空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)

【知识要点】

1．空间向量及其运算：

(1)空间向量的线性运算：

①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．

②空间向量的线性运算的运算律：

加法交换律：a＋b＝b＋a；

加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；

分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb．

(2)空间向量的基本定理：

①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a∥λb．

②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数λ，μ，使得c＝λa＋μb．

③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组λ1，λ2，λ3，使得p＝λ1a＋λ2b＋λ3c．

(3)空间向量的数量积运算：

①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜cos〈a，b〉；

②空间向量的数量积的性质：

a·e＝|a｜cos＜a，e＞；a⊥ba·b＝0；

|a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜．

③空间向量的数量积的运算律：

(λa)·b＝λ(a·b)；

交换律：a·b＝b·a；

分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

(4)空间向量运算的坐标表示：

①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a，存在惟一数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，那么有序数组(a1，a2，a3)就叫做空间向量a的坐标，即a＝(a1，a2，a3)．

②空间向量线性运算及数量积的坐标表示：

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；

λa＝(λa1，λa2，λa3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．

③空间向量平行和垂直的条件：

a∥b(b≠0)a＝λba1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；

a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．

④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

在空间直角坐标系中，点A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则A，B两点间的距离是

2．空间向量在立体几何中的应用：

(1)直线的方向向量与平面的法向量：

①如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得，其中向量a叫做直线的方向向量．

由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．

②如果直线l⊥平面α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．

由此可知，给定一点A及一个向量a，那么经过点A以向量a为法向量的平面惟一确定．

(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：

设直线l，m的方向向量分别是a，b，平面α，β的法向量分别是u，v，则

①l∥ma∥ba＝kb，k∈R；

②l⊥ma⊥ba·b＝0；

③l∥αa⊥ua·u＝0；

④l⊥αa∥ua＝ku，k∈R；

⑤α∥u∥vu＝kv，k∈R；

⑥α⊥βu⊥vu·v＝0．

(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：

①异面直线所成的角：设a，b是两条异面直线，过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．

设异面直线a与b的方向向量分别是v1，v2，a与b的夹角为θ，显然则

②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．

设直线a的方向向量是u，平面α的法向量是v，直线a与平面α的夹角为θ，显然

，则

③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α－l－β在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角．

利用向量求二面角的平面角有两种方法：

方法一：

如图，若AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角α－l－β的大小就是向量的夹角的大小．

方法二：

如图，m1，m2分别是二面角的两个半平面α，β的法向量，则〈m1，m2〉与该二面角的大小相等或互补．

(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．

【复习要求】

1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．

3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．

4．理解直线的方向向量与平面的法向量．

5．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．

6．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．

【例题分析】

例1  如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且B1S＝2SB，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS．

【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k，使得

解：如图建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)．

∵AP＝2PA1，  ∴

∴

同理可得：Q(0，2，2)，R(3，2，0)，

，又RPQ，

∴PQ∥RS．

【评述】1、证明线线平行的步骤：

(1)证明两向量共线；

(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．

2、本体还可采用综合法证明，连接PR，QS，证明PQRS是平行四边形即可，请完成这个证明．

例2  已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD．

【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行．

解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)．

取MN的中点K，EF的中点G，BD的中点O，则O(2，2，0)，K(3，1，4)，G(1，3，4)．

＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－1，1，4)，＝(－1，1，4)，

∴∥，，∴MN//EF，AK//OG，

∴MN∥平面EFBD，AK∥平面EFBD，

∴平面AMN∥平面EFBD．

解法二：设平面AMN的法向量是a＝(a1，a2，a3)，平面EFBD的法向量是

b＝(b1，b2，b3)．

由

得取a3＝1，得a＝(2，－2，1)．

由

得取b3＝1，得b＝(2，－2，1)．

∵a∥b，∴平面AMN∥平面EFBD．

注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．

例3  在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N是棱A1B1，B1B的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．

解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，M(2，1，2)，C(0，2，0)，N(2，2，1)．

设和所成的角为θ，则

∴异面直线AM和CN所成角的余弦值是

解法二：取AB的中点P，CC1的中点Q，连接B1P，B1Q，PQ，PC．

易证明：B1P∥MA，B1Q∥NC，

∴∠PB1Q是异面直线AM和CN所成的角．

设正方体的棱长为2，易知

∴

∴异面直线AM和CN所成角的余弦值是

【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．

例4  如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为，求直线AC1与平面ABB1A1所成角的大小．

【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB1A1的法向量求解．

解法一：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，

取A1B1的中点D，则，连接AD，C1D．

则

∴DC1⊥平面ABB1A1，

∴∠C1AD是直线AC1与平面ABB1A1所或的角．

，

∴直线AC1与平面ABB1A1所成角的大小是30°．

解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，)，，从而

设平面ABB1A1的法向量是a＝(p，q，r)，

由

得取p＝1，得a＝(1，0，0)．

设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为

【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．

例5  如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，，求二面角A－PB－C的平面角的余弦值．

解法一：取PB的中点D，连接CD，作AE⊥PB于E．

∵PA＝AC＝1，PA⊥AC，

∴PC＝BC＝，∴CD⊥PB．

∵EA⊥PB， 

∴向量和夹角的大小就是二面角A－PB－C的大小．

如图建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，，0)，P(1，0，1)，由D是PB的中点，得D

由得E是PD的中点，从而

即二面角A－PB－C的平面角的余弦值是

解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，，C(0，1，0)，P(0，0，1)，

设平面PAB的法向量是a＝(a1，a2，a3)，

平面PBC的法向量是b＝(b1，b2，b3)．

由

得取a1＝1，得

由得取b3＝1，得b＝(0，1，1)．

∵二面角A－PB－C为锐二面角，

∴二面角A－PB－C的平面角的余弦值是

【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．

2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．

例6  如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC．

(Ⅰ)求证：BC⊥平面PAC；

(Ⅱ)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的余弦值；

(Ⅲ)试问在棱PC上是否存在点E，使得二面角A－DE－P为直二面角?若存在，求出PE∶EC的值；若不存在，说明理由．

解：如图建立空间直角坐标系．

设PA＝a，由已知可得A(0，0，0)，

(Ⅰ)∵

∴∴BC⊥AP．又∠BCA＝90°，∴BC⊥AC．

∴BC⊥平面PAC．

(Ⅱ)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴E为PC的中点．

∴

由(Ⅰ)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

∴∠DAE是直线AD与平面PAC所成的角．

∴

∴

即直线AD与平面PAC所成角的余弦值是

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，DE⊥平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP是二面角A－DE－P的平面角．

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∠PAC＝90°．

∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，

这时，∠AEP＝90°，且

故存在点E使得二面角A－DE－P是直二面角，此时PE∶EC＝4∶3．

注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．

练习1-3

一、选择题：

1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，则二面角E－A1D1－D的平面角的正切值是

(A)   

2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD1与平面A1ACC1所成角的大小是

(A)30° ° ° °

3．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于

(A)   

4．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A，B到l的距离分别是a和b，AB与α，β所成的角分别是θ和，AB在α，β内的射影分别是m和n，若a＞b，则下列结论正确的是

(A)θ＞，m＞n  θ＞，m＜n

(C)θ＜，m＜n  θ＜，m＞n

二、填空题：

5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成角的大小是______．

6．已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于______．

7．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为______．

8．四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，，PA⊥底面ABCD，PD与底面ABCD所成的角是30°．设AE与CD所成的角为θ，则cosθ＝______．

三、解答题：

9．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上，且C1E＝3EC．

(Ⅰ)证明：A1C⊥平面BED；

(Ⅱ)求二面角A1－DE－B平面角的余弦值．

10．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．

(Ⅰ)证明：直线MN∥平面OCD；

(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小．

11．如图，已知直二面角α－PQ－β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA＝CB，∠BAP＝45°，直线CA和平面α所成的角为30°．

(Ⅰ)证明：BC⊥PQ；

(Ⅱ)求二面角B－AC－P平面角的余弦值．

习题1

一、选择题：

1．关于空间两条直线a、b和平面α，下列命题正确的是

(A)若a∥b，bα，则a∥α 若a∥α，bα，则a∥b

(C)若a∥α，b∥α，则a∥b 若a⊥α，b⊥α，则a∥b

2．正四棱锥的侧棱长为2，底面边长为2，则该棱锥的体积为

(A)8  

3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于

(A)   

4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何

体的体积是(  )

(A)  

(C)2000cm3     3

5．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°

的菱形，则该棱柱的体积等于

(A)   

二、填空题：

6．已知正方体的内切球的体积是，则这个正方体的体积是______．

7．若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则直线AB1和BC1所成角的余弦值是______．

8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是______．

9．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为______．

10．已知AABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角．在折起后形成的三棱锥A－BCD中，有如下三个结论：

①直线AD⊥平面BCD；

②侧面ABC是等边三角形；

③三棱锥A－BCD的体积是

其中正确结论的序号是____________．(写出全部正确结论的序号)

三、解答题：

11．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝AA1．

(Ⅰ)求证：AD⊥B1D；

(Ⅱ)求证：A1C∥平面A1BD；

(Ⅲ)求二面角B－AB1－D平面角的余弦值．

12．如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA＝AC＝2，AB＝1，M为PC的中点．

(Ⅰ)求证：平面PCB⊥平面MAB；

(Ⅱ)求三棱锥P－ABC的表面积．

13．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，M、N分别是A1C1、BC1的中点．

(Ⅰ)求证：BC1⊥平面A1B1C；

(Ⅱ)求证：MN∥平面A1ABB1；

(Ⅲ)求三棱锥M－BC1B1的体积．

14．在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，，DC＝SD＝2．点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°．

(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；

(Ⅱ)求二面角S－AM－B的平面角的余弦值．

练习1-3

一、选择题：

1．B．A．B．D

二、填空题：

5．60° ．2． ．

三、解答题：

9．以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D－xyz．

依题设，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)．

(Ⅰ)∵∴A1C⊥BD，A1C⊥DE．

又DB∩DE＝D，∴A1C⊥平面DBE．

(Ⅱ)设向量n＝(x，y，z)是平面DA1E的法向量，则

∴令y＝1，得n＝(4，1，－2)．

∴二面角A1－DE－B平面角的余弦值为

10．作AP⊥CD于点P．如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系．

则A(0，0，0)，B(1，0，0)，，O(0，0，2)，M(0，0，1)，

(Ⅰ)

设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则

即取，得

∵∴MN∥平面OCD．

(Ⅱ)设AB与MD所成的角为θ，

即直线AB与MD所成角的大小为

11．(Ⅰ)证明：在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连结OB．

∵α⊥β，α∩β＝PQ，∴CO⊥α．

又∵CA＝CB，∴OA＝OB．

∵∠BAO＝45°，∴∠ABO＝45°，∠AOB＝90°，∴BO⊥PQ，又CO⊥PQ，

∴PQ⊥平面OBC，∴PQ⊥BC．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC⊥OA，OC⊥OB，OA⊥OB，故以O为原点，分别以直线OB，OA，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)．

∵CO⊥α，∴∠CAO是CA和平面α所成的角，则∠CAO＝30°．

不妨设AC＝2，则，CO＝1．

在Rt△OAB中，∠ABO＝∠BAO＝45°，∴

∴

设n1＝(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，

由得取x＝1，得．

易知n2＝(1，0，0)是平面β的一个法向量．

设二面角B－AC－P的平面角为θ，∴

即二面角B－AC－P平面角的余弦值是

习题1

一、选择题：

1．D．B．A．B．B

二、填空题：

6． ． ．9π ．5．①、②、③

三、解答题：

11．(Ⅰ)证明：∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，

∴平面BB1C1C⊥平面ABC．

∵正△ABC中，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥平面BB1C1C，

∴AD⊥B1D．

(Ⅱ)解：连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE．

∵AB＝AA1，  ∴  四边形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，∴DE∥A1C．

∵DE平面A1BD，A1C平面A1BD，∴A1C∥平面A1BD．

(Ⅲ)解：建立空间直角坐标系，设AB＝AA1＝1，

则

设n1＝(p，q，r)是平面A1BD的一个法向量，

则且

故取r＝1，得n1＝(2，0，1)．

同理，可求得平面AB1B的法向量是

设二面角B－AB1－D大小为θ，∵

∴二面角B－AB1－D的平面角余弦值为

12．(Ⅰ)∵PA⊥AB，AB⊥AC，∴AB⊥平面PAC，故AB⊥PC．

∵PA＝AC＝2，M为PC的中点，∴MA⊥PC．∴PC⊥平面MAB，

又PC平面PCB，∴平面PCB⊥平面MAB．

(Ⅱ)Rt△PAB的面积．Rt△PAC的面积

Rt△ABC的面积S3＝S1＝1．

∵△PAB≌△CAB，∵PB＝CB，

∴△PCB的面积

∴三棱锥P－ABC的表面积为S＝S1＋S2＋S3＋S4＝

13．(Ⅰ)∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥平面A1B1C1，∴B1B⊥A1B1．

又B1C1⊥A1B1，∴A1B1⊥平面BCC1B1，∴BC1⊥A1B1．

∵BB1＝CB＝2，∴BC1⊥B1C，∴BC1⊥平面A1B1C．

(Ⅱ)连接A1B，由M、N分别为A1C1、BC1的中点，得MN∥A1B，

又A1B平面A1ABB1，MN平面A1ABB1，∴MN∥平面A1ABB1．

(Ⅲ)取C1B1中点H，连结MH．

∵M是A1C1的中点，∴MH∥A1B1，

又A1B1⊥平面BCC1B1，∴MH⊥平面BCC1B1，∴MH是三棱锥M－BC1B1的高，

∴三棱锥M－BC1B1的体积

14．如图建立空间直角坐标系，设A(，0，0)，则B(，2，0)，C(0，2，0)，S(0，0，2).

(Ⅰ)设，

则

又故

即解得λ＝1．

∴M是侧棱SC的中点．

(Ⅱ)由M(0，1，1)，A(，0，0)得AM的中点

又

cos等于二面角S－AM－B的平面角．

即二面角S－AM－B的平面角的余弦值是－．