高二概率知识点及例题

一、知识要点

1、必然事件：一般地，把在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件。

2、不可能事件：把在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件。

3、确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S的确定事件。

4、随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件。

5、频数：在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数。

6、频率：事件A出现的比例           。

7、概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值。

概率的意义

1、概率的正确解释：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。认识了这种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。

2、游戏的公平性：抽签的公平性。

3、决策中的概率思想：从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。

——极大似然法、小概率事件

4、天气预报的概率解释：明天本地降水概率为70%解释是“明天本地下雨的机会是70%”。

5、试验与发现：孟德尔的豌豆试验。

6、遗传机理中的统计规律。

概率的基本性质

1、事件的关系与运算

（1）包含。对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作。

不可能事件记作。

（2）相等。若，则称事件A与事件B相等，记作A=B。

（3）事件A与事件B的并事件（和事件）：某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生。

（4）事件A与事件B的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生。

（5）事件A与事件B互斥：为不可能事件，即，即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。

（6）事件A与事件B互为对立事件：为不可能事件，为必然事件，即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。

2、概率的几个基本性质

（1）.

（2）必然事件的概率为1..

（3）不可能事件的概率为0. .

（4）事件A与事件B互斥时，P(AB)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。

（5）若事件B与事件A互为对立事件，则为必然事件，.

古典概型

1、基本事件：

基本事件的特点：（1）任何两个事件是互斥的；

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本时间的和。

2、古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

（2）每个基本事件出现的可能性相等。

具有这两个特点的概率模型称为古典概型。

3、公式：

（整数值）随机数的产生

如何用计算器产生指定的两个整数之间的取整数值的随机数？——书上例题。

几何概型

1、几何概型：每个事件发生的概率只有与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的概率模型。

2、几何概型中，事件A发生的概率计算公式：

均匀随机数的产生

常用的是上的均匀随机数，可以用计算器来产生0~1之间的均匀随机数。

二、考点归纳

考点 1 考查等可能事件概率计算

例 1、从4名男生和2名女生中任3人参加演讲比赛.

(I)求所选3人都是男生的概率；

(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；

(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.

考点 2 考查互斥事件至少有一个发生与相互事件同时发生概率计算

不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，用概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)计算。

事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则A、B叫做相互事件，它们同时发生的事件为AB。用概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)计算。

例 2、设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率。

考点 3 考查对立事件概率计算

必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。用概率的减法公式

P(A)=1-P(A)计算其概率。

例 3、甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为

（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；

（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率。

考点 4 考查重复试验概率计算

若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做n次重复试验。若在1次试验中事件A发生的概率为 P，则在n次重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)=。

例 4、某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2。从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换。

（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；

（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=，p2=时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率。（结果保留两个有效数字）

三、高考链接

一、用排列组合求概率

例1从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个三位数不能被3整除的概率为（    ）

(A)19/54     (B)35/54     (C)38/54     (D)41/60

二、互斥事件有一个发生的概率

例2某厂生产A产品,每盒10只进行包装,每盒产品都需要检验合格后才能出厂,规定以下,从每盒10只中任意抽4只进行检验,如果次品数不超过1只,就认为合格,否则就认为不合格,已经知道某盒A产品中有2只次品。

（1）求该盒产品被检验合格的概率；

（2）若对该盒产品分别进行两次检验,求两次检验的结果不一致的概率。

三、对立重复试验

例3一位学生每天骑自行车上学,从他家到学校有5个交通岗,假设他在交通岗遇到红灯是相互的,且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为p，其余3个交通岗遇到红灯的概率均为    。

(1) 若p=2/3，求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率;

(2) 若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过5/18，求p的取值范围。

四、高考易错题辨析

一、概念理解不清致错

例1．抛掷一枚均匀的骰子，若事件A：“朝上一面为奇数”，事件B：“朝上一面的点数不超过3”，求P（A+B）。

例2．某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列，使                        ，记 求且的概率。

二、有序与无序不分致错

例3．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙依次各抽一题。

求：（1）甲抽到选择题，乙提到判断题的概率是多少？

（2）甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？

例4．已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求：A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率。

三、分步与分类不清致错

例5．某人有5把不同的钥匙，逐把地试开某房门锁，试问他恰在第3次打开房门的概率？

例6．某种射击比赛的规则是：开始时在距目标100m处射击，若命中记3分，同时停止射击。若第一次未命中，进行第二次射击，但目标已在150m远处，这时命中记2分，同时停止射击；若第2次仍未命中，还可以进行第3次射击，此时目标已在200m远处。若第3次命中则记1分，同时停止射击，若前3次都未命中，则记0分。已知身手甲在100m处击中目标的概率为，他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是的。求：射手甲得k分的概率为Pk，求P3，P2，P1，P0的值。

五、混淆“互斥”与“”出错

例7. 甲投篮命中概率为，乙投篮命中概率为，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？

六.混淆有放回与不放回致错

例8．某产品有3只次品，7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求：

（1）恰好到第5次3只次品全部被测出的概率；

（2）恰好到第k次3只次品全部被测出的概率的最大值和最小值。

作业训练

1、某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为  ,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）。     

2、电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（    ）。

3、4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(   ) 。

4、从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（   ）。

6、右图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民

百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字

和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字．

从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的

平均数为（    ）。

7、在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（   ）。