圆C内

；3点M在圆C上

;如点P5a+1,12a在圆x－１２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______答：

12、直线与圆的位置关系：直线和圆

有相交、相离、相切;可从代数和几何两个方面来判断：1代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：相交；相离；相切；2几何方法比较圆心到直线的距离与半径的大小：设圆心到直线的距离为,则相交；相离；相切;提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷;如1圆与直线,的位置关系为____答：相离；2若直线与圆切于点,则的值____答：2；3直线被曲线所截得的弦长等于    答：；4一束光线从点A－1,1出发经x轴反射到圆C:x-22+y-32=1上的最短路程是    答：4；5已知是圆内一点,现有以为中点的弦所在直线和直线,则A．,且与圆相交 　 B．,且与圆相交　　C．,且与圆相离    D．,且与圆相离答：C；6已知圆C：,直线L：;①求证：对,直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点,若,求L的倾斜角；③求直线L中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. 答：②或　　③最长：,最短：

13、圆与圆的位置关系用两圆的圆心距与半径之间的关系判断：已知两圆的圆心分别为,半径分别为,则1当时,两圆外离；2当时,两圆外切；3当时,两圆相交；4当时,两圆内切；5当时,两圆内含;如双曲线的左焦点为F1,顶点为A1、A2,P是双曲线右支上任意一点,则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为    答：内切

14、圆的切线与弦长：

1切线：①过圆上一点圆的切线方程是：,过圆上一点圆的切线方程是：,一般地,如何求圆的切线方程 抓住圆心到直线的距离等于半径；②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件,运用几何方法抓住圆心到直线的距离等于半径来求；③过两切点的直线即“切点弦”方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆外一点所引圆的切线的长为；如设A为圆上动点,PA是圆的切线,且PA=1,则P点的轨迹方程为__________答：；

2弦长问题：①圆的弦长的计算：垂径定理常用弦心距,半弦长及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②过两圆、交点的圆公共弦系为,当时,方程为两圆公共弦所在直线方程.;

15.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等

16. 圆的切线和圆系方程

1．过圆上一点的切线方程：圆,圆上一点为,则过此点的切线方程为x+ y=  课本命题．

圆,圆外一点为,则过此点的两条切线与圆相切,切点弦方程为; 

2．圆系方程：①设圆C1∶和

圆C2∶．若两圆相交,则过交点的圆系方程为+λ=0λ为参数,圆系中不包括圆C2,λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程．

②设圆C∶与直线l：Ax+By+C=0,若直线与圆相交,则过交点的圆系方程为+λAx+By+C=0λ为参数． 

例题    1经过点P2,m和Q2m,5的直线的斜率等于,则m的值是　B　

A．4　　　　　    B．3         C．1或3             D．1或4

变：

2. 已知直线l过P－1,2,且与以A－2,－3、B3,0为端点的线段相交,求直线l的斜率的取值范围．

点评：要用运动的观点,研究斜率与倾斜角之间的关系答案： ∪5,＋∞

答案：∪5,＋∞

1.求a为何值时,直线l1：a＋2x＋1－ay－1＝0与直线l2：a－1x＋2a＋3y＋2＝0互相垂直 答案：a=-1

2.求过点P1,－1,且与直线l2：2x＋3y＋1＝0垂直的直线方程．答案：3x－2y－5＝0.

例2.求过定点P2,3且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．

例3.已知△ABC的顶点A1,－1,线段BC的中点为D3,． 

1求BC边上的中线所在直线的方程；

2若边BC所在直线在两坐标轴上的截距和是9,求BC所在直线的方程．

例4.方程m－2m－3x＋2m＋m－1y＝2m－6满足下列条件,请根据条件分别确定实数m的值．1方程能够表示一条直线；答案：m

2方程表示一条斜率为－1的直线．答案：m

例5.直线l的方程为a－2y＝3a－1x－1a∈R．

1求证：直线l必过定点；答案：,

2若直线l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程；答案：5x＋5y－4＝0

3若直线l不过第二象限,求实数a的取值范围．答案：分斜率存在与不存在

例1：求点A-2,3到直线  l:3x+4y+3=0的距离 d=                  ;

例2：已知点a,2到直线l: x-y+1=0的距离为2,则a=               ; a＜0

例3:求直线 y=2x+3直线l: y=x+1对称的直线方程;

类型一：圆的方程

例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．

变式1：求过两点、且被直线平分的圆的标准方程.

变式2：求过两点、且圆上所有的点均直线对称的圆的标准方程.

类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

例4　已知圆,求过点与圆相切的切线．

解：∵点不在圆上,∴切线的直线方程可设为

根据∴.解得,所以,即

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为．

类型三：弦长、弧问题

例7、求直线被圆截得的弦的长.

例8、直线截圆得的劣弧所对的圆心角为    

解：依题意得,弦心距,故弦长,从而△OAB是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为.

例9、求两圆和的公共弦长

类型四：直线与圆的位置关系

例10、已知直线和圆,判断此直线与已知圆的位置关系.

类型五：圆与圆的位置关系  例13、判断圆与圆的位置关系,

例14：圆和圆的公切线共有       条;

类型六：圆中的最值问题

例15：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是       

例16　1已知圆,为圆上的动点,求的最大、最小值．

2已知圆,为圆上任一点．求的最大、最小值,求的最大、最小值．例17：已知,,点在圆上运动,则的最小值是        .

解：设,则.设圆心为,则,∴的最小值为.