2021年-2022学年高三数学上学期开学摸底考试(含答案)

班级___________ 姓名___________ 分数____________

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数满足，则　　

A．    B．    C．    D．

2．已知集合，集合，则　　

A．    B．    C．，1，2，    D．，2，

3．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是　　

A．    B．    C．    D．

4．设函数，则下列函数中为奇函数的是　　

A．    B．    C．    D．

5．矩形ABCD中，，，点为CD中点，沿AE把折起，点到达点，使得平面平面ABCE，则异面直线AB与PC所成角的余弦值为　　

A．    B．    C．    D．

6．公元2020年年初，肆虐着中国武汉，为了抗击，中国上下众志成城，纷纷驰援武汉．达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为　　

A．30    B．60    C．90    D．180

7．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则　　

A．    B．    C．    D．

8．若，，，则，，的大小关系正确的是　　

A．    B．    C．    D．

9．如图，已知四边形ABCD为正方形，扇形GEF的弧EF与BC相切，点为AD的中点，在正方形ABCD中随机取一点，则该点落在扇形GEF内部的概率为　　

A．    B．    C．    D．

10．在中，角，，的对边分别为，，，，角的平分线交对边AB于，且CD将三角形的面积分成3:4两部分，则　　

A．    B．    C．    D．

11．设是椭圆上的一个动点，定点，则的最大值是　　

A．    B．1    C．3    D．9

12．已知函数．记零点个数为，极大值点个数为，若，则　　

A．    B．    C．    D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中的系数为　　．

14．已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为　　．

15．已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值是　　．

16．在平行四边形中，，，将此平行四边形沿对角线折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积是 　　．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．已知数列满足，．

（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

18．《中华人民共和国民法典》被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法，为了增强学生的法律意识，了解法律知识．某大学为此举行了《中华人民共和国民法典》知识竞赛，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，若把分数不低于90分的成绩称为优秀，整理得到如下列联表：

（Ⅰ）依据的性检验，能否认为该校此专业大一学生的性别与测试成绩有关联；

（Ⅱ）若从获优秀的学生中随机抽取3人进行座谈，记为抽到男生的人数，求随机变量的分布列和数学期望．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作动直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线垂足为，求证：直线过定点．

21．已知为函数的极值点．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，，求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；

（2）设射线与直线交于点，点在曲线上，且，求．

23．已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）设，且当时，，求的取值范围．

2021-2022学年高三数学上学期（理）开学摸底考试卷 

班级___________ 姓名___________ 分数____________

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数满足，则　　

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】因为，

所以，

故．

故选B．

2．已知集合，集合，则　　

A．    B．    C．，1，2，    D．，2，

【答案】D

【解析】集合，

集合，

，2，，

故选D．

3．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是　　

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】对于命题，，

当时，，故命题为真命题，为假命题；

对于命题，，

因为，又函数为单调递增函数，故，

故命题为真命题，为假命题，

所以为真命题，为假命题，为假命题，为假命题，

故选A．

4．设函数，则下列函数中为奇函数的是　　

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】因为，

所以函数的对称中心为，

所以将函数向右平移一个单位，向上平移一个单位，

得到函数，该函数的对称中心为，

故函数为奇函数．

故选B．

5．矩形ABCD中，，，点为CD中点，沿AE把折起，点到达点，使得平面平面ABCE，则异面直线AB与PC所成角的余弦值为　　

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】如右图，因为，异面直线与所成角就是或其补角，

在中，，，

在左图中作，垂足为，则，，

所以，

所以．

故选D．

6．公元2020年年初，肆虐着中国武汉，为了抗击，中国上下众志成城，纷纷驰援武汉．达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为　　

A．30    B．60    C．90    D．180

【答案】A

【解析】根据题意，分2步进行：

①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有种分组方法；

②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有种情况，

则有种不同的安排方法．

故选A．

7．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则　　

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，

再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，

把函数的图像，向左平移个单位长度，

得到的图像；

再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，

可得的图像．

故选B．

8．若，，，则，，的大小关系正确的是　　

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】，即，

，即，

，

故选B．

9．如图，已知四边形ABCD为正方形，扇形GEF的弧EF与BC相切，点为AD的中点，在正方形ABCD中随机取一点，则该点落在扇形GEF内部的概率为　　

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】不妨设正方形的边长为2，则扇形的半径为2，

，

同理，

，

，而正方形的面积，

在正方形中随机取一点，则该点落在扇形内部的概率．

故选A．

10．在中，角，，的对边分别为，，，，角的平分线交对边AB于，且CD将三角形的面积分成3:4两部分，则　　

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】因为为的平分线，由角平分线的性质定理可得，

而，

可得，

在中，由正弦定理可得，

又，可得，

所以，可得，

故选C．

11．设是椭圆上的一个动点，定点，则的最大值是　　

A．    B．1    C．3    D．9

【答案】D

【解析】根据题意，是椭圆即上的一个动点，则，且，

而定点，则，

函数是开口向上的二次函数，其对称轴为，

当时，取得最大值，且其最大值为9，

故选D．

12．已知函数．记零点个数为，极大值点个数为，若，则　　

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】取，，，则，其图象如下，

由图易知，，符合题意，故排除选项，；

取，，，则，

则，

易知函数在，单调递增，

在，单调递减，其图象如下，

由图象易知，，符合题意，故排除选项；

故选B．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中的系数为　　．

【答案】

【解析】由题意令，则，解得．

即；

的通项公式为：，

分别令，，解得，0．

则展开式中的系数是：．

故答案为：

14．已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为　　．

【答案】4

【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线为，

则有，解可得，

则双曲线的方程为，则，

其焦距；

故答案为：4．

15．已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值是　　．

【答案】

【解析】向量与的夹角为，且，，

．

若，且，则，

则实数，

故答案为：．

16．在平行四边形中，，，将此平行四边形沿对角线折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积是 　　．

【答案】

【解析】解：如图，

平面平面，平面平面，，平面，

平面，

平面，

，

同理可证，

在中，，所以，

取中点为，连接，，

由直角三角形的性质可知，，，

又，即到，，，四点的距离相等，

为三棱锥外接球的球心，

，

球的体积，

故答案为：．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．已知数列满足，．

（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）证明：因为，所以，

又，故数列为首项为1，公比为的等比数列．

所以，故．

（2）因为①，

②，

①、②式错位相减得：

化简整理得．

18．《中华人民共和国民法典》被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法，为了增强学生的法律意识，了解法律知识．某大学为此举行了《中华人民共和国民法典》知识竞赛，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，若把分数不低于90分的成绩称为优秀，整理得到如下列联表：

（Ⅰ）依据的性检验，能否认为该校此专业大一学生的性别与测试成绩有关联；

（Ⅱ）若从获优秀的学生中随机抽取3人进行座谈，记为抽到男生的人数，求随机变量的分布列和数学期望．

【答案】（Ⅰ）没有；（Ⅱ）分布列见解析；.

【解析】（Ⅰ）由列联表中的数据，可得，

所以依据的性检验，认为该校此专业大一学生的性别与测试成绩没有关联；

（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3，

则，

，

，

，

所以的分布列为：

19．如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：连结交于点，连结，

在底面中，因为，，

由，可得，

因为，即，

所以在中，，

故，

因为平面，平面，

所以平面；

（2）解：取的中点，连结，

因为，，

所以为等边三角形，则，

因为，则，

因为平面，又，平面，

所以，，

以点为坐标原点，建立空间直角坐标如图所示，

因为，，，，平面，

则平面，

因为，，

所以，

平面的一个法向量为，

因为，，

故，

所以，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，

故，

所以，

故二面角的余弦值．

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作动直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线垂足为，求证：直线过定点．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1），，点为椭圆上一点，

由椭圆定义可得，

，

，

，

椭圆方程为．

（2）证明：设直线的方程为，，，，，，

联立直线与椭圆方程，可得，

运用韦达定理，可得①，②，

，

直线的方程为，即③，

又，

④，

将①、②式代入④式化简得⑤，

⑤代入③化简得直线的方程为，

故直线过定，即得证．

21．已知为函数的极值点．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（Ⅰ），，解得，

经检验，在递减，在递增，为的极小值点，符合题意，因此，．

（Ⅱ），，

设，其中，，，，

在递增，．

（1）当时，即，，在递增，符合题意，所以；

（2）当时，即，，，

在上，，在递减，

所以时，不符合题意；

综上，实数的取值范围为．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；

（2）设射线与直线交于点，点在曲线上，且，求．

【答案】（1）；.（2）2.

【解析】（1）曲线的普通方程，将，代入，

整理得，即为曲线的极坐标方程．

对于直线，，将，代入，

整理得，即为直线的直角坐标方程．

（2）把代入直线的极坐标方程得，

射线的极坐标方程为，即．

把代入曲线的极坐标方程，得，

，为等边三角形，

．

23．已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）设，且当时，，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）函数，，

当时，不等式，即，

设，

当时，，解得，

当时，，解得，

当时，，解得，

综上所述，的解集为．

（2）设，且当时，，，

，即，

，对内恒成立，

，

，解得，

的取值范围为．