三角函数高考试题精选(含详细答案)

一．选择题（共18小题）

1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（　　）

A．    B．    C．π    D．2π　

2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　）

A．ω=，φ=    B．ω=，φ=﹣

C．ω=，φ=﹣    D．ω=，φ=　

3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（　　）

A．4π    B．2π    C．π    D．

4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（　　）

A．f（x）的一个周期为﹣2π

B．y=f（x）的图象关于直线x=对称

C．f（x+π）的一个零点为x=

D．f（x）在（，π）单调递减　

5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（　　）

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

6．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（　　）

A．    B．1    C．    D．

7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4　

8．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（　　）

A．    B．    C．1    D．

9．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（　　）

A．﹣    B．﹣    C．    D．

10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（　　）

A．与b有关，且与c有关    B．与b有关，但与c无关

C．与b无关，且与c无关    D．与b无关，但与c有关

11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（　　）

A．x=﹣（k∈Z）    B．x=+（k∈Z）    C．x=﹣（k∈Z）    D．x=+（k∈Z）　

12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（　　）

A．11    B．9    C．7    D．5

13．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（　　）

A．向左平行移动个单位长度    B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动个单位长度    D．向右平行移动个单位长度

14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（　　）

A．y=2sin（2x+）    B．y=2sin（2x+）    C．y=2sin（2x﹣）    D．y=2sin（2x﹣）

15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（　　）

A．t=，s的最小值为    B．t=，s的最小值为

C．t=，s的最小值为    D．t=，s的最小值为

16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（　　）

A．向左平行移动个单位长度    B．向右平行移动个单位长度

C．向上平行移动个单位长度    D．向下平行移动个单位长度

17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（　　）

A．y=2sin（2x﹣）    B．y=2sin（2x﹣）    C．y=2sin（x+）    D．y=2sin（x+）

18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（　　）

A．4    B．5    C．6    D．7

二．填空题（共9小题）

19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=　　．　

20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为　　．

21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是　　．

22．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为　　．

23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为　　．　

24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是　　．

25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移　　个单位长度得到．　

26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移　　个单位长度得到．

27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是　　．

三．解答题（共3小题）

28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．

（I）求f（x）的最小正周期；

（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．

29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．

（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．

30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．

（1）求ω的值；

（2）求f（x）的单调递增区间．

三角函数2017高考试题精选（一）

参与试题解析

一．选择题（共18小题）

1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（　　）

A．    B．    C．π    D．2π

【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），

∵ω=2，

∴T=π，

故选：C

2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　）

A．ω=，φ=    B．ω=，φ=﹣

C．ω=，φ=﹣    D．ω=，φ=

【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，

又f（）=2，f（）=0，得，

∴T=3π，则，即．

∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），

由f（）=，得sin（φ+）=1．

∴φ+=，k∈Z．

取k=0，得φ=＜π．

∴，φ=．

故选：A．

3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（　　）

A．4π    B．2π    C．π    D．

【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．

故选：C．

4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（　　）

A．f（x）的一个周期为﹣2π

B．y=f（x）的图象关于直线x=对称

C．f（x+π）的一个零点为x=

D．f（x）在（，π）单调递减

【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，

B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，

C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，

D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D错误，

故选：D

5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（　　）

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，

故选：D．

6．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（　　）

A．    B．1    C．    D．

【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos（﹣x+）=sin（x+）+sin（x+）

=sin（x+）．

故选：A．

7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），

则函数的周期相同，若a=3，

此时sin（3x﹣）=sin（3x+b），

此时b=﹣+2π=，

若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin（3x﹣b+π），

则﹣=﹣b+π，则b=，

综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），

共有2组，

故选：B．

8．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（　　）

A．    B．    C．1    D．

【解答】解：∵tanα=，

∴cos2α+2sin2α====．

故选：A．

9．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（　　）

A．﹣    B．﹣    C．    D．

【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ

==．

故选：D．

10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（　　）

A．与b有关，且与c有关    B．与b有关，但与c无关

C．与b无关，且与c无关    D．与b无关，但与c有关

【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，

∴f（x）图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关，

当b=0时，f（x）=sin2x+bsinx+c=﹣cos2x++c的最小正周期为T==π，

当b≠0时，f（x）=﹣cos2x+bsinx++c，

∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π，

∴f（x）的最小正周期为2π，

故f（x）的最小正周期与b有关，

故选：B

11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（　　）

A．x=﹣（k∈Z）    B．x=+（k∈Z）    C．x=﹣（k∈Z）    D．x=+（k∈Z）

【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），

由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），

即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），

故选：B．

12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（　　）

A．11    B．9    C．7    D．5

【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，

∴，即，（n∈N）

即ω=2n+1，（n∈N）

即ω为正奇数，

∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，

即T=≥，解得：ω≤12，

当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，

∵|φ|≤，

∴φ=﹣，

此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；

当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，

∵|φ|≤，

∴φ=，

此时f（x）在（，）单调，满足题意；

故ω的最大值为9，

故选：B

13．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（　　）

A．向左平行移动个单位长度    B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动个单位长度    D．向右平行移动个单位长度

【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，

故选：D．

14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（　　）

A．y=2sin（2x+）    B．y=2sin（2x+）    C．y=2sin（2x﹣）    D．y=2sin（2x﹣）

【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，

由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，

可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，

即有y=2sin（2x﹣）．

故选：D．

15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（　　）

A．t=，s的最小值为    B．t=，s的最小值为

C．t=，s的最小值为    D．t=，s的最小值为

【解答】解：将x=代入得：t=sin=，

将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，

得到P′（+s，）点，

若P′位于函数y=sin2x的图象上，

则sin（+2s）=cos2s=，

则2s=+2kπ，k∈Z，

则s=+kπ，k∈Z，

由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，

故选：A．

16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（　　）

A．向左平行移动个单位长度    B．向右平行移动个单位长度

C．向上平行移动个单位长度    D．向下平行移动个单位长度

【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，

平移后函数解析式为：y=sin（x+），

可得平移量为向左平行移动个单位长度，

故选：A

17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（　　）

A．y=2sin（2x﹣）    B．y=2sin（2x﹣）    C．y=2sin（x+）    D．y=2sin（x+）

【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，

=，故T=π，ω=2，

故y=2sin（2x+φ），

将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，

则φ=﹣满足要求，

故y=2sin（2x﹣），

故选：A．

18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（　　）

A．4    B．5    C．6    D．7

【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）

=1﹣2sin2x+6sinx，

令t=sinx（﹣1≤t≤1），

可得函数y=﹣2t2+6t+1

=﹣2（t﹣）2+，

由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，

即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．

故选：B．

二．填空题（共9小题）

19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=　　．

【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，

∴α+β=π+2kπ，k∈Z，

∵sinα=，

∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=．

故答案为：．

20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为　　．

【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，

要使+=2，

∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．

则：，k1∈Z．

，即，k2∈Z．

那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．

∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．

故答案为：．

21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是　1　．

【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，

令cosx=t且t∈[0，1]，

则y=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，

当t=时，f（t）max=1，

即f（x）的最大值为1，

故答案为：1

22．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为　　．

【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx=（cosx+sinx）=sin（x+θ），其中tanθ=2，

可知函数的最大值为：．

故答案为：．

23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为　4　．

【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），

∴必有|a|=2，

若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），

则函数的周期相同，若b=3，此时C=，

若b=﹣3，则C=，

若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），

若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，

综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），

共有4组，

故答案为：4．

24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是　7　．

【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：

由图可知，共7个交点．

故答案为：7．

25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移　　个单位长度得到．

【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），

令f（x）=2sinx，

则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），

依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），

故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），

即φ=﹣2kπ+（k∈Z），

当k=0时，正数φmin=，

故答案为：．

26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移　　个单位长度得到．

【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），

∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），

令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），

则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），

即φ=﹣2kπ（k∈Z），

当k=0时，正数φmin=，

故答案为：．

27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是　8　．

【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，

可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①

由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，

在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，

又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，

则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，

由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，

令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，

由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，

tanAtanBtanC=﹣=﹣，

=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，

因此tanAtanBtanC的最小值为8，

另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，

sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，

两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，

∵﹣tanA=tan（B十C）=，

∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，

∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，

令tanAtanBtanC=x＞0，

即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．

当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，

解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．

三．解答题（共3小题）

28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．

（I）求f（x）的最小正周期；

（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，

=（co2x+sin2x）﹣sin2x，

=cos2x+sin2x，

=sin（2x+），

∴T==π，

∴f（x）的最小正周期为π，

（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，

∴2x+∈[﹣，]，

∴﹣≤sin（2x+）≤1，

∴f（x）≥﹣

29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．

（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．

【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x

=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，

令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，

可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．

（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；

再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，

∴g（）=2sin+﹣1=．

30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．

（1）求ω的值；

（2）求f（x）的单调递增区间．

【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx

=sin2ωx+cos2ωx==．

由T=，得ω=1；

（2）由（1）得，f（x）=．

再由，得．

∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．