三角形知识点

1.三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．

2.三角形的表示：通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用 A、B、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段 AB、 BC、AC 是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C 分别表示三角形的三个内角．

注：三角形包含的元素：内角、外角、边、顶点

3.三角形的分类

锐角三角形：所有内角都是锐角，小于90度

（1）按角分     直角三角形：有一个内角是直角，直角的两边叫直角边，另一边叫斜边

                钝角三角形：有一个内角是钝角

           等腰三角形：有两边相等的三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角

（2）按边分     等边三角形：三边都相等的三角形，或叫做正三角形

                非等腰等边三角形

4.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，满足△ABC 三边长 a、b、c 的    不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b

    任意两边的差小于第三边，满足△ABC 三边长 a、b、c 的不等式 有：a>b-c，b>a-c，c>b-a

依据：两点之间，线段最短

注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形

    2）在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和

    3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形

5.三角形中的三条重要线段

（1）定义

高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

注意：①三角形的三条高是线段

②从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高

中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．

      ②连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边 BC   上的中线

   角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交的线段叫做三角形的角平分  线

注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．

 ②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部． 

③画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线

注：三角形的高、中线、角平分线均为线段

6.三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性

质就叫做三角形的稳定性

注：四边形没有稳定性

7. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等180° 表示：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°

证明方法：利用平行线性质

由此可推出：三角形最多只有一个直角或者钝角，最少有两个锐角，三角形的内角和是

外角和的一半；直角三角形的两个锐角互余。

8. 三角形的外角

（1）定义：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。

注：结合内角和可知：三角形的外角最少两个钝角

（2）性质 ：

顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线 ； 

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和； 

三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角； 

注：三角形的外角和是 360°。 

注：A+B=C，或者A-B=C等相似形式，均可推出三角形为直角△

A+BC等相似形式，均可推出三角形为钝角△

A+B>C等形式，可以说明C为锐角，但不能因为C为锐角，推出三角形为锐角△！

（3）外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角

9.三角形的四心

 内心——三条角平分线的交点  重心—— 三条中线的交点

外心——三条中垂线的交点    垂心——三条高所在直线的交点

10..多边形：

（1）、定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

（2）多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角

    注： 多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）·180°

（3）多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角

注：多边形外角和等于 n·180°－(n－2)·180°=360°

注：多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°

（4）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线

（5）多边形的分类：分为凸多边形及凹多边形，凸多边形又可称为平面多边形，凹多边形又称空间多边形。多边形还可以分为正多边形和非正多边形。

（6）正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

（7）多边形对角线的条数

从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n边形分成n-2个△

  n边形共有对角线n*（n-3）/2

（8）N边形：如果一个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形。

11.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面

（1） 一种正多边形镶嵌，则此360除以正多边形的内角为整数

（2） 两种正多边形镶嵌，若第一个正多边形内角为X，第二个正多边形内角为Y，则

Xm+Yn=360有正整数解

解此方程的时候，左右两边应该先约分，再用列举法去验证方程是否有正整数解