2013年全国新课标2卷理数试题及答案详解

一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=        （    ）

    （A）｛0，1，2｝         （B）｛-1，0，1，2｝    （C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}

答案：A

[解析]该题主要考查集合交集运算与不等式的解法，由所以由交集的定义可知

（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z=                                               （    ）

（A）-1+i     （B）-1-i        （C）1+i        （D）1-i

答案：A

[解析]本题主要考查复数的基本运算，由题目中的表达式可得

（3）等比数列｛an｝的前n项和为，已知，，则              （    ）

（A）            （B）          （C）          （D）

答案：C

[解析]本题主要考查等比数列的基本公式的运用，由题中得出，从而就有

，又由

4、已知为异面直线，平面，平面。直线满足，，，，则（     ）

（A）且                    （B）且

（C）与相交，且交线垂直于       （D）与相交，且交线平行于

答案：D

[解析]本题主要考查空间线面关系的判定，若，由题中条件可知，与题中为异面直线矛盾，故A错；若则有，与题设条件矛盾，故B错；由于，则都垂直于的交线，而是两条异面直线，可将m平移至与n相交，此时确定一个平面，则的交线垂直于平面，同理也有，故平行于的交线，D正确C错。

（5）已知的展开式中的系数为5，则=

（A）-4            （B）-3            （C）-2        （D）-1

答案：D

[解析]本题考查二项式展开式中各项系数的确定，因为的展开式中的通项可表示为，从而有中的系数分别为，所以原式中系数为.

（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=

执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（     ）

（A）                

（B）

（C）               

（D）

答案：B

[解析]该题考查程序的输出结果，重点是了解算法中循环结构的功能，的计算结果是，是求和的算法语句，结合以上两点，当时，时结束循环，所以应该选B。

（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为

答案：A

[解析]该题考查三视图与空间坐标系综合应用，由点确定的坐标可以确定该图的直观图如下：

从右到左投影到xoz平面的正投影为A。

（8）设，，则

（A）c＞b＞a    

（B）b＞c＞a    

（C）a＞c＞b      

  (D)a＞b＞c

答案：D

[解析]本题考查对数比较大小的问题，将题中的条件进行变形可知，

，，

又因为，所以有。

（9）已知a＞0，x，y满足约束条件 ,若z=2x+y的最小值为1，则a=

 (A)                 (B)                

 (C)1                (D)2

答案：B

[解析]本题考查线性规划的应用，题目给出的可行域含有参数，由于直线过定点且，所以可行域如图所示。当直线2x+y=z过x=1与y=a(x-3)的交点(1,-2a)时z取得最小值1，所以有，

（10）已知函数，下列结论中错误的是

    （A）

    （B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形

    （C）若是的极小值点，则在区间（-∞,）单调递减

    （D）若是的极值点，则=0

答案：C

[解析]本题主要考查对三次函数图像的理解，该三次函数的大至图像如下图：

当x趋于负无穷大时，函数值为负，当x趋于正无穷大时，函数值为正，而该函数在R是连续的，所以就有，A的说法正确；函数可以由函数经过平移得到，而关于原点对称，故是关于中心对称的图形，B的说法正确；由极值点的定义，D说法正确；由三次函数图像可知，若是的极小值点，则在区间（-∞,）不单调，故C说法错，选C。

（11）设抛物线的焦点为F，点M在C上，|MF|=5若以MF为直径的园过点（0，3），则C的方程为

（A）或          （B）或

 （C）或        （D）或

答案：C

[解析]本题是圆的方程与抛物线的综合性问题，设点M（x,y）,圆心B（a,b）如图，

，从而可以得到B的横坐标,所以可以设圆B的方程为，将点（0，2）代入得，从而可以得到点M的坐标为，代入，故答案选C（注：由于图片不清楚，有人写出该题的题设应该是，无论是哪种不会影响方法的正确性）

（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是

（A）（0，1）       (B)，           ( C)，               (D), 

答案：B

[解析]设直线y=ax+b与直线BC：x+y=1的交点为D(xD,yD),与x轴的交

点为E,由题意可知，要平均分割三角形，则b>0，所以E点只能处于x轴

负半轴，当E在A点与原点之间时，如图可得△DEB的面积为，联立

直线y=ax+b与线BC：x+y=1得，yD=，所以有整理得

。

当E与A点重合时，直线y=ax+b想平分△ABC的面积，必须过B、C的中点，如下图此时可确定直线y=ax+b的方程为，此时。

当E点处于A点左侧时，如图

此时若直线y=ax+b想平分△ABC的面积，则，，且三角形CDF面积为，联立直线y=ax+b与线BC：x+y=1得，联立直线y=ax+b与线BC：x+y=1得，所以有

         ，解得

综上所述，故答案选B

二、填空题

（13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=_______.

答案：2

[解析]如图建立平面直角坐标系

从而有，所以

（14）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n=________.

答案：8

[解析]本题考查古典概率的计算，由题可知所有基本事件总数为，选出来的正整数要求和为5，则只能是1+4＝5和2+3＝5两种情况，所以有。

（15）设θ为第二象限角，若tan=，则sinθ+cosθ=_________.

答案： 

[解析]本题考查同角三角函数基本关系与三角形恒等变换的问题，由得，又因为为第二象限角，利用可求得

所以有

（16）等差数列的前n项和为Sn ，已知，则的最小值为________.

答案： 

[解析]本题考查等差数列与导数的综合问题，由，联立后就可以解得，则令，求导后可得，因为，故当时单调递减，当时，单调递增，所以当时取得最小值，又因为n为整数，所以当n=6或n=7时取最小，，，故最小值为

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值。

解析：本题考查正、余弦定理的应用，解题过程如下：

(1)因为   a=bcosC+csinB 

所以   sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB

       sinBcosC+cosBsinC= sinBcosC+sinCsinB

因为sinC>0,所以有

       cosB=sinB

从而有

        B=45 º

(2)由余弦定理可知： 

所以有

     ，当且仅当取等号

故面△ABC面积的最大值为。

如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，。

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值。

证明：（1）连接AC1交A1C于点F，则F平分AC1

又因为D为AB的中点，所以有

           FD//BC1

           FD面A1CD

          BC1面A1CD

所以       BC1//平面A1CD

2、因为AC=CB=/2AB，从而有

    AC2+CB2=AB2

所以   ACCB

如图建立空间直角坐标系，设AC＝1

则各点坐标为C（0，0，0）

A1（1，0，1），D（1/2,1/2，0）,B（0，1，0）

E（0，1，1/2）

则

设平面A1CD和平面A1CE的法向量分别为则

解得：， 

则二面角D-A1C-E的正弦值为。

（19）（本小题满分12分）

    经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每亏损元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了该农产品。以（单位：，）表示市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。

（Ⅰ）将表示为的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于元的概率；

（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取，且的概率等于需求量落入的的数学期望。

解析：（1）当时，

      当时，

      所以T与X的函数关系式为

（2）当时，即时，概率P=0.7

（3）X可能的取值为：

（20）(本小题满分12分)

平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为。

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形的最大值。

解析：（1）设将A、B代入得到

     ，则（1）-（2）得到，

由直线AB：的斜率k=-1

所以，OP的斜率为，所以

由得到

所以M得标准方程为

（1）若四边形的对角线，由面积公式可知，当CD最长时四边形面积最大，由直线AB：的斜率k=-1，设CD直线方程为，与椭圆方程联立得：

             ， 

          则，当m=0时CD最大值为4，

联立直线AB：与椭圆方程得

同理利用弦长公式

。

（21）（本小题满分12分）

已知函数。

（Ⅰ）设是的极值点，求，并讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明。

A. 

     X=0是极值点

即： 

   （x>-1）

当

X=0处取的极小值

B. 恒成立，即当m≤2时，恒成立。

   令： 

即g（m）>0在上恒成立

易知，g（m）单调递减   即 g（2）>0

即：恒成立

令 

易知单调递增，设其零点为x0，且x0>—2

且

即恒成立