2010年高考理科数学新课标全国卷 逐题解析

理科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合}, ,则

A．(0,2)         B．[0,2]        C．{0,2]         D．{0,1,2}

D【解析】，

，故．应选D．

2．已知复数，是z的共轭复数，则=

A．         B．         C． 1        D．2

A【解析】

．应选A．

另解：由可得．

3．曲线在点处的切线方程为

A．       B．  C．    D． 

A【解析】由可得，，应选A．

4．如图，质点在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为1，那么点到轴距离关于时间的函数图像大致为

A              B                  C              D

C【解析】通过分析可知当时，点到轴距离为，于是可以排除答案A,D，再根据当时，可知点在轴上此时点到轴距离为0，排除答案B，应选C．

5．已知命题

：函数在R为增函数，

：函数在R为减函数，

则在命题：，：，：和：中，真命题是

A．，     B．，     C．，      D．， 

C【解析】：函数在R为增函数为真命题，而函数为偶函数，则在R不可能为减函数，：函数在R为减函数为假命题，则为假命题，为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C．

6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为

A．100          B．200        C．300          D．400

B【解析】由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数服从二项分布，即,而，则．应选B．

7．如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于

A．          B．      C．          D． 

D【解析】根据框图所体现的算法可知此算法为求和：

，

，应选D．

8．设偶函数满足，则

A．       B． 

C．        D． 

B【解析】当时，则，由偶函数满足可得，

，则=，

，

令，可解得．应选B．

另解：由偶函数满足可得，

则，要使，

只需，解得．应选B．

9．若，是第三象限的角，则

A．    B．         C．2        D． 

A【解析】由，是第三象限的角可得．

，应选A．

另解：由，是第三象限的角可得．

，．

10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

A．    B．        C．        D． 

B【解析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为的正三棱柱，则其外接球的半径为

，球的表面积为，应选B．

11．已知函数若互不相等，且则的取值范围是

A．         B．        C．         D． 

C【解析】作出函数的图象如图，

不妨设，则

则．应选C．

12．已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为,则的方程式为

A．      B．     C．      D． 

B【解析】由双曲线的中心为原点，是的焦点可设双曲线的方程为

，设，即 

则，则，

故的方程式为．应选B．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组个）区间上的均匀随机数和，由此得到个点，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为      ．

【解析】：由题意可知得，故积分的近似值为．

14．正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）

【解析】正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等．

15．过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为____．

【解析】设圆的方程为，

则

解得，故所求圆的方程为．

16．在△中，为边上一点，， =120°， =2，若△的面积为，则=_______．

【解析】由△ADC的面积为可得

解得,则．

,

则

故．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

设数列满足．

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)令，求数列的前n项和．

【解析】(Ⅰ)由已知，当时，

．

而

所以数列{}的通项公式为．

(Ⅱ)由知

      ①

从而

=  ②

①-②得

()=．

即=．

18．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，垂足为，是四棱锥的高 ，为中点．

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)若，求直线与平面所成角的正弦值．

【解析】以为原点， 分别为轴，线段的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则

(Ⅰ)设 

则,．

可得=,=．

因为，

所以．

(Ⅱ)由已知条件可得

，

，

设为平面的法向量

则，即．

因此可以取，

由，

可得|<>|=，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

19．(本小题12分)

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

性别

(Ⅱ)能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(Ⅲ)根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．

附： 

(Ⅱ)．

由于9．967>6．635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。

(Ⅲ)由(Ⅱ)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．

20．（本小题满分12分）

设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列．

(Ⅰ)求的离心率；

(Ⅱ)设点满足，求的方程．

【解析】(Ⅰ)由椭圆定义知，又，

得．

的方程为，其中．

设，，则A、B两点坐标满足方程组，

化简的．

则．

因为直线AB斜率为1，所以

得故，

所以E的离心率．

(Ⅱ)设AB的中点为，由(I)知

，．

由，得，

即，

得，从而，

故椭圆E的方程为．

21．（本小题满分12分）

设函数．

(Ⅰ)若，求的单调区间；

(Ⅱ)若当时，求的取值范围．

【解析】(Ⅰ)时，，．

当时，；当时，．故在单调减少，在单调增加．

(Ⅱ)，

由(Ⅰ)知，当且仅当时等号成立．故

，

从而当，即时，，而，

于是当时，．

由可得．从而当时，

，

故当时，，而，于是当时，．

综合得的取值范围为．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

(Ⅰ) =；

(Ⅱ) =BE ×CD．

【解析】(Ⅰ)因为,所以．

又因为与圆相切于点，故，

所以．

(Ⅱ)因为,

所以∽，故，

即．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线： 为参数，圆（为参数）．

(Ⅰ)当=时，求与的交点坐标；

(Ⅱ)过坐标原点做的垂线，垂足为、为的中点，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

【解析】(Ⅰ)当时，的普通方程为，的普通方程为

．联立方程组，

解得与的交点为(1,0)，．

(Ⅱ)的普通方程为．

A点坐标为，

故当变化时，P点轨迹的参数方程为：

，P点轨迹的普通方程为．

故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数=．

(Ⅰ)画出函数的图像；

(Ⅱ)若不等式的解集非空，求的取值范围．

【解析】(Ⅰ)由于则函数的图像如图所示．

(Ⅱ)由函数与函数的图像可知，当且仅当或时，函数与函数的图像有交点．故不等式的解集非空时，的取值范围为．