等差数列基础知识

知识梳理

1.定义：                          

2．等差数列通项公式：

    =             =               =             。 从而；

3．等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：A=         或2A=         

（2）等差中项：数列是等差数列                            

4．等差数列的前n项和公式：=             =               =             。 

（其中A、B是常数）      （当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

5．等差数列的判定方法 

（1）定义法：若                    是等差数列． 

（2）等差中项：数列是等差数列                   

（3）数列是等差数列             （其中是常数）。

（4）数列是等差数列             ,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法 

定义法：若或(常数) 是等差数列．

7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）通常把题中条件转化成只含和的等式！

8.等差数列的性质：

（1）若公差，则为     等差数列，若公差，则为    等差数列，若公差，则为   数列。

（2）当时,则有             ，特别地，当时，则有             .

(3) 若{}是等差数列，则 ，…也成等差数列 （公差为md ）

图示：

（4）若等差数列、的前和分别为、，且，则=              

（5）若、为等差数列，则为等差数列

(6)求的最值

法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为

法二：①“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和

即当 由可得达到最大值时的值．

②“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

即 当 由可得达到最小值时的值．或求中正负分界项

（7）设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项的和，是前n项的和，则：

1.当项数为偶数时，            ，其中n为总项数的一半，d为公差；

2、在等差数列中，若共有奇数项项，则