高中数学抛物线练习题

一、选择题：

1. (浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝(    )

(A)    (B)     (C)     (D)1

2. （上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）

A．有且仅有一条 ．有且仅有两条 ．有无穷多条 ．不存在

3. 抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为

(A) 2  

4. （辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是  （ ）

 ．2+ ． ． ．21

5 .（江苏卷）抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是

6. （湖北卷）双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为    （ ）

 ． ． ． ． 

二、填空题：

7．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是             .

8．若抛物线的焦点在x轴上，则m的值是              .

9．过（－1，2）作直线与抛物线只有一个公共点，则该直线的斜率为          .

10．抛物线为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是               .

三、解答题：

11. （江西卷）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB. 

 （1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；

 （2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹

12. （上海）本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.

 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.

    (1)求抛物线方程;

 过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;

 以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.

  当m<1时, AK与圆M相交.

13、(全国卷III)

 设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。

（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；

（Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。

14.（广东卷）在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图４所示）．

（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

抛物线练习题答案

解答：一。BB  D  BB  A 

三.1. 解：（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l>0)

则直线MF的斜率为－k，方程为

∴由，消解得

∴(定值) 所以直线EF的斜率为定值

（2）直线ME的方程为

由得同理可得

设重心G（x, y），则有

消去参数得

4. [解](1) 抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5, ∴p=2.  ∴抛物线方程为y2=4x.

 ∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),

 又∵F(1,0), ∴kFA=;MN⊥FA, ∴kMN=-,

   则FA的方程为y= (x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=, ∴N的坐标(,).

(1)由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,

当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.

当m≠4时, 直线AK的方程为y= (x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,

圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d>2,解得m>1∴当m>1时, AK与圆M相离;

  当m=1时, AK与圆M相切; 当m<1时, AK与圆M相交.

8. ．解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等，

 ∵抛物线的准线是轴的平行线，依题意不同时为0

∴上述条件等价于∵

∴上述条件等价于  即当且仅当时，经过抛物线的焦点。

（Ⅱ）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点的直线方程可写为，所以满足方程  得

  为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即

13.解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 （1）

∵OA⊥OB ∴,即，……(2)

又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得

∴

所以重心为G的轨迹方程为

（II）

由（I）得

当且仅当即时，等号成立。 所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；