动态平衡问题图解分析法

　　例题6、如下图（a）所示，m在三根细绳悬吊下处于平衡状态，现用手持绳OB的B端，使OB缓慢向上转动，且始终保持结点O的位置不动，分析AO、BO两绳中的拉力如何变化．

例2：如图所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°。现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，而将绳子BC逐渐变到沿水平方向，在这过程中，绳子BC的拉力变化情况是：(　 )

　　A．逐渐增大

　　B．先逐渐减小，后逐渐增大

　　C．逐渐减小

　　D．先逐渐增大，后逐渐减小 

　　如图所示，重物G用OA和OB两段等长的绳子悬挂在半圆弧的架子上，B点固定不动，A端由顶点C沿圆弧向D移动，在此过程中，绳子OA上的张力将：（　 ）

　　A．由大变小　　　　　　　　　　 

　　B．由小变大

　　C．先减小后增大　　　　　　　 

　　D．先增大后减小

　　例3：如图所示，在竖直平面的固定光滑圆轨道的最高点有一个光滑的小孔，质量为m的小环套在圆轨道上，用细线通过小孔系在环上，缓慢拉动细线，使环沿轨道上移，在移动过程中拉力F和轨道对小环的作用FN的大小变化情况是：(　 )

　　A．F不变，FN增大

　　B．F不变，FN不变

　　C．F减小，FN不变

　　D．F增大，FN减小 

　　例题7、光滑半球面上的小球（可视为质点）被一通过定滑轮的力F由底端缓慢拉到顶端的过程中（如图所示），试分析绳的拉力F及半球面对小球的支持力FN的变化情况。

3．如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上，圆环A套在粗糙的水平直杆MN上．现用水平力F拉着绳子上的一点O，使小球B从图中实线位置缓慢上升到虚线位置，但圆环A始终保持在原位置不动．则在这一过程中，环对杆的摩擦力f和环对杆的压力N的变化情况是（　 ）

　　A．f不变，N不变 　　　　　　 

　　B．f增大，N不变

　　C．f增大，N减小 　　　　　　 

　　D．f不变，N减小

☆船渡河运动：

　　小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动．设v水为水流速度，v船为船相对静水速度，α为v船与v水的夹角，d为河宽。船的实际运动分解为两个方向处理：

　　水流方向：速度为v水＋v船cosα的匀速直线运动；

　垂直河岸方向：速度为v船sinα的匀速直线运动．

　　1．船渡河时间：

　　在垂直于河岸的方向上 t＝d／v船sinα，当 α＝90°时，t有最小值d／v船

　2．船渡河的最小位移： 

　　①当v船＞v水时，船垂直河岸渡河航程最短（等于河宽），这时航向（船头）应斜向上游，与上游河岸夹角θ＝arccos（v水/v船）；（如下左图所示）

　　②当v船＜v水时，船不能垂直于河岸渡河，当航向斜向上游与河岸夹角θ＝arccos（v船/v水）时，航程最短，且等于 dv水／v船（如下右图所示） 

7．处理圆周运动的动力学问题时需要注意的两个问题：

　　在明确研究对象以后，首先要注意两个问题：

　　（1）确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向．例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如下图所示．小球做圆周运动的圆心为与小球同一水平面上的点O’，不在碗的球心O，也不在弹力FN所指的PO线上。

　　（2）向心力是根据力的效果命名的．在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力等）以外再添加一个向心力　　☆7．离心运动：

　　（1）离心现象条件分析

　　①做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被着沿圆周运动，如下图所示，

　　②当产生向心力的合外力消失，F＝0，物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图中A所示．

　　③当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，F’＜mrω2，即合外力不足提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动，如图中B所示．

　　（2）离心运动的应用和危害

　　利用离心运动制成离心机械，如：离心干燥器、洗衣机的脱水筒等．

　　汽车、火车转弯处，为防止离心运动造成的危害，一是限定汽车和火车的转弯速度不能太大；二是把路面筑成外高内低的斜坡增大向心力．

　　说明：若合外力大于所需的向心力，物体离圆心将越来越近，即为近心运动。

例题1. 一火箭内的实验平台上放有测试仪器，火箭启动后以加速度 g／2竖直加速上升，达到某高度时，测试仪器对平台的压力减为启动前的17/18，求此时火箭距地面的高度。（取地球半径R= 6.4×103km）

　　解析：

　　在分析物体受力时，要根据具体情况来确定万有引力的影响，本题中，物体所受的万有引力和平台对其支持力的合力是改变物体运动状态的原因，研究方法与动力学分析问题的方法相同。

　分析仪器受力情况：启动前，仪器是在地面处，所受地球引力亦即重力，此时仪器处于平衡状态，则有：

　　到达待求高度时仪器受到地球引力设为F2，则：

　　设此时平台支持力为FN2，对仪器由牛顿第二定律有：

　　由题给条件：

　　由以上各式可得

　　解得 ．

　　　　例题2. 把地球绕太阳公转看作是匀速圆周运动，轨道平均半径约为1.5×108km，已知万有引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少kg？（结果取一位有效数字）

　　解析：

　　题干给出地球轨道半径：r＝1.5×108km，虽没直接给出地球运转周期数值，但日常知识告诉我们：地球绕太阳公转一周为365天，故周期T＝365×24×3600＝3.15×107s

　　万有引力提供向心力

　　故太阳质量： 

　　例题3. 某人造卫星距地面h米，地球半径为R、质量为M，地面重力加速度为g，万有引力恒量为G．

　　（1）分别用h、R、M、G表示卫星周期T、线速度v、角速度ω。

　　（2）分别用h、R、g表示卫星周期T、线速度v、角速度ω。

　　解析：

　　（1）根据向心力来自万有引力得：

　　　　 得： ， ， 

　　（2）卫星在地球表面上受的万有引力近似等于mg：

　　　　 由 得到 代入得

　　　　 ， 

　　　例题4. 如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是：（　 ）

　　A．b、c的线速度大小相等，且大于a的速度

　　B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度

　　C．c加速可以追上同一轨道上的b，b减速可以等候同一轨道上的c

　　D．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大

　　解析：

　　因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等，又b、c轨道半径大于a轨道半径，由 知vb＝vc＜va，故A选项错；由加速度 ，可知ab＝ac＜aa，故B选项错；

　　当c加速时，c受的万有引力 ，故它将偏离原轨道，做离心运动；当b减速时，b受到的万有引力 ，它将偏离原轨道，而离圆心越来越近，所以无论如何c追不上b，b也等不到c，故C选项错；对这一选项，不能用 来分析b、c轨道半径的变化情况；

　　对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视作稳定运行，由 知，r减小时v逐渐增大，故D选项正确。

　　答案：D

　　例题5. 地球同步卫星到地心的距离r可由 求出。已知式中a的单位是m， b的单位是s，c的单位是m／s2，则：（　 ）

　　A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度；

　　B．a是地球半径，b是同步卫星统地心运动的周期，c是同步卫星的加速度

　　C．a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度；

　　D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度

　　解析：

　　本题题目设计新颖，考查学生对有关同步卫星知识掌握的情况以及逻辑推理、等效变换、分析类比等能力．

　　由 ，可得： 　　　　　　　　　　 　　　　　　　①

　　与题干中给出的 相比需再做进一步处理。

　　考虑到c的单位是m／s2，是加速度的单位，于是引入重力加速度： 　　 ②

　　②式中g为同步卫星的加速度，r为同步卫星到地心距离，由①②两式可得 ，进而得 ，显然与选项不符。

　　引入地球表面处的重力加速度g0， 　　　　　　　 　　　　　　　　　　③

　由①③可得 与 相比，形式相同，并且符合选项中的要求。

　　对于同步卫星，其绕地心运动的周期与地球自转周期相同。

　　答案：AD

　　例题6. 2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α＝40°，已和地球的半径为R，地球自转周期为T，地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间。（要求用题给的已知量的符号表示）

　　解析：

　　本题是结合现代科技前沿的实际问题，考查学生多方面的知识和能力。考查的知识有：有关同步卫星的概念和知识、万有引力定律与匀速圆周运动的动力学方程、重力加速度g的决定因素、光的传播等物理内容；与地理的结合，考查地理经、纬度的概念等。在考查能力方面着重考查学生的空间想象能力、物理问题转化为数学模型的能力及数学计算能力等。

　　设：地球的质量为M，卫星的质量为m，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度，

　由万有引力定律和牛顿定律有： ，式中G为万有引力恒星，

　　因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有 

　　因 得GM＝gR2

　　设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图所示：

　　由余弦定理得 

　　所求时间为 

　　由以上各式得

　　拓展：

　　某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星。试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落后12h内有多长时间该视察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。

　　解析：

　　设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离，则根据万有引力定律和圆周运动的知识有：

　　 　　　　　　　　　　 　　　①

　　 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　②

　　由①②两式可得卫星到地心的距离： 　③

　　春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心，

　　由图可知当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它。

　　据此再考虑到对称性有： 　　　　　　 ④

　　又 　　　　　　　　　　　　　　　 　⑤

　　由以上各式解得： 

　　例题7. 两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，观测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。

　　解析：

　　设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点做周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为和。

　　由万有引力定律和圆周运动知识及几何条件可得：

　　对M1： ，得 

　　对M2： ，得 

　　两星球的总质量为： 

　例题8. 在勇气1号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆其第一次落到火星地面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力．已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T，火星可视为半径为r0的均匀球体。

　　解析：

　　以g’表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m’表示为卫星的质量，m表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和圆周运动的知识可得：

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　 　　　　　　　　　　　　　　 ②

　　由①②两式得： 　　　　　　　　　　　　③

　　以v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，根据机械能守恒定律有：

　　 　　　　　　　　　　　　　 ④

　　由③④两式得 

　　例题9. 已知万有引力常是G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g，某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：

　　同步卫星绕地心作圆周运动，由 得 

　　（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由，如不正确，请给出正确的解法和结果。

　　（2）请根据已知条件再提出两种估算地质量的方法并解得结果。

　　解析：

　　（1）上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略。

　　　 　正确的解法和结果：

　　　 　 得 

　　（2）方法一；对月球绕地球作圆周运动，由 ，得 

　　　　 方法二：在地面重力近似等于万有引力，由 ，得 

　　拓展：

　　17年英国著名物理学家卡文迪许首先估算出了地球的平均密度。根据你学过的知识，能否知道地球密度的大小。

　　解析：

　　实际本题是要求进行估算，因而如何挖掘题目中的隐含条件是关键，而我们学过的知识中能与地球质量密度相联系的应首先想到万有引力定律，何况题设中提出了“卡文迪许”呢？

　　设地球质量为M，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，

　　根据万有引力定律得： 　　　　　　　 ①

　　将地球看成均匀球体： 　　　　　　 ②

　　由①②t得地球的平均密度 

　　上式中π、G、R和g均为常数，将它们的值代入可得：ρ＝5.5×103 kg/m3

　　即地球的平均密度为ρ＝5.5×103 kg/m3。

☆机械波的图象：

　　1. 如下图所示为一横波的图象．它反映了在波传播的过程中，某一时刻介质中各质点的位移在空间的分布．简谐波的图象为正弦（或余弦）曲线．

　　2. 根据机械波的传播规律，利用该图象可以得出以下的判定：

　　(1)介质中质点的振幅A，波长λ以及该时刻各质点的位移和加速度的方向．

　　(2)已知波速v和波形，画出再经Δt时间的波形图：

　　①平移法：先算出经Δt时间波传播的距离Δx= v·Δt，再把波形沿波的传播方向平移Δx即可．因为波动图象的重复性，若知波长λ，则波形平移nλ时波形不变，当Δx ＝nλ＋x时，可采取去整nλ留零x的方法，只需平移x即可．

　　②特殊点法：（若知周期T则更简单）在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方向，再看Δt=nT+t. 由于经nT波形不变，所以也采取去整nT留零t的方法，分别作出两特殊点经t后的位置，然后按正弦规律画出新波形

　　(3)根据某一质点的振动方向确定波的传播方向或 根据波的传播方向确定某一质点的振动方向：

　　已知质点振动速度方向判断波的传播方向，或与之相反的问题，判断的基本规律是横波的形成与传播的特点，常用方法有：

　　上下坡法：

　　沿波的传播速度的正方向看，“上坡”的点向下振动，“下坡”的点向上振动，简称“上坡下，下坡上”．图 （甲）所示：

　　同侧法：

　　在波的图上的某一点，沿竖直方向画出一个箭头表示质点振动方向，并设想在同一点沿水平方向画个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧．图 (乙)所示：

　　头头（尾尾）相对法：

　　在波形图的波峰（或波谷）上画出一个箭头表示波的传播方向，波峰（或波谷）两边波形上分别画出两个箭头表示质点的振动方向，那么这三个箭头总是头头相对，尾尾相对，如图（丙）所示：

　　平移法：

　　将原波形（实线）沿波的传播方向平移λ/4后（虚线），则从原波形中平衡位置沿y轴指向虚线最大位移处的方向，表示原波形中质点的振动方向．图 ( 丁)所示

　　(4)已知振幅A和周期T，求振动质点在Δt时间内的路程和位移：

例题7. 

　　如下图中的实线是某时刻的波形图象，虚线是经过0.2s时的波形图象．

　　(1)假定波向左传播，求它传播的可能距离．

　　(2若这列波向右传播，求它的最大周期．

　　(3)假定波速是35m/s，求波的传播方向．

　解析：

　　(1)向左传播时传播的距离为 （n＝0、1、2、……）可能值有3m，7m，11m…… 

　　(2)根据 得： ；，在所有可能的周期中，当n=0时最大，故Tm= 0.8s.

　　(3)波在0.2s传播的距离s=vt=7m，等于 个波长，故可判得波向左传播．

（2004年全国理综三，16）一简谐波在下图中x轴上传播，实线和虚线分别是t1和t2时刻的波形图，已知t2－t1= 1.0s.由图判断下列哪一个波速是不可能的（　 ）

　　A. 1 m/s　　　 

　　B. 3 m/s　　　 

　　C. 5 m/s　　　 

　　D. 10 m/s

　　答案：D

例题9. 

　　一列简谐波沿x轴方向传播，已知x轴上x1＝0和x2＝1m两处质点的振动图线分别如图(a)(b)所示，则此波的传播速度？

　　解析：

　　由所给出的振动的图像知周期T＝4×10－3s由图像还可知t=0时刻，x=0的质点P在正最大位移处，x=1的质点Q在平衡位置向y轴负方向运动，所以当简谐波沿x轴正向传播时P、Q间距离为，当波沿x轴负方向传播时，P、Q间距离为 ，

　　因为 ，所以 

　　同理因为 ，所以 

　　因此可得：

　　波沿x轴正向传播时的波速： ，n =0，1，2……

　　波沿x轴负向传播时的波速： ，n =0，1，2……

8．下图中的实线是一列简谐波在某一时刻的波形曲线．经0.2s后，其波形如图中虚线所示．设该波的周期T大于0.2s，求：

　　（1）由图中读出波的振幅和波长；

　　（2）如果波向右传播，波速是多大？波的周期是多大？

　　（3）如果波向左传播，波速是多大？波的周期是多大？

例题6. 

　　如图所示，质量为m=1kg，带正电q=5×10-2C的小滑块，从半径为R=0.4m的光滑绝缘圆弧轨道上由静止自A端滑下。整个装置处在方向互相垂直的匀强电场与匀强磁场中。已知E=100 V/m，水平向右；B=1T，方向垂直纸面向里。

　　求：

　　(1)滑块m到达C点时的速度；

　　(2)在C点时滑块对轨道的压力。

　3．如图所示，在y>0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y<0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外。一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y=h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x=2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y＝－2h处的P3点，不计重力。

　　求：

　　（1）电场强度的大小。

　　（2）粒子到达P2时速度的大小和方向。

　　（3）磁感应强度的大小。