分段函数的几种常见题型及解法

【关键词】 分段函数; 定义域; 值域或最值; 函数值; 解析式; 图像; 反函数; 奇偶性; 方程; 不等式. 

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,  有不同的对应法则的函数,  它是一个函数,  却又常常被学生误认为是几个函数;  它的定义域是各段函数定义域的并集,  其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用,  时常在高考试题中“闪亮”登场,  笔者就几种具体的题型做了一些思考,  解析如下：

1．求分段函数的定义域和值域

例1．求函数的定义域、值域. 

【解析】

作图,  利用“数形结合”易知的定义域为,  值域为. 

2．求分段函数的函数值

例2．（05年浙江理）已知函数求. 

【解析】

因为,  所以. 

3．求分段函数的最值

例3．求函数的最大值. 

【解析】当时,  ,  当时,  ,  当时,  ,  综上有. 

4．求分段函数的解析式

例4．在同一平面直角坐标系中,  函数和的图象关于直线对称,  现将的图象沿轴向左平移2个单位,  再沿轴向上平移1个单位,  所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,  则函数的表达式为（  ）

【解析】

当时,  ,  将其图象沿轴向右平移2个单位,  再沿轴向下平移1个单位,  得解析式为,  所以,  当时,  ,  将其图象沿轴向右平移2个单位,  再沿轴向下平移1个单位,  得解析式,  所以,  综上可得,  故选A. 

5．作分段函数的图像

例5．函数的图像大致是（  ）

6．求分段函数得反函数

例6已知是定义在上的奇函数,  且当时,  ,  设得反函数为,  求的表达式. 

【解析】

设,  则,  所以,  又因为是定义在上的奇函数,  所以,  且,  所以,  因此

,  从而可得. 

7．判断分段函数的奇偶性

例7．判断函数的奇偶性. 

【解析】

当时,  ,  ,  当时,  ,  当,  ,  因此,  对于任意都有,  所以为偶函数. 

8．判断分段函数的单调性

例8．判断函数的单调性. 

【解析】

显然连续. 当时,  恒成立,  所以是单调递增函数,  当时,  恒成立,  也是单调递增函数,  所以在上是单调递增函数;  或画图易知在上是单调递增函数. 

例9．写出函数的单调减区间. 

【解析】,  画图易知单调减区间为. 

9．解分段函数的方程

例10．（01年上海）设函数,  则满足方程的的值为          

【解析】

若,  则,  得,  所以（舍去）,  若,  则,  解得,  所以即为所求. 

10．解分段函数的不等式

例11．设函数,  若,  则得取值范围是（   ）

【解析1】

首先画出和的大致图像,  易知时,  所对应的的取值范围是. 

【解析2】

因为,  当时,  ,  解得,  当时,  ,  解得,  综上的取值范围是. 故选D. 

例12．设函数,  则使得的自变量的取值范围为（  ）

A．           B.    

C.            D. 

【解析】

当时, ,  所以,  当时,  ,  所以,  综上所述,  或,  故选A项. 

【点评：】 

以上分段函数性质的考查中,  不难得到一种解题的重要途径,  若能画出其大致图像,  定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,  使问题得到大大简化,  效果明显.