全等三角形单元测试卷(含答案解析)

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．

【答案】5

【解析】

【分析】

作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论．

【详解】

如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值．

∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）．

∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH==5．

∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5．

故答案为5．

【点睛】

本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．

2．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______

【答案】110°、125°、140°

【解析】

【分析】

先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则

∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.

【详解】

解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，

则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，

∴b﹣d=10°，

∴（60°﹣a）﹣d=10°，

∴a+d=50°，

即∠DAO=50°，

分三种情况讨论：

①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，

∴190°﹣α=α﹣60°，

∴α=125°；

②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，

∴α﹣60°=50°，

∴α=110°；

③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，

∴190°﹣α=50°，

∴α=140°；

所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形，

故答案为：110°、125°、140°.

【点睛】

本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.

∠内任意一点，OP=5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线3．如图，点P是AOB

OB上的动点，PN PM MN

++的最小值是5 cm，则AOB

∠的度数是__________．

【答案】30°

【解析】

试题解析：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，

分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：

∵点P 关于OA 的对称点为D ，关于OB 的对称点为C ，

∴PM=DM ，OP=OD ，∠DOA=∠POA ；

∵点P 关于OB 的对称点为C ，

∴PN=CN ，OP=OC ，∠COB=∠POB ，

∴OC=OP=OD ，∠AOB=12

∠COD ， ∵PN+PM+MN 的最小值是5cm ，

∴PM+PN+MN=5，

∴DM+CN+MN=5，

即CD=5=OP ，

∴OC=OD=CD ， 即△OCD 是等边三角形，

∴∠COD=60°，

∴∠AOB=30°．

4．如图，1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =，…，当2n ≥，70A ∠=︒时，11n n n A A B --∠=__________．

【答案】1702n -︒ 【解析】 【分析】 先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠，232B A A ∠及343B A A ∠的度数，再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数．

【详解】

解：∵在1ABA ∆中，70A ∠=︒，1AB A B =

∴170BA A A ∠==︒∠

∵1112A A A B =，1BA A ∠是121A A B ∆的外角

∴12111211703522B A A A B A BA A ︒∠=∠==

=︒∠ 同理可得，2321217017.542B A A BA A ︒∠=

==︒∠，343131708.7582B A A BA A ︒∠===︒∠ ∴111702n n n n A A B ---︒∠=

． 故答案为：

1

702n -︒ 【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据特殊情况找出规律是解题关键．

5．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm ，则三角形的面积为__________

【答案】4

【解析】

如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰长是4cm ，可求得BD=

12AB =4×12=2，因此此三角形的面积为：S=12AC•BD=12×4×2=8×12

=4（cm 2）．

故答案是：4．

6．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，

,82,38BD BC BAC DBC =∠=︒∠=︒，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．

【答案】30°

【解析】

【分析】

先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数，然后作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DB ，∠BEA =∠BDA ，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC ，从而可证△EBC 是等边三角形，可得∠BEC =60°，EB=EC ，进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ，可得∠BEA 的度数，问题即得解决．

【详解】

解：∵AB AC =，82BAC ∠=︒，∴180492

BAC ABC ︒-∠∠==︒， ∵38DBC ∠=︒，∴493811ABD ∠=︒-︒=︒，

作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DBA =11°，∠BEA =∠BDA ，

∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，

∵BD=BC ，∴BE=BC ，∴△EBC 是等边三角形，∴∠BEC =60°，EB=EC ，

又∵AB=AC ，EA=EA ，

∴△AEB ≌△AEC （SSS ），∴∠BEA =∠CEA =

1302

BEC ∠=︒， ∴∠ADB =30°．

本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．

7．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是__．

【答案】22

【解析】

【分析】

等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；

【详解】

解：因为4+4=8<9，0<4<9+9=18，

∴腰的不应为4，而应为9，

∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.

故答案为22.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.

8．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，按此做法继续下去，第2019个等腰三角形的底角度数是

______________．

【答案】

2018

1

80 2

⎛⎫

⨯ ⎪

⎝⎭

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性

质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第2019个三角形中以A2019为顶点的内角度数．

【详解】

解：∵在△CBA1中，∠B=20°，A1B=CB，

∴∠BA1C=

°

180-

2

B

=80°，

∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，

∴∠DA2A1=1

2

∠BA1C=

1

2

×80°；

同理可得∠EA3A2=（1

2

）2×80°，∠FA4A3=（

1

2

）3×80°，

∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（1

2

）n-1×80°．

∴第2017个三角形中以A2019为顶点的底角度数是（1

2

）2018×80°，

故答案为：（1

2

）2018×80°．

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．

9．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．

【答案】8

【解析】

试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD，然后根据△BDC的周长为

BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8.

故答案为8.

点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解.

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在

AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B′F 的长为_________ 【答案】8

5

【解析】

【分析】 首先根据折叠可得CD=AC=6，B′C=BC=8，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B′CF ，CE ⊥AB ，然后求得△ECF 是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=4.8，由勾股定理求出AE ，得出BF 的长，即 B′F 的长．

【详解】

解：根据折叠的性质可知：DE=AE ，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B′CF ，CE ⊥AB ，B′F=BF ，

∴B′D=8-6=2，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF ，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECF=45°， ∴△ECF 是等腰直角三角形，

∴EF=CE ，∠EFC=45°，

∴∠BFC=∠B′FC=135°，

∴∠B′FE=90°，

∵S △ABC =

12AC•BC=12

AB•CE ， ∴AC•BC=AB•CE ， ∵根据勾股定理得：22226810AB

AC BC ∴ 4.8AC BC CE AB

⋅== ∴EF=4.8，22 3.6AE AC EC -=

∴B′F=BF=AB -AE-EF=10-3.6-4.8=1.6=8

5，

【点睛】

此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CE、AE是解决问题的关键．

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )

A．

3

2

B．

33

2

C．

3

2

D．不能确定

【答案】B

【解析】

已知，如图，P为等边三角形内任意一点，PD、PE、PF分别是点P到边AB、BC、AC的距离，连接AP、BP、CP，过点A作AH⊥BC于点H，已知等边三角形的边长为3，可求得高

线AH=3

3

2

，因S△ABC=

1

2

BC•AH=

1

2

AB•PD+

1

2

BC•PE+

1

2

AC•PF，所以

1 2×3×AH=

1

2

×3×PD+

1

2

×3×PE+

1

2

×3×PF，即可得PD+PE+PF=AH=

3

3

2

，即点P到三角形三边

距离之和为3

3

2

．故选B.

点睛：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．

12．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】

以O 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴有两交点，这两点显然符合题意．以A 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴交与两点（O 点除外）．以OA 中点为圆心OA 长一半为半径作圆与x 轴有一交点．共4个点符合，

13．如图，在ABC ∆中，120BAC ︒∠=，点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，边BC 分别与DE 、DF 相交于点,H G ，且,DE AB DF AC ⊥⊥，连接AD 、AG 、AH ，现在下列四个结论：

①60EDF ︒∠=，②AD 平分GAH ∠，③B ADF ∠=∠，④GD GH =.

则其中正确的结论有（ ）.

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 【答案】A

【解析】

【分析】

利用,DE AB DF AC ⊥⊥及四边形的内角和即可得到①正确；；根据三角形内角和与线段的垂直平分线性质得到∠BAH+∠GAC=60︒，无条件证明∠GAD=∠HAD,故②错误；由等量代换得B ADF ∠≠∠，故③错误；利用三角形的内角和与对顶角相等得到GD GH ≠，故④错误.

【详解】

∵,DE AB DF AC ⊥⊥，

∴∠DEA=∠DFA=90︒，

∵120BAC ︒∠=,

∴∠EDF=360︒-∠DEA-∠DFA-∠BAC=60︒，故①正确；

∵120BAC ︒∠=，

∴∠B+∠C=60︒，

∵点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，,DE AB DF AC ⊥⊥，

∴BH=AH ，AG=CG ，

∴∠BAH=∠B ，∠GAC=∠C ，

∴∠BAH+∠GAC=60︒，

∵无条件证明∠GAD=∠HAD,

∴AD 不一定平分GAH ∠，故②错误；

∵∠ADF+∠DAF=90︒，∠B=∠BAH,

90BAH DAF ∠+∠≠,

∴B ADF ∠≠∠，故③错误；

∵90B BHE ∠+∠=，30B ∠≠ ，

∴ 60BHE ∠≠，

∴60DHG ∠≠，

∴DHG HDG ∠≠∠,

∴GD GH ≠，故④错误，

故选：A.

【点睛】

此题考查线段的垂直平分线的性质，利用三角形的内角和，四边形的内角和求角度，利用对顶角相等，等角对等边推导边的关系.

14．如图，在四边形ABCD 中，AB AC =，60ABD ∠=，75ADB ∠=，

30BDC ∠=，则DBC ∠=（ ）°

A ．15

B ．18

C ．20

D ．25

【答案】A

【解析】

【分析】 延长BD 到M 使得DM =DC ，由△ADM ≌△ADC ，得AM =AC =AB ，得△AMB 是等边三角形，得∠ACD =∠M =60°，再求出∠BAO 即可解决问题.

【详解】

如图，延长BD 到M 使得DM =DC.

∵∠ADB =75°，

∴∠ADM =180°﹣∠ADB =105°.

∵∠ADB =75°，∠BDC =30°，

∴∠ADC =∠ADB +∠BDC =105°，

∴∠ADM =∠ADC.

在△ADM 和△ADC 中，

∵AD AD ADM ADC DM DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△ADM ≌△ADC ，

∴AM =AC.

∵AC =AB ，

∴AM =AC =AB ，∠ABC =∠ACB.

∵∠ABD =60°，

∴△AMB 是等边三角形，

∴∠M =∠DCA =60°.

∵∠DOC =∠AOB ，∠DCO =∠ABO =60°，

∴∠BAO =∠ODC =30°.

∵∠CAB +∠ABC +∠ACB =180°，

∴30°+2(60°+∠CBD )=180°，

∴∠CBD =15°.

故选：A.

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有一定难度.

15．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于G ．则下列结论中错误的是( )

A ．AD ＝BE

B ．BE ⊥A

C C ．△CFG 为等边三角形

D ．FG ∥BC 【答案】B

【解析】

试题解析：A.ABC 和CDE △均为等边三角形，

60AC BC EC DC ACB ECD ∴==∠=∠=︒，，

在ACD 与BCE 中，

{AC BC

ACD BCE CD CF =∠=∠=，

ACD BCE ∴≌，

AD BE

∴=，正确.

B.据已知不能推出F是AC中点，即AC和BF不垂直，所以AC BE

⊥错误，故本选项符合题意.

C.CFG是等边三角形，理由如下：

180606060

ACG BCA

∠=︒-︒-︒=︒=∠，

ACD BCE

≌，

CBE CAD

∴∠=∠，

在ACG和BCF中，{

CAG CBF AC BC

BCF ACG

∠=∠

=

∠=∠，

ACG BCF

∴≌，

CG CH

∴=，又∵∠ACG=60°

CFG

∴是等边三角形，正确.

D.CFG是等边三角形，

60

CFG ACB

∴∠︒=∠

﹦，

.

FG BC

∴正确.

故选B.

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()

A．6个B．5个C．4个D．3个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．

【详解】

解：根据题意，

∵△PAB为等腰三角形，

∴可分为：PA=PB，PA=AB，PB=AB三种情况，如图所示：

∴符合条件的点P共有4个；

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据等腰三角形的判定定理解答．

17．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=6,∠BAC=120°，点P 、Q 分别是线段BC 、射线BA 上一点，则CQ+PQ 的最小值为（ ）

A ．6

B ．7.5

C ．9

D ．12

【答案】C

【解析】

【分析】 通过作点C 关于直线AB 的对称点，利用点到直线的距离垂线段最短，即可求解.

【详解】

解：如图，作点C 关于直线AB 的对称点1C ，1CC 交射线BA 于

H ，过点1C 作BC 的垂线，垂足为P ，与AB 交于点Q ，CQ+PQ 的长即为1PC 的长.

∵AB=AC=6,∠BAC=120°，

∴∠ABC=30°，

易得BC=3

在Rt △BHC 中，∠ABC=30°，

∴HC=33BCH=60°， ∴163CC =

在1Rt △PCC 中，1PCC ∠=60°，

∴19PC =

∴CQ+PQ 的最小值为9，

本题考查了等腰三角形的性质以及利用对称点求最小值的问题，认真审题作出辅助线是解题的关键.

18．如图，四边形ABCD中，∠C=，∠B=∠D=，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）．

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小，由四边形的内角和为360°可知，∠BAD=360°-90°-90°-50°=130°，即∠1+∠2+∠3=130°①，由作图可知，∠1=∠G，∠3=∠H，△AGH的内角和为180°，则2（∠1+∠3）+ ∠2=180°②，又①②联立方程组，解得∠2=80°．

故选D．

考点：轴对称的应用；路径最短问题．

19．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=（）A．35°B．40°C．45°D．50°

【答案】A

【解析】

【分析】

作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质求解．

【详解】

作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，

∵PP1关于OA对称，∠MPN=110°

∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM，

同理可得：∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，

∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，

∴△P1OP2是等腰三角形．

∴∠OP2N=∠OP1M，

∴∠P1OP2=180°-110°=70°，

∴∠AOB=35°，

故选A．

【点睛】

考查了对称的性质，解题关键是正确作出图形和证明△P1OP2是等腰三角形是．

20．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）

A．B．1+

2

C．D-1【答案】B

【解析】

第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1；

，腰长为1

2

，所以周长为

11

1 222

2 ++=+.故答案为B.