2007年北京市高考数学试卷(理科)

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（　　）

A．第一或第二象限角    B．第二或第三象限角

C．第三或第四象限角    D．第一或第四象限角

2．（5分）函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域为（　　）

A．（0，+∞）    B．（1，9]    C．（0，1）    D．[9，+∞）

3．（5分）平面α∥平面β的一个充分条件是（　　）

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

4．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（　　）

A．    B．    C．    D．

5．（5分）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　）

A．1440种    B．960种    C．720种    D．480种

6．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（　　）

A．    B．0＜a≤1    C．0＜a≤1或    D．

7．（5分）如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（　　）

A．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

B．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

C．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一

D．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一

8．（5分）对于函数①f（x）=lg（|x﹣2|+1），②f（x）=（x﹣2）2，③f（x）=cos（x+2），判断如下三个命题的真假：

命题甲：f（x+2）是偶函数；

命题乙：f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；

命题丙：f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（　　）

A．①③    B．①②    C．③    D．②

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．（5分）=　　．

10．（5分）若数列{an}的前n项和Sn=n2﹣10n（n=1，2，3，…），则此数列的通项公式为　　；数列nan中数值最小的项是第　　项．

11．（5分）在△ABC中，若tanA=，C=150°，BC=2，则AB=　　．

12．（5分）已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}．若A∩B=∅，则实数a的取值范围是　　．

13．（5分）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于　　．

14．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由下表给出

三、解答题（共6小题，满分80分）

15．（13分）数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．

（1）求c的值；

（2）求{an}的通项公式．

16．（14分）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角．动点D在斜边AB上．

（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；

（Ⅱ）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小；

（Ⅲ）求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小．

17．（14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．

（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；

（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；

（Ⅲ）若动圆P过点N（﹣2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

18．（13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．

（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；

（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．

（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

19．（13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．

（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；

（Ⅱ）求面积S的最大值．

20．（13分）已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a∉A，则称集合A具有性质P．

（Ⅰ）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；

（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A，证明：；

（Ⅲ）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

2007年北京市高考数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）（2007•北京）已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（　　）

A．第一或第二象限角    B．第二或第三象限角

C．第三或第四象限角    D．第一或第四象限角

【解答】解：∵cosθ•tanθ=sinθ＜0，

∴角θ是第三或第四象限角，

故选C．

2．（5分）（2007•北京）函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域为（　　）

A．（0，+∞）    B．（1，9]    C．（0，1）    D．[9，+∞）

【解答】解：函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域就是函数f（x）=3x（0＜x≤2）的值域，

由函数f（x）在其定义域内是单调增函数得   1＜f（x）≤9，

故选 B．

3．（5分）（2007•北京）平面α∥平面β的一个充分条件是（　　）

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

【解答】证明：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A不对；

对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；

对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；

对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确．

4．（5分）（2007•北京）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：∵，∴，

∵D为BC边中点，

∴，则，

故选：A．

5．（5分）（2007•北京）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　）

A．1440种    B．960种    C．720种    D．480种

【解答】解：可分3步．

第一步，排两端，∵从5名志愿者中选2名有A52=20种排法，

第二步，∵2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有A44=24种排法

第三步，2名老人之间的排列，有A22=2种排法

最后，三步方法数相乘，共有20×24×2=960种排法

故选B

6．（5分）（2007•北京）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（　　）

A．    B．0＜a≤1    C．0＜a≤1或    D．

【解答】解：由题意可知：画可行域如图：

不等式组 表示的平面区域是一个三角形及其内部，

且当直线x+y=a过直线y=x与直线2x+y=2的交点时，a=．

所以a的取值范围是：0＜a≤1或a≥

故选C．

7．（5分）（2007•北京）如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（　　）

A．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

B．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

C．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一

D．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一

【解答】解：如果a，b是正数，则根据均值不等式有：，则（a+b）2≥4ab

如果c，d是正数，则根据均值不等式有：； 则

∵a，b，c，d满足a+b=cd=4，

∴2

当且仅当a=b=c=d=2时取等号．

化简即为：ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一．

故选A．

8．（5分）（2007•北京）对于函数①f（x）=lg（|x﹣2|+1），②f（x）=（x﹣2）2，③f（x）=cos（x+2），判断如下三个命题的真假：

命题甲：f（x+2）是偶函数；

命题乙：f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；

命题丙：f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（　　）

A．①③    B．①②    C．③    D．②

【解答】解：①若f（x）=lg（|x﹣2|+1）则：

f（x+2）是偶函数，此时命题甲为真；

f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；此时命题乙为真；

但f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上不是单调递增的；此时命题丙为假．

②f（x）=（x﹣2）2则：

f（x+2）是偶函数，此时命题甲为真；

f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；此时命题乙为真；

但f（x+2）﹣f（x）=4x﹣4在（﹣∞，+∞）上是增函数的；此时命题丙为真．

③若f（x）=cos（x+2），则：

f（x+2）是不偶函数，此时命题甲为假；

f（x）在（﹣∞，2）上不是减函数，在（2，+∞）上不是增函数；此时命题乙为假；

但f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上不是单调递增的；此时命题丙为假．

故选D

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．（5分）（2007•北京）=　﹣i　．

【解答】解：=

故答案为：﹣i

10．（5分）（2007•北京）若数列{an}的前n项和Sn=n2﹣10n（n=1，2，3，…），则此数列的通项公式为　2n﹣11　；数列nan中数值最小的项是第　3　项．

【解答】解：由题意可知：数列{an}的前n项和Sn=n2﹣10n（n=1，2，3，…），

∴当n=1时，a1=s1=1﹣10=﹣9；

当n＞1时，an=sn﹣sn﹣1=n2﹣10n﹣（n﹣1）2+10（n﹣1）=2n﹣11；

综上可知：数列的通项公式为an=2n﹣11，n∈N*．

∴数列{nan}的通项公式为：，

所以当n为3时数列nan中数值最小．

故答案为：an=2n﹣11，n∈N*、3．

11．（5分）（2007•北京）在△ABC中，若tanA=，C=150°，BC=2，则AB=　　．

【解答】解：∵tanA=∴sinA=

根据正弦定理可得：∴AB=×=

故答案为：

12．（5分）（2007•北京）已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}．若A∩B=∅，则实数a的取值范围是　（2，3）　．

【解答】解：集合A={x||x﹣a|≤1}={x|a﹣1≤x≤a+1}，

B={x|x2﹣5x+4≥0}={x|x≥4或x≤1}．

又A∩B=∅，

∴，

解得2＜a＜3，

即实数a的取值范围是（2，3）．

故应填（2，3）．

13．（5分）（2007•北京）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于　　．

【解答】解：∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，

∴大正方形边长为5，小正方形的边长为1．

∴5cosθ﹣5sinθ=1，

∴cosθ﹣sinθ=．

∴两边平方得：1﹣sin2θ=，

∴sin2θ=．

∵θ是直角三角形中较小的锐角，

∴0＜θ＜．

∴cos2θ=．

故答案为：

14．（5分）（2007•北京）已知函数f（x），g（x）分别由下表给出

【解答】解：f[g（1）]=f（3）=1

当x=1时f[g（1）]=1，g[f（1）]=g（1）=3不满足f[g（x）]＞g[f（x）]

当x=2时，f[g（2）]=f（2）=3，g[f（2）]=g（3）=1满足f[g（x）]＞g[f（x）]

当x=3时f[g（3）]=f（1）=1，g[f（3）]=g（1）=3不满足f[g（x）]＞g[f（x）]

故满足f[g（x）]＞g[f（x）]的x的值是2

故答案为1；2

三、解答题（共6小题，满分80分）

15．（13分）（2007•北京）数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．

（1）求c的值；

（2）求{an}的通项公式．

【解答】解：（1）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，

因为a1，a2，a3成等比数列，

所以（2+c）2=2（2+3c），

解得c=0或c=2．

当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=2．

（2）当n≥2时，由于a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，an﹣an﹣1=（n﹣1）c，

所以．

又a1=2，c=2，故an=2+n（n﹣1）=n2﹣n+2（n=2，3，）．

当n=1时，上式也成立，

所以an=n2﹣n+2（n=1，2，）

16．（14分）（2007•北京）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角．动点D在斜边AB上．

（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；

（Ⅱ）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小；

（Ⅲ）求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小．

【解答】解：（I）由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C是直二面角，

又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角，

∴CO⊥BO，

又∵AO∩BO=O，

∴CO⊥平面AOB，

又CO⊂平面COD，

∴平面COD⊥平面AOB．（4分）

（II）解法一：作DE⊥OB，垂足为E，连接CE（如图），则DE∥AO，

∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．

在 Rt△COE中，CO=BO=2，，

∴．

又．

∴

∴在Rt△CDE中，．

∴异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为．（9分）

解法二：建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图，

则O（0，0，0），，C（2，0，0），，

∴，，

∴=．

∴异面直线AO与CD所成角的余弦值为．（9分）

（III）由（I）知，CO⊥平面AOB，

∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，

且．当OD最小时，∠CDO最大，这时，OD⊥AB，垂足为D，，，

∴CD与平面AOB所成角的最大时的正切值为．（14分）

17．（14分）（2007•北京）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．

（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；

（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；

（Ⅲ）若动圆P过点N（﹣2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

【解答】解：（I）因为AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为﹣3

又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，

所以AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1）．

3x+y+2=0．

（II）由解得点A的坐标为（0，﹣2），

因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．

所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．

又．

从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．

（III）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，

所以|PM|=|PN|+2，

即|PM|﹣|PN|=2．

故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的左支．

因为实半轴长a=，半焦距c=2．

所以虚半轴长b=．

从而动圆P的圆心的轨迹方程为．

18．（13分）（2007•北京）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．

（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；

（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．

（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

【解答】解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．

（1）该合唱团学生参加活动的人均次数为

==2.3．

（2）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为

P0==．

（3）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C．易知

P（ξ=1）=P（A）+P（B）=+=；

P（ξ=2）=P（C）==；

ξ的分布列：

ξ的数学期望：Eξ=0×+1×+2×=．

19．（13分）（2007•北京）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．

（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；

（Ⅱ）求面积S的最大值．

【解答】解：（I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O﹣xy（如图），

则点C的横坐标为x，

点C的纵坐标y满足方程，

解得

=，

其定义域为{x|0＜x＜r}．

（II）记f（x）=4（x+r）2（r2﹣x2），（0＜x＜r），

则f′（x）=8（x+r）2（r﹣2x）．

令f′（x）=0，得．

因为当时，f′（x）＞0；当时，

f′（x）＜0，所以是f（x）的最大值．

因此，当时，S也取得最大值，最大值为．

即梯形面积S的最大值为．

20．（13分）（2007•北京）已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a∉A，则称集合A具有性质P．

（Ⅰ）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；

（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A，证明：；

（Ⅲ）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

【解答】（I）解：集合{0，1，2，3}不具有性质P．

集合{﹣1，2，3}具有性质P，其相应的集合S和T是

S={（﹣1，3），（3，﹣1）}，T={（2，﹣1），（2，3）}．

（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（ai，aj）共有k2个．

因为0∉A，所以（ai，ai）∉T（i=1，2，k）；

又因为当a∈A时，﹣a∉A时，﹣a∉A，

所以当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）∉T（i，j=1，2，k）．

从而，集合T中元素的个数最多为，

即．

（III）解：m=n，证明如下：

（1）对于（a，b）∈S，根据定义，

a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T．

如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，

那么a=c与b=d中至少有一个不成立，

从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．

故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素．

可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，

（2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A，

且a﹣b∈A，从而（a﹣b，b）∈S．

如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，

那么a=c与b=d中至少有一个不成立，

从而a﹣b=c﹣d与b=d中也至少有一个不成立，

故（a﹣b，b）与（c﹣d，d）也是S的不同元素．

可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，

由（1）（2）可知，m=n．

参与本试卷答题和审题的老师有：gongjy；caoqz；xintrl；xize；涨停；wu_qian；豫汝王世崇；ying_0011；wsj1012；sllwyn；wdnah；zlzhan；lily2011；wodeqing；yhx01248；danbo7801（排名不分先后）

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2017年5月26日