平面向量经典习题含解答

1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ等于(　　)

A．－2　　　　　　　　　    B．－

C．－1      D．－

2.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为(　　)

A.　　　　　　　　    B．2

C．－2      D．－

3.已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)，若a＋2b与c垂直，则k＝(　　)

A．－1      B．－

C．－3      D．1

4.若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－2,4)，则用a，b表示c为(　　)

A．－a＋3b      B．a－3b

C．3a－b      D．－3a＋b

[解析]　设c＝λa＋μb，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，

∴，∴

5.若·＋2＝0，则△ABC必定是(　　)

A．锐角三角形      B．直角三角形

C．钝角三角形      D．等腰直角三角形

[解析]　·＋2＝·(＋)＝·＝0，∴⊥，

∴AB⊥AC．

6.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为(　　)

A．150°      B．120°

C．60°      D．30°

[解析]　∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，

7.若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　)

A．19      B．14

C．－18      D．－19

[解析]　据已知得cosB＝＝

8.若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为(　　)

A．12      B．2

C．3      D．6

[解析]9x＋3y＝32x＋3y≥2

9.如图所示，点P是函数y＝2sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0)的图象的最高点，M，N是该图象与x轴的交点，若·＝0，则ω的值为(　　)

A.      B. 

C．4      D．8

10.在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足＝2，则·等于(　　)

A．2　　　　    B．3　　　　

C．4　　　　    D．6

[解析]　·＝(＋)·＝(＋)·

11.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则·＝________.

[解析]　∴·＝·(＋)＝·＋·

12.已知向量a＝(3,4)，b＝(－2,1)，则a在b方向上的投影等于________．

[解析]　a在b方向上的投影为＝＝－.

13.已知向量a与b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝4，若(2a＋λb)⊥a，则实数λ＝________.

14.已知：||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n (m，n∈R＋)，则＝________.

[解析]　设m＝，n＝，则＝＋，

∵∠AOC＝30°，∴||·cos30°＝||＝m||＝m，||·sin30°＝||＝n||＝n，

15.设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．

[解析]　∴·＝(－2i＋j)·(4i＋3j)＝－5，又·＝||·||·cos〈，〉＝5cos〈，〉，∴S△OAB＝||·||·sin〈，〉

16.三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，能得出三角形ABC一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)

①sinA＋cosA＝　②·<0　③b＝3，c＝3，B＝30°　④tanA＋tanB＋tanC>0.

[解析]　若A为锐角，则sinA＋cosA>1，∵sinA＋cosA＝，∴A为钝角，∵·<0，∴·>0，∴∠B为锐角，由∠B为锐角得不出△ABC为锐角三角形；由正弦定理＝得，＝，∴sinC＝，∴C＝60°或120°，∵c·sinB＝，3<<3，∴△ABC有两解，故①②③都不能得出△ABC为锐角三角形．④由tanA＋tanB＋tanC＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanC＝－tanC(1－tanAtanB)＋tanC＝tanAtanBtanC>0，及A、B、C∈(0，π)，A＋B＋C＝π知A、B、C均为锐角，∴△ABC为锐角三角形．