一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）
1．（7分）已知非零实数a，b满足|2a﹣4|+|b+2|++4=2a，则a+b等于（ ）
| A． | ﹣1 | B． | 0 | C． | 1 | D． | 2 |
2．（7分）如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA=a，OB=OC=OD=1，则a等于（ ）
| A． | B． | C． | 1 | D． | 2 |
3．（7分）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（ ）
| A． | B． | C． | D． |
4．（7分）（2006•鄂尔多斯）如图1，在直角梯形ABCD，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，由B﹣﹣C﹣﹣D﹣﹣A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果关于x的函数y的图象如图2，则△ABC的面积为（ ）
| A． | 10 | B． | 16 | C． | 18 | D． | 32 |
5．（7分）关于x，y的方程x2+xy+2y2=29的整数解（x，y）的组数为（ ）
| A． | 2组 | B． | 3组 | C． | 4组 | D． | 无穷多组 |
二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）
6．（7分）一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 _________ km．
7．（7分）已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD=AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为 _________ ．
8．（7分）已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数，若b是关于x的方程（x﹣a1）（x﹣a2）（x﹣a3）（x﹣a4）（x﹣a5）=2009的整数根，则b的值为 _________ ．
9．（7分）如图，在△ABC中，CD是高，CE为∠ACB的平分线．若AC=15，BC=20，CD=12，则CE的长等于 _________ ．
10．（7分）（2009•呼和浩特）10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 _________ ．
三、解答题（共4小题，满分80分）
11．（20分）已知抛物线y=x2与动直线y=（2t﹣1）x﹣c有公共点（x1，y1），（x2，y2），且x12+x22=t2+2t﹣3．
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值．
12．（20分）已知正整数a满足192|a3+191，且a＜2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和．
13．（20分）如图，给定锐角三角形ABC，BC＜CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．
14．（20分）n个正整数a1，a2，…，an满足如下条件：1=a1＜a2＜…＜an=2009；且a1，a2，…，an中任意n﹣1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
2009年“数学周报杯”全国初中数学竞赛决赛试卷
参与试题解析
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）
1．（7分）已知非零实数a，b满足|2a﹣4|+|b+2|++4=2a，则a+b等于（ ）
| A． | ﹣1 | B． | 0 | C． | 1 | D． | 2 |
| 考点： | 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．2148493 |
| 分析： | 首先根据算术平方根的被开方数≥0，求出a的范围，进而得出|2a﹣4|等于原值，代入原式得出+=0．这是两项非负数之和等于0．则可分别求出a和b的值． |
| 解答： | 解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是a=3，b=﹣2，从而a+b=1． 故选C． |
| 点评： | 本题主要考查了算术平方根的性质和根据两个非负数之和等于0，求未知数的值． |
2．（7分）如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA=a，OB=OC=OD=1，则a等于（ ）
| A． | B． | C． | 1 | D． | 2 |
| 考点： | 相似三角形的判定与性质；菱形的性质．2148493 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 易证△BOC∽△ABC，即可得，即，解得a的值即可解题． |
| 解答： | 解：∵∠BAC=∠BCA=∠OBC=∠OCB， ∴△BOC∽△ABC， 所以， 即， 所以，a2﹣a﹣1=0． 由a＞0， 解得． 故选A． |
| 点评： | 本题考查了菱形各边长相等的性质，等腰三角形底角相等的性质，相似三角形的判定和对应边比值相等的性质，本题中列出关于a的方程式并求解是解题的关键． |
3．（7分）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 列表法与树状图法；二元一次方程组的解．2148493 |
| 分析： | 列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． |
| 解答： | 解：当2a﹣b=0时，方程组无解； 当2a﹣b≠0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6可得． 易知a，b都为大于0的整数，则两式联合求解可得x=，y=， ∵使x、y都大于0则有＞0，＞0， ∴解得a＜1.5，b＞3或者a＞1.5，b＜3，而a，b都为1到6的整数， 所以可知当a为1时b只能是4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b为1或2， 这两种情况的总出现可能有3+10=13种； 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率为，故选D． |
| 点评： | 难点是：当方程组相同未知数的系数之比相等，但与常数项之比不相等时，方程组无解，关键是得到使方程组为正整数的解的个数．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． |
4．（7分）（2006•鄂尔多斯）如图1，在直角梯形ABCD，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，由B﹣﹣C﹣﹣D﹣﹣A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果关于x的函数y的图象如图2，则△ABC的面积为（ ）
| A． | 10 | B． | 16 | C． | 18 | D． | 32 |
| 考点： | 动点问题的函数图象．2148493 |
| 专题： | 压轴题；动点型． |
| 分析： | 主要考查了函数图象的读图能力． |
| 解答： | 解：根据图2可知当点P在CD上运动时，△ABP的面积不变，与△ABC面积相等；且不变的面积是在x=4，x=9之间； 所以在直角梯形ABCD中BC=4，CD=5，AD=5． 过点D作DN⊥AB于点N，则有DN=BC=4，BN=CD=5， 在Rt△ADN中，AN===3 所以AB=BN+AN=5+3=8 所以△ABC的面积为AB•BC=×8×4=16． 故选B． |
| 点评： | 要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． |
5．（7分）关于x，y的方程x2+xy+2y2=29的整数解（x，y）的组数为（ ）
| A． | 2组 | B． | 3组 | C． | 4组 | D． | 无穷多组 |
| 考点： | 非一次不定方程（组）．2148493 | |||||
| 专题： | 方程思想． | |||||
| 分析： | 首先将方程x2+xy+2y2=29看做是关于x的一元二次方程，根据判别式中△≥0，再根据x为整数根，且是完全平方数，确定出y2的取值．解得y值，进一步确定出x的值． | |||||
| 解答： | 解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x2+yx+（2y2﹣29）=0． 由于该方程有整数根，则判别式△≥0，且是完全平方数． 由△=y2﹣4（2y2﹣29）=﹣7y2+116≥0， 解得y2≤．于是 y2 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| △ | 116 | 109 | 88 | 53 | 4 |
当y=4时，原方程为x2+4x+3=0，此时x1=﹣1，x2=﹣3；
当y=﹣4时，原方程为x2﹣4x+3=0，此时x3=1，x4=3．
所以，原方程的整数解为
| 故选C． | |
| 点评： | 本题解题的关键是根据一次方程中根与系数的关系，利用判别式来求解． |
二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）
6．（7分）一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 3750 km．
| 考点： | 二元一次方程组的应用．2148493 |
| 专题： | 应用题；压轴题． |
| 分析： | 设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可． |
| 解答： | 解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为． 又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm． 分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有 两式相加，得， 则（千米）． 故答案为：3750． |
| 点评： | 本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． |
7．（7分）已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD=AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为 ．
| 考点： | 圆与圆的位置关系；垂径定理；相似三角形的判定与性质．2148493 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF．由题设知，又有Rt△FHA∽Rt△EFA，所以．而AF=AB，所以==． |
| 解答： | 解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF． ∵线段AB的中点为C， ∴AC=BC， ∵BD=AC， ∴BD=AC=BC， ∴， ∵AC=AB，AD=AE， ∴， 在△FHA和△EFA中， ∵∠EFA=∠FHA=90°，∠FAH=∠EAF， ∴Rt△FHA∽Rt△EFA， ∴， ∵AF=AB， ∴==． 故答案为：． |
| 点评： | 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，注意相等线段之间的等量代换． |
8．（7分）已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数，若b是关于x的方程（x﹣a1）（x﹣a2）（x﹣a3）（x﹣a4）（x﹣a5）=2009的整数根，则b的值为 10 ．
| 考点： | 一元二次方程的整数根与有理根．2148493 |
| 专题： | 探究型． |
| 分析： | 先根据已知条件可知b﹣a1，b﹣a2，b﹣a3，b﹣a4，b﹣a5是五个不同的整数，再把2009分解成五个整数积的形式，再把五个整数相加即可求出b﹣a1+b﹣a2+b﹣a3+b﹣a4+b﹣a5的值，在与a1+a2+a3+a4+a5=9联立即可求解． |
| 解答： | 解：因为（b﹣a1）（b﹣a2）（b﹣a3）（b﹣a4）（b﹣a5）=2009， 且a1，a2，a3，a4，a5是五个不同的整数， 所有b﹣a1，b﹣a2，b﹣a3，b﹣a4，b﹣a5也是五个不同的整数． 又因为2009=1×（﹣1）×7×（﹣7）×41， 所以b﹣a1+b﹣a2+b﹣a3+b﹣a4+b﹣a5=41． 由a1+a2+a3+a4+a5=9，可得b=10． 故答案为：10． |
| 点评： | 本题考查的是方程的整数根问题，根据题意把2009分解成几个整数积的形式是解答此题的关键． |
9．（7分）如图，在△ABC中，CD是高，CE为∠ACB的平分线．若AC=15，BC=20，CD=12，则CE的长等于 ．
| 考点： | 平行线分线段成比例；勾股定理．2148493 |
| 专题： | 综合题． |
| 分析： | 先根据勾股定理和勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形．再作EF⊥BC，垂足为F．根据等腰三角形的性质和平行线分线段成比例定理即可求得CE的长． |
| 解答： | 解：如图，由勾股定理知AD=9，BD=16， 所以AB=AD+BD=25． 故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形， 且∠ACB=90°． 作EF⊥BC，垂足为F．设EF=x， 由， 得CF=x，于是BF=20﹣x．由于EF∥AC， 所以， 即， 解得． 所以． 故答案为：． |
| 点评： | 本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理及平行线分线段成比例定理的理解及运用，综合性较强，有一定难度． |
10．（7分）（2009•呼和浩特）10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ﹣2 ．
| 考点： | 算术平均数．2148493 |
| 专题： | 应用题；压轴题；方程思想． |
| 分析： | 先设报3的人心里想的数为x，利用平均数的定义表示报5的人心里想的数；报7的人心里想的数；报9的人心里想的数；报1的人心里想的数，最后建立方程，解方程即可． |
| 解答： | 解：设报3的人心里想的数是x，因为报3与报5的两个人报的数的平均数是4， 所以报5的人心里想的数应是8﹣x， 于是报7的人心里想的数是12﹣（8﹣x）=4+x， 报9的人心里想的数是16﹣（4+x）=12﹣x， 报1的人心里想的数是20﹣（12﹣x）=8+x， 报3的人心里想的数是4﹣（8+x）=﹣4﹣x， 所以得x=﹣4﹣x，解得x=﹣2． 故答案为：﹣2． |
| 点评： | 本题属于阅读理解和探索规律题，考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．规律与趋势：这道题的解决方法有点奥数题的思维，题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且，多设几个未知数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决． |
三、解答题（共4小题，满分80分）
11．（20分）已知抛物线y=x2与动直线y=（2t﹣1）x﹣c有公共点（x1，y1），（x2，y2），且x12+x22=t2+2t﹣3．
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值．
| 考点： | 二次函数综合题；根与系数的关系；一次函数的性质．2148493 |
| 专题： | 应用题；压轴题． |
| 分析： | （1）利用抛物线的图象性质可以知道抛物线y=x2的图象开口向上最低点为原点，它与直线有交点则可以联立求解方程有两个实数根，便可一切定出t的取值范围． （2）有（1）中可知c可以用含有t的代数式来表示，利用二次函数求最值的相关知识求解． |
| 解答： | 解：（1）联立y=x2与y=（2t﹣1）x﹣c， 消去y得二次方程x2﹣（2t﹣1）x+c=0① 有实数根x1，x2，则x1+x2=2t﹣1，x1x2=c． 所以 ==② 把②式代入方程①得③ t的取值应满足t2+2t﹣3=x12+x22≥0，④ 且使方程③有实数根，即△=（2t﹣1）2﹣2（3t2﹣6t+4）=﹣2t2+8t﹣7≥0，⑤ 解不等式④得t≤﹣3或t≥1， 解不等式⑤得≤t≤． 所以，t的取值范围为≤t≤（t≠）⑥ （2）由②式知． 由于 在≤t≤时是递增的， 所以，当 时，． 答：当时，c有最小值：． |
| 点评： | 本题主要考查了二次函数的图象性质，以及二次函数求最值的相关知识． |
12．（20分）已知正整数a满足192|a3+191，且a＜2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和．
| 考点： | 数的整除性．2148493 |
| 专题： | 综合题． |
| 分析： | 根据已知条件得192|a3﹣1+192=3×26，因为a（a+1）+1是奇数，则192|a﹣1，于是可得a=192k+1．又0＜a＜2009，所以k=0，1，10．因此，可求得满足条件的所有可能的正整数a的和． |
| 解答： | 解：由192|a3+191，可得192|a3﹣1+192=3×26， 且a3﹣1=（a﹣1）[a（a+1）+1]=（a﹣1）a（a+1）+（a﹣1）． （5分） 因为a（a+1）+1是奇数， 所以26|a3﹣1等价于26|a﹣1， 又因为3|（a﹣1）a（a+1）， 所以3|a3﹣1等价于3|a﹣1． 因此有192|a﹣1，于是可得a=192k+1． （15分） 又∵0＜a＜2009，所以k=0，1，10． 因此，满足条件的所有可能的正整数a的和为 11+192（1+2+…+10）=10571． （20分） |
| 点评： | 本题考查了数的整除性问题，是中档题，难度不大． |
13．（20分）如图，给定锐角三角形ABC，BC＜CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．
| 考点： | 正弦定理与余弦定理．2148493 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | 由于l是切线，利用弦切角定理可得∠FCD=∠EAB，而∠DFC=∠BEA=90°，可证Rt△FCD∽Rt△EAB，那么 有=，同理可得，∠ACB既在△BCE，又在△ACD中，那么易得，即BE•CD=AD•CE，从而可证DF=EG． |
| 解答： | 解：结论是DF=EG． ∵∠FCD=∠EAB，∠DFC=∠BEA=90°， ∴Rt△FCD∽Rt△EAB， ∴=， ∴， 同理可得， 又∵， ∴BE•CD=AD•CE， ∴DF=EG． |
| 点评： | 本题利用了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、正切概念． |
14．（20分）n个正整数a1，a2，…，an满足如下条件：1=a1＜a2＜…＜an=2009；且a1，a2，…，an中任意n﹣1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
| 考点： | 数的整除性．2148493 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 设a1，a2，an中去掉ai后剩下的n﹣1个数的算术平均数为正整数bi，从而可推出n﹣1能整除（aj﹣ai），然后根据an﹣1=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）≥（n﹣1）+（n﹣1）+…+（n﹣1）=（n﹣1）2，可得出n的范围，从而结合题意可得出n的值． |
| 解答： | 解：设a1，a2，an中去掉ai后剩下的n﹣1个数的算术平均数为正整数bi，i=1，2，n．即． 于是，对于任意的1≤i＜j≤n，都有， 从而n﹣1|（aj﹣ai）， 由于是正整数， 故n﹣1|23×251， 由于an﹣1=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）≥（n﹣1）+（n﹣1）+…+（n﹣1）=（n﹣1）2， 所以，（n﹣1）2≤2008，于是n≤45， 结合n﹣1|23×251，所以，n≤9； 另一方面，令a1=8×0+1，a2=8×1+1，a3=8×2+1，a8=8×7+1， a9=8×251+1，则这9个数满足题设要求． 综上所述，n的最大值为9． |
| 点评： | 本题考查数的整除性问题，难度较大，在解答时要抓住a1，a2，…，an中任意n﹣1个不同的数的算术平均数都是正整数这个条件进行解答． |
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