必修1函数的值域及其求法

吴川三中文科数学出版

一 相关概念

1、值域：函数，我们把函数值的集合称为函数的值域。

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

二 确定函数值域的原则

1、当函数用表格给出时，函数的值域指表格中实数y的集合；

2、数的图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；

3、数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；

4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。

三 基本函数的值域

1、一次函数的值域为R； 2、二次函数；

3、反比例函数的值域为；4、数函数的值域为；5、对数函数的值域为R。6，函数y=sinx、y=cosx的值域是

四 求函数值域的方法

1、观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法；  2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域；

例1.的值域；

解： 

画出图像（图略）从图可知, 

所以此函数的值域为.

例2. 求的值域；

解：设

３、换元法： 形如；

例3. 求函数的值域

解：设, ,.

4、判别式法：形如；

例4 求函数的值域；

解：  要上面的方程有实数根， 

求出,所以函数的值域为

５、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

形如的函数用反函数法求值域；例 求函数y=值域。

６、分离常数法：形如的函数也可用此法求值域；

例5求函数的值域；

解：方法一：（反函数法）求出函数的反函数为，其定义域为，所以原函数的值域为

 方法二：（分离常数法）

７、函数有界性法 (通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容)

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数y=，，的值域   

８、数形结合法。例6求函数（方法一可用到图象法）

方法二：（单调性）

  所以此函数的值域为

注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域。

一．回顾与应用

1．若函数y=f(x)的值域是[-2，3]，则函数y=∣f(x)∣的值域是             （    ）

  A．[-2，3]    B．[2，3]     C．[0，2]    D．[0，3]

2．函数y=log0.3(x2+4x+5)的值域是              .

3．函数的值域为        ． 

4．定义域为R的函数y = f(x)的值域为[a，b]，则f(x+a)的值域为          （    ）

    A．[2a，a+b]        B．[0，b-a]         C．[a，b]        D．[-a，a+b]

5．若函数f(x)=的值域是[-1，1]，则函数f –1(x)的值域是（     ）

A      B   [-1,1]    C       D   

6．函数y=x+的值域是                                          （      ）

    A．{y|y≥}  B．{y|y≤}   C．{y|y≥0}   D．{y|y≤0} 

二．题型举例

1．求下列函数的值域：

（1）                     （2）

2．已知x1、x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(kR)的两个实根，求x12+x22的最大值。

3．已知函数的定义域为R.

(1)求实数m的取值范围。  （2）当m变化时，若y的最小值为f(m)，求f(m)的值域。

三．课后练习

1．函数的值域是           ；．函数的值域是       。

2．函数y=-x(x+2)(x0)的反函数的定义域是             。

3．若函数的值域为R，则k的取值范围是（     ）

A  04．若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m]，值域为，则m的取值范围是（     ）

A       B         C            D     

5．求下列函数的值域：（1）       （2）

6．若函数的定义域和值域都是[1,b](b>1)，求b的值。

7．已知函数f(x)=1-2ax-a2x(a>1)。

（1）求f(x)的值域。    （2）若x [-2,1]时，函数的最小值为-7，求a及f(x)的最大值。

答案参考    1．D  2. 3. [0，3 ]  4. C  5. A提示：反函数的值域是原函数的定义域；令，求x。   6．A

二．1．求下列函数的值域：

解：（1），而，所以

；  所以函数的值域是

（2）

  =，所以函数的值域是。

2． 解：令=（k-2）2-4(k2+3k+5)= -3k2-16k-160，得  。

x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3x+5)= -k2-10k-6= -(k+5)2+19因为  ，所以  ；-(k+5)2+1919-1=18。    故x12+x22的最大值是18。

3． 解：（1） m=0满足条件。当m0时，令

  解得  0   （2）

所以  f(m)=  ；  。故f(m)的值域为[0，2]。

三．课后练习

1.     2.     3. C  4．C  解：f(0)= -4，f()=，f(3)=f(0)，所以  m

5. 解：（1）；所以-1  法二：y(ex+1)=ex-1， ex(y-1)= -y-1；，又ex>0；从而解得。

  （2）；函数的值域是。

  法二：〉0，所以函数y是上的增函数，当x=2时，y有最大值2，从而得结论。

6．解：，y在[1，b]上为增函数，f(1)=1，f(b)=b；

所以  ；解得：b=1(舍去)、b=3。所以  b=3

7．解：（1）f(x)= -(ax+1)2+2<1；所以f(x)的值域是。

   （2）f /(x)<0，所以f(x)为R上的减函数，所以  f(1)= -7；即  -（a+1）2+2= -7；a=2.

        f(-2)= -(2 –2+1)2+2= 。所以a=2，f(x)的最大值是。

必修1复习专题之函数(定义域 解析式 分段函数) ----------答案

【你会做哪些】1．π+1    2．D    3． - 4     4． B    5．D   6．B  7. 解析：本题路程S与时间t的关系有3种情况，应分3个时间段处理．答案：            

8.  18　　4或－    9.  10. V＝｛x｜0＜x＜a/2｝

【训练反馈】  1．B   2．A   3．C   4．D   5．B   6．D   7． {x|-1≤x＜8}   8．（0，5]  9． y=    10．提示：若k=0，则函数的定义域为R；若k≠0，则对任意x∈R，kx2+4kx+3≠0，从而，△＜0，解得0＜k＜．从而所求k的取值范围为{k|0≤k＜}．   12．（1）f(1) =0，f(4)=2；（2）增函数；（3）3＜x≤4．

补充专题1----如何求复合函数的定义域？

义域是_____________。    复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。

例   若函数的定义域为，则的定义域为            。

分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。

解：依题意知：解之，得∴　的定义域为

补充专题二-----映射的扩展

【知识在线】

1．对于映射f：A→B，下列说法正确的是                             （   ）

    A．A中某一元素的象可以不止一个   B．B中某一元素的原象可以不止一个

    C．A中两个不同元素的象必不相同   D．B中两个不同元素的原象可能相同

2．设集合A={a，b，c}，B={m，n，p}，那么从集合A到B可以建立     个一一映射．

3．已知A=B=R，x∈A，y∈B，且f：x→y=ax+b，若5和20的原象分别是5和10，则7在f下的象为            ．

4．下列函数中，表示同一函数的是                                   （    ）

  A．f(x)=1，g(x)=x°B．f(x)=x+1，g(x)= C．f(x)=，g(x)=|x| D．f(x)=x，g(x)=()2 

【讲练平台】例1  在对应法则“f”下，给出下列从集合A到集合B的对应：

（1）A=N，B=R，f：x→y=；（2）A=N，B=Z，f：x→y=；

（3）A={x∣x是平面内的三角形}，B={y∣y是平面内的圆}，f：x→y是x的外接圆．

其中能构成映射的是（    ）A．（1）、（2）  B．（1）、（3）  C．（2）、（3）  D．（2）

分析  判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f下，对于集合A中的任一元素在B中是否都有唯一的象．

解  在（1）中，元素“0”在B中没有象，不满足“任意性”，故不能构成映射．在（2）中，当x为偶数时，其象为1；当x为奇数时，其象为-1，而1，-1∈B，即A中任一元素在B中都有唯一的象．

在（3）中，因为任一三角形都有唯一的外接圆，所以（2）、（3）能构成映射．答案选C．

点评  ①判断一个对应是否能构成映射，应紧扣映射定义．②在课本中，已规定0是自然数，忽视了这一点，将误认为对应（1）是映射．③在映射f：A→B中，A、B的地位是不对等的，它并不要求B中元素均有原象，或有原象也未必唯一．一般地，若A中元素的象的集合为C，则CB．如（2）中除1，-1以外的任何元素均无原象，（3）中任一圆的内接三角形都有无数个．④映射中的集合元素的对象是任意的，可以是数集、点集或其他任意对象，如（3）中的集合对象是几何图形．

变题 设集合A={x∣x是平面内的圆}，B={y∣y是平面内的矩形}，f：x→y是x的内接矩形．试问它能否构成映射？                                                               答案：不能

例2（1999年全国高考） 已知映射f：A→B，其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意a∈A，在B中和它们对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是   （    ）           A．4    B．5   C．6   D．7

分析  本题主要考查映射的概念及对对应概念的理解．解本题应抓住：①对应法则f是什么？②集合B中的具体元素是什么？而②的解决由①来决定．

解  依题意，由A→B的对应法则为f：a→|a|．于是，将集合A中的7个不同元素分别取绝对值后依次得3，2，1，1，2，3，4．由集合元素的互异性可知，B={1，2，3，4}，它有4个元素，答案选A．

点评  ①准确理解题目本身所给的信息，捕捉对解题有用的成份，是解决问题的关键． ②不能忽视集合元素的三大特性在解题中的应用．本能中如果忽视集合元素的互异性，将导致错选D．

例3  设A={(x，y)∣x∈R，y∈R }．如果由A到A的一一映射，使象集合中的元素(y-1，x+2)和原象集合中的元素(x，y)对应，那么象(3，-4)的原象是   （    ）

A．（-5，5）  B．（4，-6）  C．（2，-2）  D．（-6，4）

分析  由象与原象的概念可知，本题中的对应法则是f：(x，y)→(y-1，x+2)，问题即：当点(y-1，x+2)是（3，-4）时，对应的x，y的值分别是多少？于是由

    ，即象（-3，4）的原象是（-6，4），选D．

点评  ①已知原象要求象，只需根据对应法则直接代入计算；已知象元素，反求原象，需逆向思考，通常借助方程思想，通过解方程组来解决．②在映射f：A→B中，A是原象集合，B是象的集合，对应法则是f：原象→象，二者顺序不能颠倒，否则将误选A；点(x，y)是有序数对，x，y的顺序不能搞错，否则将误选B．

例4  设A={x∣0≤x≤2}，B={y∣1≤y≤2}，图1中表示A到B的函数是

分析  可根据映射观点下的函数定义直接求解．首先C图中，A中同一个元素x（除x=2)与B中两个元素对应，它不是映射，当然更不是函数；其次，A、B两图中，A所对应的“象”的集合均为{y∣0≤y≤2}，而{y∣0≤y≤2} B={y∣1≤y≤2}，故它们均不能构成函数．从而答案选D．

点评  函数首先必须是映射，是当集合A与B均为非空数集时的映射．因此，判断一个对应是否能构成函数，应判断：①集合A与B是否为非空数集；②f：A→B能否为一个映射．另外，函数f：A→B中，象的集合M叫函数的值域，且MB．

【知能集成】1．理解映射的概念，应紧紧抓住映射的两个特性：①任意性；②唯一性．2．判断一个对应是不是映射或一一映射，应“回到定义去”；说明一个对应不是映射或一一映射，只须找出一个反例．3．深化对函数概念的理解，能从函数三要素（定义域、值域与对应法则）的整体上去把握函数概念．在函数三要素中，定义域和对应法则是函数的核心，两个函数当且仅当二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．

【知识在线】1．B   2．6   3． 11  4． C