高中数学题及答案

2．（本小题满分12分）

两个人射击，甲射击一次中靶概率是p1，乙射击一次中靶概率是p2，已知 , 是方程     x2－5x + 6 = 0

的根，若两人各射击5次，甲的方差是 ．

1 求 p1、p2的值；

2 两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？

3 两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？

3．（本小题满分12分）

P是以为焦点的双曲线C：（a＞0，b＞0）上的一点，已知=0，．

（1）试求双曲线的离心率；

（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点，当，= 0，求双曲线的方程．

4．（本小题满分14分）

设是定义在[-1，1]上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，且当 x∈[ 2，3 ] 时， 222233．

（1）求的解析式；

（2）若在上为增函数，求的取值范围；

（3）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

数学擂台高考题答案

1．解析：

…………………………4’

当＞0时，，

解得，………………………………………………………………6’

从而， ，

T=，最大值为5，最小值为－5；………………………………………………8’

当m＜0时， 解得，………………………………………………10’

从而，，T=，最大值为，

最小值为．……………………………………………………………………12’

2．解析：1 由题意可知 甲 ~ B(5, p1)，

∴    D甲 = 5p1 1－p1 =  p12－p1 + = 0  p1 = ．2分；又 ·= 6，∴ p2 = ．  3分

2 两类情况：共击中3次概率

C   2   0×C   1   1 + C   1   1×C   2   0 = ； 

共击中4次概率C   2   0×C   2   0 = ． 6分

所求概率为 + = ．  8分

3 设事件A, B分别表示甲、乙能击中．∵ A, B互相（9分），∴ PA·B  = PA  PB  = 1－PA 1－PB  = 1－p11－p2 = ×= （11分），∴ 1－PA·B  = 为所求概率． 12分

3．解（1）∵，，∴，．  

    ∵=0，∴(4a)2+(2a)2=(2c)2，∴．……………………4分

    （2）由（1）知，双曲线的方程可设为，渐近线方程为．…5分

    设P1(x1，2x1)，P2(x2，-2x2)，P(x，y)．

    ∵，∴． ∵，∴………8分

    ∵点P在双曲线上，∴．

    化简得，．∴．∴ ．∴双曲线的方程为…12分

4.解：（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f(x)=g(2-x)= -2ax+4x3；当x∈时，f(x)=f(-x)=2ax-4x3，

    ∴………………………………………4分

    （2）由题设知，＞0对x∈恒成立，即2a-12x2＞0对x∈恒成立，于是，a＞6x2，从而a＞(6x2)max=6．………………………8分

    （3）因f(x)为偶函数，故只需研究函数f(x)=2ax-4x3在x∈的最大值．

    令=2a-12x2=0，得．…10分    若∈，即0＜a≤6，则

    ，

    故此时不存在符合题意的；

    若＞1，即a＞6，则在上为增函数，于是．

    令2a-4=12，故a=8．    综上，存在a = 8满足题设．………………13分