2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析

2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝　   　．

2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是　   　．

3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是　   　．

4．（5分）函数y＝的定义域是　   　．

5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是　   　．

6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　   　．

7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是　   　．

8．（5分）已知数列{an}（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是　   　．

9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是　   　．

10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是　   　．

11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是　   　．

12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是　   　．

13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是　   　．

14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，

g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是　   　．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

（1）若a＝3c，b＝，cosB＝，求c的值；

（2）若＝，求sin（B+）的值．

16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．

求证：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BE⊥C1E．

17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求点E的坐标．

18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．

19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．

（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；

（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；

（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．

20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．

（1）已知等比数列{an}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{an}为“M﹣数列”；

（2）已知数列{bn}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中Sn为数列{bn}的前n项和．

①求数列{bn}的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{cn}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值．

【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

21．（10分）已知矩阵A＝．

（1）求A2；

（2）求矩阵A的特征值．

B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin（θ+）＝3．

（1）求A，B两点间的距离；

（2）求点B到直线l的距离．

C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．

【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．

（1）求n的值；

（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．

25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集An＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，Bn＝{（0，1）

，（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令Mn＝An∪Bn∪∁n．从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．

（1）当n＝1时，求X的概率分布；

（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．

2019年江苏省高考数学答案解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．【分析】直接利用交集运算得答案．

【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，

∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．

故答案为：{1，6}．

【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．

2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值．

【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，

∴a﹣2＝0，即a＝2．

故答案为：2．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：模拟程序的运行，可得

x＝1，S＝0

S＝0.5

不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5

不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3

不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5

此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．

故答案为：5．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

4．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．

【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，

解得：﹣1≤x≤7．

∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．

故答案为：[﹣1，7]．

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．

5．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．

【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：

＝（6+7+8+8+9+10）＝8，

∴该组数据的方差为：

S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．

故答案为：．

【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

6．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．

【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，

基本事件总数n＝＝10，

选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：

m＝+＝7，

∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．

故答案为：．

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．

7．【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．

【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），

∴，解得b2＝2，即b＝．

又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．

故答案为：y＝．

【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．

8．【分析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．

【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

则，解得．

∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．

故答案为：16．

【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．

9．【分析】推导出＝AB×BC×DD1＝120，三棱锥E﹣BCD的体积：VE﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1，由此能求出结果．

【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，

∴＝AB×BC×DD1＝120，

∴三棱锥E﹣BCD的体积：

VE﹣BCD＝

＝

＝×AB×BC×DD1

＝10．

故答案为：10．

【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

10．【分析】利用导数求平行于x+y＝0的直线与曲线y＝x+（x＞0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y＝0的距离的最小值．

【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，

设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），

由，解得（x0＞0）．

∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，

最小值为．

故答案为：4．

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．

11．【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0即可．

【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，

∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，

∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，

即，则x0＝e．

∴A点坐标为（e，1）．

故答案为：（e，1）．

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．

12．【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合•＝6•得＝，进一步可得结果．

【解答】解：设＝λ＝（），

＝+＝+μ＝+μ（）

＝（1﹣μ）+μ＝+μ

∴，∴，

∴＝＝（），

＝＝﹣+，

6•＝6×（）×（﹣+）

＝（++）

＝++，

∵•＝++，

∴＝，∴＝3，

∴＝．

故答案为：

【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．

13．【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin（2α+）的值．

【解答】解：由＝﹣，得，

∴，解得tanα＝2或tan．

当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，

∴sin（2α+）＝＝；

当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，

∴sin（2α+）＝＝．

综上，sin（2α+）的值是．

故答案为：．

【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．

14．【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．

【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，

由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；

要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，

则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，

由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），

∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，

∴≤k＜．

即k的取值范围为[，）．

故答案为：[，）．

【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．【分析】（1）由余弦定理得：cosB＝＝＝，由此能求出c的值．

（2）由＝，利用正弦定理得2sinB＝cosB，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sinB＝，cosB＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+）的值．

【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

a＝3c，b＝，cosB＝，

∴由余弦定理得：

cosB＝＝＝，

解得c＝．

（2）∵＝，

∴由正弦定理得：，

∴2sinB＝cosB，

∵sin2B+cos2B＝1，

∴sinB＝，cosB＝，

∴sin（B+）＝cosB＝．

【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

16．【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．

（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．

【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，

∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，

∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，

∴A1B1∥平面DEC1．

解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．

∴BE⊥AA1，BE⊥AC，

又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，

∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．

【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

17．【分析】（1）由题意得到F1D∥BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；

（2）求出D的坐标，得到＝，写出BF2的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．

【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，

∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，

∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，

∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，

取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．

又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．

∴椭圆C的标准方程为；

（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），

∴＝，则BF2：y＝，

联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．

解得x1＝﹣1或（舍）．

∴．

即点E的坐标为（﹣1，﹣）．

【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF1∥BF2是解答该题的关键，是中档题．

18．【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）

设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；

（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；

（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．

【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，

AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，

即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，

以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）

（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，

则kBP•kAB＝﹣1，

即•＝﹣1，

解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；

（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），

则kQA•kAB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），

由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，

所以P，Q中不能有点选在D点；

（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，

QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．

【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．

19．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．

（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．

（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，通过计算化简即可证明结论．

【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，

∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，

∴4﹣a＝2，解得a＝2．

（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．

令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．

f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．

令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．

∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，

若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．

a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．

a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．

a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．

a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．

a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．

因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，

可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．

f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．

可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．

（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，

f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．

f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．

△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．

令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．

解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，

x1+x2＝，x1x2＝，

可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，

∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，

M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）

＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2]

＝＝，

∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，

∴M在x1∈（0，]上单调递减，

∴M≤＝≤．

∴M≤．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

20．【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，然后根据a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0列方程求解，在根据新定义判断即可；

（2）求出b2，b3，b4猜想bn，然后用数学归纳法证明；

（3）设{cn}的公比为q，将问题转化为，然后构造函数f（x）＝，g（x）＝，

分别求解其最大值和最小值，最后解不等式，即可．

【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则

由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得

∴，

∴数列{an}首项为1且公比为正数

即数列{an}为“M﹣数列”；

（2）①∵b1＝1，＝﹣，

∴当n＝1时，，∴b2＝2，

当n＝2时，，∴b3＝3，

当n＝3时，，∴b4＝4，

猜想bn＝n，下面用数学归纳法证明；

（i）当n＝1时，b1＝1，满足bn＝n，

（ii）假设n＝k时，结论成立，即bk＝k，则n＝k+1时，

由，得

＝＝k+1，

故n＝k+1时结论成立，

根据（i）（ii）可知，bn＝n对任意的n∈N*都成立．

故数列{bn}的通项公式为bn＝n；

②设{cn}的公比为q，

存在“M﹣数列”{cn}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有ck≤bk≤ck+1成立，

即qk﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，

当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，

当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，

即，

令f（x）＝，则，

当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，

∴当k≥3时，，

令g（x）＝，则，

令，则，

当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，

∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，

即k≥3时，，则

，

下面求解不等式，

化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，

令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，

由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，

又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，

∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，

∴m的最大值为5，此时q∈，．

【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．

【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

21．【分析】（1）根据矩阵A直接求解A2即可；

（2）矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，解方程f（λ）＝0即可．

【解答】解：（1）∵A＝

∴A2＝

＝

（2）矩阵A的特征多项式为：

f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，

令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得

λ＝1或λ＝4，

∴矩阵A的特征值为1或4．

【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题．

B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

22．【分析】（1）设极点为O，则由余弦定理可得，解出AB；

（2）根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离．

【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得

AB2＝OA2+OB2﹣2OA，

∴AB＝＝；

（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知

直线l过（3，），倾斜角为，

又B（，），

∴点B到直线l的距离为．

【点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题．

C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

23．【分析】对|x|+|2x﹣1|去绝对值，然后分别解不等式即可．

【解答】解：|x|+|2x﹣1|＝，

∵|x|+|2x﹣1|＞2，

∴或或，

∴x＞1或x∈∅或x＜﹣，

∴不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}．

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．

【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

24．【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n的值；

（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；

方法二、由于a，b∈N*，求得（1﹣）5＝a﹣b，再由平方差公式，计算可得所求值．

【解答】解：（1）由（1+x）n＝C+Cx+Cx2+…+Cxn，n≥4，

可得a2＝C＝，a3＝C＝，a4＝C＝，

a32＝2a2a4，可得（）2＝2••，

解得n＝5；

（2）方法一、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，

由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，

可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；

方法二、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，

（1﹣）5＝C+C（﹣）+C（﹣）2+C（﹣）3+C（﹣）4+C（﹣）5

＝C﹣C+C（）2﹣C（）3+C（）4﹣C（）5，

由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，

可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．

【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．

25．【分析】（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；

（2）设A（a，b）和B（c，d）是从Mn中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．

【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，

X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X＝）＝＝；

P（X＝2）＝＝；P（X＝）＝＝；

（2）设A（a，b）和B（c，d）是从Mn中取出的两个点，

因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，

①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；

②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，

此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；

③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，

此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；

④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，

此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；

综上可得当X＞n，X的所有值是或，

且P（X＝）＝，P（X＝）＝，

可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．

【点评】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．