2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)

2.1.1　数列的概念与简单表示法(一) 第九课时 

教学目标 1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 

2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 

3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.  

教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用. 

教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式. 

教学过程

导入新课 

1、 课本图211中的正方形数分别是多少？  1，3，6，10，….  图212中正方形数呢？  1，4，9，16，25，…. 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？ 

-1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…; 无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，…. 

一些分数排成的一列数：，，，，，….  

推进新课［合作探究］ 

折纸问题 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试。

我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？  随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；① 

随着对折数面积依次为, , , ,…, ,…. 

它们的共同特点：都是有一定次序的一列数. 

［教师精讲］ 

1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列. 

注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； 

（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，… 

3.数列的分类： 1)根据数列项数的多少分： 

有穷数列：项数有限的数列.无穷数列：项数无限的数列.

2)根据数列项的大小分： 

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列. 

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列. 

常数数列：各项相等的数列. 

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 

请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 

［知识拓展］ 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？

答 256是这数列的第，我能写出它的第n项，应为an=2n. 

［合作探究］ 同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系， 

项　　　2　　4　　8　　16　　32 

↓   ↓   ↓    ↓    ↓ 

序号    1    2    3     4     5 你能从中得到什么启示？ 

4、数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 

［例题剖析］ 

例1.根据下面数列{an}的通项公式，写出前5项：  (1)an=;     (2)an=(-1)n·n. 

解：(1)n=1,2,3,4,5.a1=;a2=;a3=;a4=;a5=. 

(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5. 

例2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： 

(1) 3，5，7，9，11，…；    (2)，，，，，…； 

(3) 0，1，0，1，0，1，…；  (4) 1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； 

(5) 2，-6，12，-20，30，-42，…. 

解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝；(3)an＝； 

(4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…， 

∴an＝n＋； 

(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…， ∴an＝(-1)n+1n(n＋1). 

［合作探究］ 函数与数列的比较(由学生完成此表)： 

1、 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 

2、 数列1, , , ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 

3、 这两数列的图象有什么特点？  其特点为：它们都是一群孤立的点. 位于y轴的右侧. 

课堂小结  对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式.  

布置作业  课本第38页习题2.1 A组第1题.  

板书设计

数列的概念与简单表示法(一)

定义  1.数列　　                  例1

2.项

3.一般形式                  例2               函数定义

4.通项公式

5.有穷数列

一、例题 

1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 

(1)1，3，5，7；an=2n-1 (2); an=或

(3), , ,. an=-. 

2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n项分别是下列各数： 

(1)1,0,1,0;　　　　　　　　　　　　　〔an=,n∈N*〕 

(2)-, , , ,;        〔an=(-1)n·〕 

(3)7,77,777,7 777;                   〔an=×(10n-1)〕 

(4)-1,7,-13,19,-25,31;                 〔an=(-1)n(6n-5)〕 

(5), , ,.                〔an=〕 

3.已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n，那么(　　) 

A.30是数列{an}的一项                 B.44是数列{an}的一项 

C.66是数列{an}的一项                 D.90是数列{an}的一项 

分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决.    答案：C  

4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为cm 就是每200张叠起来刚好为1 cm，现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a1,a2,a3,…,ak,…. 

你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a 50 ，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？ 

答案：这个数列的通项公式为an=， 裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm＞56 294 995 km，大于地球到月球距离的146倍. 

二、阅读材料 

无法实现的奖赏 

相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔. 

达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏. 

请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？ 

2.1.2　数列的概念与简单表示法(二) 第十一课时

教学目标 1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同； 

2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.   

教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项. 

教学难点 理解递推公式与通项公式的关系. 

教学过程

导入新课

1、什么叫数列的通项公式？ 

答 如果数列{an}的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.  

2、数列0，1，2，3，…的通项公式为an=n-1(n∈N*); 1,1,1的通项公式为an=1(n∈N*,1≤n≤3); 

1, , , ,…的通项公式为an= (n∈N*). 

［合作探究］ 数列的表示方法 

1、 通项公式   2、 图象法、 3、递推公式法 

模型一：自上而下                                                                 

第1层钢管数为4,即1 4＝1+3; 

第2层钢管数为5,即2 5＝2+3; 

第3层钢管数为6,即3 6＝3+3; 

第7层钢管数为10,即7 10＝7+3. 

an=n+3(1≤n≤7). 

生 模型二：上下层之间的关系 

a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1.  依此类推：an=a n-1+1(2≤n≤7). 

我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式. 

推进新课 

1.递推公式定义： 

如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 

数列：3，5，8，13，21，34，55，.  递推公式为：a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3≤n≤8). 

2.数列表示方法：列表法（通项公式）、图象法、解析式法. 

［例题剖析］ 

【例1】 设数列{an}满足.写出这个数列的前五项. 

解：据题意可知：a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ =,a4=1+ =,a5= 

【例2】 已知a1=2，an+1=2an，写出前5项，并猜想an. 

解： 前5项分别为2，4，8，16，32.  由a1=2，a2=2×2=22，a3=2×22=23观察可得， an=2n. 

或者：由a n+1=2an变形可得an=2a n-1，即，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有…×，所以an=a1·2n-1=2n. 

师 太妙了，真是求解的好方法.所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法. 

［知识拓展］ 已知a1=2，an+1=an-4,求an. 

法1 写出：a1=2，a2=-2，a3=-6，a4=-10，…观察可得：an=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-1). 

法2                               an-a n-1=-4 

an-1-an-2=-4 

an-2-an-3=-4 

…… 

∴an=2-4(n-1). 

［教师精讲］ 

(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的. 

例如，由数列{an}中的递推公式an+1=2an+1无法写出数列{an}中的任何一项，若又知a1=1，则可以依次地写出a2=3,a3=7,a4=15,…. 

(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式. 

［学生活动］ 

根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.

(1)a1＝0，an+1＝an＋(2n-1)(n∈N)； (2)a1＝1，a n+1＝(n∈N)； 

(3)a1＝3，an+1＝3an-2(n∈N). 

解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，a5＝16，∴an＝(n-1)2. 

(2)a1＝1，a2＝，a3＝=，a4＝，a5＝=，∴an＝. 

(3)a1＝3＝1+2×30，a2＝7＝1+2×31，a3＝19＝1+2×32， 

a4＝55＝1+2×33，a5＝163＝1+2×34，∴an＝1＋2·3 n-1.  

［合作探究］ 

一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？ 

分析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到. 爬一级梯子的方法只有一种. 

爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种. 

若设爬一个n级梯子的不同爬法有an种, 

则an=an-1+an-2+an-3(n≥4), 

则得到a1=1,a2=2,a3=4及an=a n-1+an-2+an-3(n≥4)，就可以求得a8=81.  

课堂小结 

递推公式与通项公式的区别。 

1、 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系. 

2、 对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可求得其他的项. 

布置作业 

课本第38页习题2.1A组第4、6题. 

预习内容：课本P41～P 44.   

板书设计

数列的概念与简单表示法(二)

一、定义　　                二、例题讲解                  小结：

1.递推公式： 

例1                     通项公式与