2.1《数列的概念与简单表示法》导学案(人教A版必修5)

【学习目标】

1. 理解数列的概念；

2. 掌握数列简单的几种表示方法；

3. 了解数列是一种特殊的函数.

【学习新课】

 1.战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：

一尺之棰 日取其半 万世不竭.

2. 某地9月1日至9月8日的日最高气温

3.我国在1988年汉城以后奥运会上的金牌数：

4.  的1次幂，2次幂，3次幂，…排列成一列数.

新授课阶段

从上面的三个例子我们得到了如下四列数：

1.

2.   23,  21, 18, 20, 20, 22, 21, 19

3.  5,  16,  16,  28,  32,  51,38

4.   

请观察以上四组数据，找到它们的共同特征？

答案：                                          .

1．数列的概念：

按照一定       排列着的一列数叫做数列，其中构成该组数的每一个数叫做            ，数列中的每一个数，我们以后把其称为数列的项，各项依次叫做数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….那么，数列一般可表示为a1，a2，a3，…，an，….其中数列的第n项用an来表示.数列还可简记作{an}.数列{an}的第n项an与项数n有一定的关系吗？

2.数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的          .

数列与数的集合都是具有某种共同属性的数的全体.

{an}与an又有何区别和联系？

{an}表示数列；an表示数列的项.具体地说，{an}表示数列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而an只表示这个数列的第n项.其中n表示项的位置序号，如：a1，a2，a3，an分别表示数列的第1项，第2项，第3项及第n项.

数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？

从映射、函数的观点来看，数列也可看作是一个定义域为正整数集N*(或它们的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.

例1  数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式为                            （    ）

A.an＝1＋(－1)n－1                                    B.an＝1＋(－1)n

C.an＝1＋(－1)n+1                                    D.an＝2sin

解析：

3.递推公式

递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前n项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的         .

说明：数列的递推公式揭示了数列的任一项an与它的前一项an－1（或前n项）的关系，也是给出数列的一种重要方法.

下面，我们结合例子来体会一下数列的递推公式.

例2  已知数列{an}的第1项是1，以后的各项由公式an＝1＋给出，写出这个数列的前5项.

分析：

解：

例3 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝3an－1＋an－2(n≥3)，试写出数列的前4项.

解：

例4  写出下面数列{an}的前5项.

⑴a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)

⑵a1＝2，an＝2an－1(n≥2)

⑶.a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)

解：

课堂小结

这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解.另外，还要注意它与通项公式的区别在于：

1.                               

2.                                       

作业

课后作业

课本P32习题  4，5，6

拓展提升

1．把自然数的前五个数①排成1，2，3，4，5；②排成5，4，3，2，1；③排成3，1，4，2，5；④排成2，3，1，4，5，那么可以叫做数列的有           个

A.1             B.2                   C.3                  D.4

2．已知数列的{an}的前四项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列{an}的通项公式的个数有  （    ）     

①an＝[1＋（－1）n+1]；

②an＝sin2；(注n为奇数时，sin2＝1；n为偶数时，sin2＝0.)；

③an＝[1＋(－1)n+1]＋(n－1)(n－2)；

④an＝，(n∈N*)(注：n为奇数时，cosnπ＝－1，n为偶数时，cosnπ＝1)；

⑤an＝

A.1个                 B.2个                C.3个                  D.4个

3．数列－1，，－，，…的一个通项公式an是                         （    ）

A.(－1)n                                   B.(－1)n

C.(－1)n                            D.(－1)n

4．数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式为                            （    ）

A.an＝1＋(－1)n－1                                    B.an＝1＋(－1)n

C.an＝1＋(－1)n+1                                    D.an＝2sin

5．以下四个数中是数列{n(n＋1)}中的一项的是                                （    ）

A.17                        B.32                C.39                D.380

6．数列2，5，11，20，x，47，……中的x等于                               （    ）

A.28                        B.32                C.33                 D.27

7．数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式是                       .

8．求数列，，，…的通项公式.

9．根据下列各数列的首项和递推公式，分别写出它的前五项，并归纳出通项公式：

（1）a1＝0，an+1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an+1＝(n∈N*)

10．若a1＝2，a2＝4，an＝log2(an－1·an－2)(n≥3)，写出{an}的前4项.

11．若a1＝3，an＝an－1＋(n≥2)，bn＝，写出bn的前3项.

参

新授课阶段

都是一列数，都是按照一定顺序.

1．数列的概念：

顺序；数列的项，

2.数列的通项公式

通项公式.

例1．解析：根据数列的特征，可以得到该数列的一个通项公式为.

答案：B 

3.递推公式

递推公式

例2分析：题中已给出{an}的第1项即a1＝1，递推公式：an＝1＋

解：据题意可知：a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝.

例3

解：由已知得a1＝1，a2＝2，a3＝3a2＋a1＝7，a4＝3a3＋a2＝23

例4解：⑴

解法一：a1＝5；a2＝a1＋3＝8；

a3＝a2＋3＝11；a4＝a3＋3＝14；

a5＝a4＋3＝17.

解法二：由an＝an－1＋3(n≥2)，得an－an－1＝3

则a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，a5－a4＝3，……，an－1－an－2＝3，an－an－1＝3

将上述n－1个式子左右两边分别相加，便可得an－a1＝3(n－1)，即an＝3n＋2(n≥2)

又由a1＝5满足上式，

∴an＝3n＋2(n≥1)为此数列的通项公式.

⑵ 解法一：由a1＝2与an＝2an－1(n≥2)

得：a1＝2，a2＝2a1＝4，a3＝2a2＝8，a4＝2a3＝16，a5＝2a4＝32.

解法二：由an＝2an－1(n≥2)，得＝2(n≥2)，且a1＝2

则：＝2，＝2，＝2，……＝2，＝2

若将上述n－1个式子左右两边分别相乘，便可得＝2n－1

即：an＝2n(n≥2)，又由a1＝2满足上式

∴an＝2n(n≥1)为此数列的通项公式.

∴a2＝22＝4，a3＝23＝8，a4＝24＝16，a5＝25＝32.

⑶ 解：由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2),

得a1＝1，a2＝a1＋＝2,

a3＝a2＋＝,

a4＝a3＋＝＋＝,

a5＝a4＋＝＋＝

课堂小结

这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解.另外，还要注意它与通项公式的区别在于：

1.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.

2.对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可依次求出其他的项.

拓展提升

1．D【解析】数列的定义中所说的“一定次序”不是要求按自然数次序，所以①②③④这四种排法都可叫做数列. 

2．C【解析】对于③，将n＝3代入，a3＝3≠1，故③不是{an}的通项公式；由三角公式知；②和④实质上是一样的，不难验证，它们是已知数列1，0，1，0的通项公式；对于⑤，易看出，它不是数列{an}的通项公式；①显然是数列{an}的通项公式.综上可知，数列{an}的通项公式有三个，即有三种表示形式. 

3．D  

4．B    

5．D

6．B【解析】∵5＝2＋3×1，11＝5＋3×2，20＝11＋3×3，∴x＝20＋3×4＝32.【点评】用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律、观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项数之间的关系、规律，这类问题就是要观察各项与项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列、自然数的前n项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列，…），建立合理的联想、转换而达到问题的解决.

7．an＝1＋[1＋（－1）n].

8．分析：可通过观察、分析直接写出其通项公式，也可利用待定系数法求通项公式.解：通过观察与分析，不难写出其三个分数中分母5，15，35，…的一个通项公式10·2n－1－5.故所求数列的通项公式为：an＝.

9．解：（1）a1＝0；a2＝a1＋1＝1；a3＝a2＋3＝4；a4＝a3＋5＝9；a5＝a4＋7＝16；a1＝02；a2＝12；a3＝22；a4＝32；a5＝42.可归纳出an＝(n－1)2.(2)a1＝1，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝，a1＝1＝；a2＝；a3＝＝；a4＝；a5＝＝；由此可见：an＝.【评述】适当配凑是本题进行归纳的前提，从整体上把握一件事情是现代数学的重要手段，加强类比是探索某些规律的常用方法之一.

10． 解：∵a1＝2，a2＝4，an＝log2(an－1·an－2)(n≥3)

∴a3＝log2(a2·a1)＝log2(2×4)＝3，a4＝log2(a3·a2)＝log212＝2＋log23.

11． 解：∵a1＝3，an＝an－1＋(n≥2)，  ∴a2＝a1＋＝3＋＝.

a3＝a2＋＝＋＝＋＝.

∵bn＝,   ∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝.