高考三角函数历年真题汇总以及解析

A.  

C.  

2.已知在△ABC中，，判断△ABC的形状为（ ）.

A. 等腰三角形 直角三角形

C. 等腰或直角三角形 等腰直角三角形

3.已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位后得函数的图象，则函数的图象（ ）

A. 关于直线对称 关于直线对称

C. 关于点对称 关于点对称

4.已知，其中是第一象限角，则（ ）

A.    

5.已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数，则下列判断正确的是（    ）

A. 函数f(x)的最小正周期为

B. 函数f(x)在区间上单调递增

C. 函数f(x)的图象关于直线对称

D. 函数f(x)的图象关于点对称

6.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若，，且，则（    ）

A.     B. 4    C.     D. 5

7.

在△ABC中，，，，则（  ）

A.     B.     C.     D. 

8.

将函数的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，再把所得图象上的所有点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在处取得最大值，则函数的图象（ ）

A 关于点对称 关于点对称

C. 关于直线对称 关于直线对称

9.

当时，函数的最小值为（ ）

A.    

10.

若，则的值为（ ）

A.    

11.

函数的一条对称轴方程为，则（ ）

A. 1    B.     C. 2    D. 3

12.

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，则a=（    ）

A.     B.     C.     D. 

13.

在直角坐标系xOy中，如果相异两点都在函数的图象上，那么称A，B为函数的一对关于原点成中心对称的点对(A，B与B，A为同一对).函数图象上关于原点成中心对称的点对有（    ）

A. 1对    B. 2对    C. 3对    D. 4对

14.

将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若为奇函数，则m的最小值为_______．

15.

给出下列四个命题正确的是______________：

①函数在区间上存在零点；

②将函数的图象的横坐标变为原来的倍得到函数；

③若，则函数的值域为；

④“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件；

16.

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则△ABC的形状为_____________.

17.

正弦型函数（，，）的图象如图所示，则的解析式为_______________.

18.

用表示函数在闭区间上的最大值，若正数满足，则________；的取值范围为________．

19.

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则________．

20.

△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA＝acosB+asinB．

（1）求B；

（2）设b＝2，a＝4，D为线段BC上一点，若S△ABD＝，求AD的长．

21.

已知函数

（1）求它的单调递增区间；

（2）若，求此函数的值域.

22.

在△ABC中，角A、B、C  所对的边分别为a、b、c，且．

（1）求角C的大小；

（2）若，△ABC的面积为，求及的值．

23.

已知函数（）的最小正周期为.

（1）求的值和函数f(x)的单调增区间；

（2）求函数f(x)在区间上的取值范围.

24.

已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.

（1）求；

（2）若，求的取值范围.

25.

已知函数（）.

（1）求函数的最小正周期及在区间上的单调区间；

（2）若，，求的值.

26.

已知a，b，c分别为说角△ABC三个内角A，B，C的对边，满足

（1）求A；

（2）若b=2，求△ABC面积的取值范围.

27.

已知函数满足下列3个条件中的2个条件：①函数f(x)的周期为π；②是函数f(x)的对称轴；③且在区间上单调；

（Ⅰ）请指出这二个条件并说明理由，求出函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）若，求函数f(x)的最值.

试卷答案

1.B

【详解】由条件可知，

．又，

所以，即.

故选：B．

2.C

【分析】

左边切化弦，右边用正弦定理化边为角可解

【详解】，

，

或

或

是等腰或直角三角形

故选：C．

3.D

由题意得，故，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵，，

∴选项A,B不正确．

又，

，

∴选项C,不正确，选项D正确．选D．

4.C

【分析】

由二倍角公式和平方关系可得，再由商数关系即可得解.

【详解】因为，所以，

所以，

又是第一象限角，所以，

所以即.

故选：C.

【点睛】本题考查了二倍角公式及同角三角函数关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

5.B

图像相邻两条对称轴之间的距离为，即三角函数的周期为,所以,又是偶函数，,即,又,解得,所以.A项,最小正周期,错误;B项, 由,解得单调递增区间为,k=1时成立,故正确;;C项, ,解得对称轴是,错误;D项, 由,解得对称中心是,错误;综上所述,应选B.

6.B

【分析】

由三角函数的基本关系式和，求得，再由正弦定理，得到，根据余弦定理，列出方程，即可求解.

【详解】因，则，所以，

又因为，即，解得，

又由，根据正弦定理，可得，

由余弦定理，可得，整理得，即.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档题．

7.C

试题分析：由余弦定理得.由正弦定理得，解得.

考点：解三角形.

8.C

【分析】

根据函数的图象变换规律，得到，函数在处取得最大值，求得，再求函数的对称轴和对称中心即可．

【详解】由题意得，，

由函数在处取得最大值，得，

∴，，，，

∵，∴，

∴，

由，，得，，

∴函数的图象关于，对称，

故A，B选项错误；

由，，得，，

∴函数的图象的对称轴方程为，，

显然当时，函数的图象的对称轴为直线，

故选：C．

【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，三角函数的最值，三角函数图象的对称性等，考查的数学核心素养是数算、直观想象．

9.B

【分析】

由二倍角公式降幂，然后由两角和的正弦公式化简函数为一个角一个三角函数形式，再利用正弦函数性质可得最小值．

【详解】，

当时，，

所以，即时，．

故选：B．

【点睛】本题考查求正弦型函数的最值，解题关键是利用二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式．

10.A

【分析】

根据，将，利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化为求解.

【详解】因为，

所以．

故选：A

【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.

11.

B

【详解】试题分析：的对称轴是化简得

考点：三角函数性质

点评：利用对称轴处取最值求解

12.C

【分析】

先求得，然后利用正弦定理求得.

【详解】因为，所以，所以.

故选：C

【答案】

13.C

【分析】

作出函数，作出关于原点的对称图像，由图象交点个数即可得到结论.

【详解】若图象上有关于原点成中心对称的点，

则与关于原点对称图像有交点，

作出，图象如图，

由图象可知，有3个交点，从而有3对关于原点对称的点.

故选：C

【点睛】本题主要考查了对数函数、正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，属于中档题.

14.

【分析】

利用图象变换求得函数的解析式，由函数为奇函数，可得出关于的代数式，进而可求得正数的最小值.

【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），

得到函数的图象，

再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到的图象，

由于函数为奇函数，则，，

当时，正数取得最小值.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数的奇偶性求参数，考查计算能力，属于中等题.

15.

①③④

【分析】

根据零点存在定理，三角函数图象变换，对数函数的性质，充分不必要条件的定义判断各选项．

【详解】①，，，由零点存在定理得在上有零点，①正确；

②函数的图象的横坐标变为原来的得到函数，②错误；

③时，，故函数值域为，③正确；

④是奇函数，则，，，因此“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，④正确．

故答案为：①③④

【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握零点存在定理，三角函数图象变换，对数函数的性质，充分不必要条件的定义是解题基础．

16.

直角三角形

【分析】

利用正弦定理边角互化思想求得的值，可求得角的值，进而可判断出的形状.

【详解】，由正弦定理得，

即，

，则，，，.

因此，为直角三角形.

故答案为：直角三角形.

【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状，考查计算能力，属于基础题.

17.

【分析】

由最值求得，由周期求得，由最高点或零点横坐标及的范围求得，得解析式．

【详解】由题意，，∴，

由正弦函数性质得，，，∵，∴．

∴．

故答案为：

【点睛】本题考查求三角函数的解析式，掌握“五点法”作正弦函数的图象是解题关键．

18.

1； 

【分析】

根据三角函数的有界性易得，通过作图分析可得的取值范围.

【详解】作出函数的图象，如图所示：

显然，的最大值为1，

，的最大值为，

作出直线与相交于三点，且，

由图形可得：，

故答案为：.

【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意结合图象进行分析求解.

19.

【分析】

根据正弦定理将角化成边得，结合，将边统一用表示，再利用余弦定理，即可得答案；

【详解】，

又，，

，

故答案为：.

【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将边统一用进行表示，进而求得角的余弦值.

20.

（1）；（2）.

【分析】

（1）根据2bsinA＝acosB+asinB,利用正弦定理得到,再根据求解.

（2）在△ABC中，利用余弦定理求得c，再由S△ABD＝，求得BD，然后 在△ABD中，由余弦定理求解.

【详解】（1）因为2bsinA＝acosB+asinB,

所以,

,

（2）在△ABC中，由余弦定理得：

， 

解得或（舍去），

因为S△ABD＝，

解得 ，

在△ABD中，由余弦定理得：，

解得.

【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21.

（1）（）；（2）.

【分析】

（1）化简，再根据正弦函数的单调增区间代入求解即可．

（2）根据（1）的结果，再根据求出的范围结合的值域为，即可求出结果．

【详解】（1）

由，

得，.

故此函数的单调递增区间为（）.

（2）由，得.

的值域为.

的值域为，

故此函数的值域为

【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，常考三角函数的性质有：对称轴、单调性、最值、对称中心．属于中档题．

22.

（1）；（2）.

【分析】

（1）由三角恒等变形可得，，即．

（2）由余弦定理得，再由正弦定理及三角形面积公式可得：，即，得解.

【详解】解：（1），可得：，

， ，，

．

（2），

，

，

，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了三角恒等变形及正余弦定理，属中档题.

23.

（1）；单调增区间为，；（2）.

【分析】

（1）先将函数解析式整理，得到，根据最小正周期，即可求出，由正弦函数的单调性，列出不等式求解，即可得出单调增区间；

（2）先由，得到，根据正弦函数的性质，即可求出结果.

【详解】（1）

，

∵函数的最小正周期为，

∴；

∴，

由，得，

∴函数的单调增区间为，.

（2）由得，

所以，

则.

即的取值范围为.

【点睛】本题主要考查由正弦型函数的周期求参数，考查求正弦型函数的单调区间，考查求正弦型函数在给定区间的值域，属于常考题型.

24.

（1）；（2）

【分析】

（1）利用余弦定理将角转化为边，再利用余弦定理求得结果；

（2）由已知结合正弦定理将边转化角，再利用三角形内角和定理、辅助角公式转化为求的取值范围.

【详解】（1）由，可得，

整理得，

所以.

（2）由（1）得，,，,

，，

由正弦定理得，

∴

，

∵,∴，，

，∴

∴的取值范围是.

【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.

25.

（1）最小正周期是，增区间是，减区间是；（2）．

【分析】

（1）应用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求解；

（2）由（1）求得，再求出，然后用两角差的余弦公式求解．

【详解】（1），

所以最小正周期为，

时，，由，得，

由得，

所以的增区间是，减区间是；

（2）由（1）得，即，

因为，所以，所以，

所以

【点睛】本题考查求三角函数的周期与单调区间，考查两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式，同角间的三角函数关系．解题关键是把三角函数化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解．

26.

（1）；（2）

【分析】

（1）利用正弦定理的边角互化可得，再利用余弦定理即可求解.

（2）利用正弦定理可得，再利用三角形的面积公式可得，根据三角形的内角和性质以及两角差的正弦公式可将式子化为，结合的取值范围即可求解.

【详解】解：（1）由已知及正弦定理得，   

由余弦定理可得         

又，

（2） 由已知及正弦定理得，                   

由得    

是锐角三角形，得得 

，

所以面积的取值范围是

【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形、三角形的面积公式、两角差的正弦公式，属于中档题.

27.

（Ⅰ）①②成立，理由见解析，；（Ⅱ）f(x)的最大值为1；最小值为.

【分析】

（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.

（Ⅱ）得到，得到函数值域，即可得出最值.

【详解】（Ⅰ）由①可得，.    

由②得：，

由③得，，

若①②成立，则，，. 

若①③成立，则，，不合题意.    

若②③成立，则，与③中的矛盾，所以②③不成立. 

所以，只有①②成立，. 

（Ⅱ）由题意得，.    

所以，当时，函数取得最大值1；

当或时，函数取得最小值.