2002年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1．圆的圆心到直线的距离是    

        A．      B．      C．1    D． 

2．复数的值是  A．－i   B．i  C．－1    D．1

3．不等式的解集是

    A．        B． 

    C．{}        D． 

4．在（）内，使成立的x取值范围为    

    A．    B． 

    C．        D． 

5．设集合M=，则

    A．M=N    B．    C．    D． ø

6．点P（1，0）到曲线（其中参数t∈R）上的点的最短距离为

    A．0    B．1    C．    D．2

7．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是            

    A．    B．    C．    D． 

8．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是

    A．90°    B．60°    C．45°    D．30°

9．函数是单调函数的充要条件是

    A．b≥0    B．b≤0    C．b>0    D．b<0

10．函数的图象是

    A    B    C    D

11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有

    A．8种    B．12种    C．16种    D．20种

12．据2002年3月5日九届五次会议《工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.”如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为

    A．115 000亿元    B．120 000亿元    C．127 000亿元    D．135 000亿元

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．函数在[0，1]的最大值与最小值的和为3，则a=             .

14．椭圆的一个焦点是（0，2），那么k=               .

15．的展开式中x3项的系数是                .

16．已知函数那么                .

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知、的值.

18．（本小题满分12分）

    如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直. 点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=.

    （Ⅰ）求MN的长；

    （Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；

    （Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.

19．（本小题满分12分）

    设点P到点M（－１，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2.求m的取值范围.

20．（本小题满分12分）

    某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

21．（本小题满分12分）

    设a为实数，函数

    （Ⅰ）讨论的奇偶性；

    （Ⅱ）求的最小值.

22．（本小题满分14分）

    设数列{an}满足

    （Ⅰ）当时，求,并由此猜想出的一个通项公式；

    （Ⅱ）当时，证明对所有的，有

    （i）

          （ii）

数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.

      1．A   2．C   3．D   4．C  5．B  6．B   7．C   8．B   9．A   10．B 11．B  12．C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.

     13．2      14．1     15．1 008      16． 

三、解答题

17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.满分12分.

    解：由倍角公式，    ………………2分

        由原式得

                    ………………8分

        ，

              ……………12分

18．本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.

    解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得

MP∥NQ，且MP=NQ，

即MNQP是平行四边形，∴  MN=PQ.    ……………3分

由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，

∴  AC=BF=，

即  

           .    ………………6分

    （Ⅱ）由（Ⅰ），所以，当

          即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为……9分

    （Ⅲ）取MN的中点G，连结AG、BG，

          ∵  AM=AN，BM=BN，G为MN的中点

          ∴  AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角，

          又AG=BG=，所以，由余弦定理有

          故所求二面角.    ……………12分

19．本小题主要考查直线、双曲线等基础知识，考查基本运算、逻辑推理能力.满分12分.

    解法一：设点P的坐标为（x,y），依题设得=2，

    即    ①………2分

    因此，点P（x,y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得

      因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故

                ②…………6分

      将①式代入②，并解得

      ，    ……………8分

           解得.

      即m的取值范围为    ……………12分

    解法二：设点P的坐标为（x,y），依题设得，即

      .    ①…………2分

      由|PM|－|PN|=2m，得    ②…………4分

      由②式可得

      所以，.    ……………6分

    由②式移项，两边平方整理得

将①式代入，整理得.    ③…………8分

③式右端大于0，.

综上，得m满足

即m的取值范围为    ……………12分

20．本小题主要考查为数列、数列的极限等基础知识，考查建立数学模型、运用所学知识解决实际问题的能力.满分12分.

    解：设2001年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，…，每年新增汽车x万辆，则

        ………………2分

    对于n>1，有

                  ………………6分

    当    ………………8分

    当

    并且数列{bn}逐项增加，可以任意靠近.    ……………10分

    因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即.

    则（万辆）.综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.………12分

21．本小题主要考查函数的概念、函数的奇偶性和最小值等基础知识，考查分类讨论的思想和逻辑思维能力.满分12分.

    解：（Ⅰ）当为偶函数.

            ………………2分

    当

    .

    此时函数既不是奇函数，也不是偶函数.    ………………4分

    （Ⅱ）（i）当

    若上单调递减，从而，函数上的最小值为

    若，则函数上的最小值为………7分

    （ii）当时，函数

    若

    若

        ……………10分

    综上，当

    当

    当    ……………12分

22．本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力.满分14分.

    解：（Ⅰ）由

    由由此猜想的一个通项公式：………4分

（Ⅱ）（i）用数学归纳法证明：

①当，不等式成立.    ………………6分

②假设当时不等式成立，即，那么

也就是说，当    

根据①和②，对于所有    ……………10分

（ii）由（i），对

    ……………12分

于是

……14分