浙教版九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

一、选择题：每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意．

1．计算：cos245°+sin245°=（　　）

A．            B．1                C．               D．

2．已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）

A．点P在⊙O内    B．点P在⊙O上; C．点P在⊙O外       D．无法判断

3．一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这样的骰子一次，向上一面点数是偶数的结果有（　　）

A．1种            B．2种             C．3种               D．6种

4．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（　　）

A．AD=AE       B．DB=EC        C．∠ADE=∠C     D．DE=BC

(第4题)             (第5题)              (第7题)

5．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC的值为（　　）

A．6cm           B．5cm            C．4cm               D．3cm

6．设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（　　）

A．（1，0）       B．（3，0）        C．（﹣3，0）      D．（0，﹣4）

7．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（　　）

A．3：2           B．3：1            C．1：1               D．1：2

8．如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于（　　）

A．           B．            C．             D．

(第8题)              (第9题)           (第10题)

9．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（　　）

A．25°           B．50°            C．60°             D．30°

10．如图，AB为半圆O在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE•CD，正确的有（　　）

A．2个           B．3个          C．4个             D．5个

11．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（　　）

A．        B．        C．          D．

(第11题)              (第15题)              (第16题)

12．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（　　）

A．a（x1﹣x2）=d    ;B．a（x2﹣x1）=d;C．a（x1﹣x2）2=d;D．a（x1+x2）2=d

二、填空题：每题4分，共24分．

13．若x：y=1：2，则=______．

14．一个圆锥的底面周长为2π米，母线长为2米，则该圆锥的高是______米（结果保留根号）．

15．如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于______．

16．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是______．

17．如图，如果边长为1的等边△PQR沿着边长为1的正方形ABCD的外部的边如图位置开始顺时针连续滚动，当它滚动4次时，点P所经过的路程是______．

18．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为______cm2．

三、解答题：共78分．

19．计算：2sin245°+（）0﹣|﹣1|

20．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（=1.7）．

21．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0．现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有数字为y，确定点M坐标为（x，y）．

（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标．

（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x2﹣1的图象上的概率．

22．如图，△ABC是等边三角形，D、E在BC边所在的直线上，且BC2=BD•CE．

（1）求∠DAE的度数．

（2）求证：AD2=DB•DE．

23．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：

（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 （______）元；②月销量是 （______）件；（直接写出结果）

（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？

24．如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．

（1）求证：直线BC是⊙O的切线；

（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的长．

25．阅读理解：

如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．

解决问题：

（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；

拓展探究：

（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

26．如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；

（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．

参与试题解析

一、选择题：每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意．

1．计算：cos245°+sin245°=（　　）

A．    B．1    C．    D．

【考点】特殊角的三角函数值．

【分析】首先根据cos45°=sin45°=，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．

【解答】解：∵cos45°=sin45°=，

∴cos245°+sin245°

=

=

=1．

故选：B．

2．已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）

A．点P在⊙O内    B．点P在⊙O上    C．点P在⊙O外    D．无法判断

【考点】点与圆的位置关系．

【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．

【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO=4，

∴4＜5，

∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙0内，

故选A．

3．一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这样的骰子一次，向上一面点数是偶数的结果有（　　）

A．1种    B．2种    C．3种    D．6种

【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．

【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的有3种情况．

【解答】解：一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的有3种情况，

故选：C．

4．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（　　）

A．AD=AE    B．DB=EC    C．∠ADE=∠C    D．DE=BC

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

【分析】由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项．

【解答】解：∵DE∥BC，

∴=，∠ADE=∠B，

∵AB=AC，

∴AD=AE，DB=EC，∠B=∠C，

∴∠ADE=∠C，

而DE不一定等于BC，

故选D．

5．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC的值为（　　）

A．6cm    B．5cm    C．4cm    D．3cm

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AC的长，再由勾股定理求出OC的长即可．

【解答】解：连接OA，

∵弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，

∴AC=AB=3cm．

∵OA=5cm，

∴OC===4cm．

故选C．

6．设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（　　）

A．（1，0）    B．（3，0）    C．（﹣3，0）    D．（0，﹣4）

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据二次函数的解析式可得出直线l的方程为x=3，点M在直线l上则点M的横坐标一定为3，从而选出答案．

【解答】解：∵二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线x=3，

∴直线l上所有点的横坐标都是3，

∵点M在直线l上，

∴点M的横坐标为3，

故选B．

7．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（　　）

A．3：2    B．3：1    C．1：1    D．1：2

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．

【解答】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，

∴△DEF∽△BCF，

∴=，

∵点E是边AD的中点，

∴AE=DE=AD，

∴=．

故选：D．

8．如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．

【分析】过P作PE⊥x轴于E，根据P（12，5）得出PE=5，OE=12，根据锐角三角函数定义得出tanα=，代入求出即可．

【解答】

解：过P作PE⊥x轴于E，

∵P（12，5），

∴PE=5，OE=12，

∴tanα==，

故选C．

9．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（　　）

A．25°    B．50°    C．60°    D．30°

【考点】圆周角定理；平行线的性质．

【分析】由圆周角定理求得∠BAC=25°，由AC∥OB，∠BAC=∠B=25°，由等边对等角得出∠OAB=∠B=25°，即可求得答案．

【解答】解：∵∠BOC=2∠BAC，∠BOC=50°，

∴∠BAC=25°，

∵AC∥OB，

∴∠BAC=∠B=25°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠B=25°，

故选：A．

10．如图，AB为半圆O在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE•CD，正确的有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

【考点】切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．

【分析】连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项①正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项⑤正确；由△AOD∽△BOC，可得===，选项③正确；由△ODE∽△OEC，可得，选项④错误．

【解答】解：连接OE，如图所示：

∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，

∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，

∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，

∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；

在Rt△ADO和Rt△EDO中，，

∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），

∴∠AOD=∠EOD，

同理Rt△CEO≌Rt△CBO，

∴∠EOC=∠BOC，

又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，

∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项①正确；

∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，

∴△EDO∽△ODC，

∴=，即OD2=DC•DE，选项⑤正确；

∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°，

∠A=∠B=90°，

∴△AOD∽△BOC，

∴===，选项③正确；

同理△ODE∽△OEC，

∴，选项④错误；

故选C．

11．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】三角形的内切圆与内心；正方形的性质；旋转的性质．

【分析】作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，则O即为该圆的圆心，过O作OF⊥AB1，AB=，再根据直角三角形的性质便可求出OF的长，即该四边形内切圆的圆心．

【解答】解：作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，

则∠OAF=30°，∠AB1O=45°，

故B1F=OF=OA，

设B1F=x，则AF=﹣x，

故（﹣x）2+x2=（2x）2，

解得x=或x=（舍去），

∴四边形AB1ED的内切圆半径为：．

故选：B．

12．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（　　）

A．a（x1﹣x2）=d    B．a（x2﹣x1）=d    C．a（x1﹣x2）2=d    D．a（x1+x2）2=d

【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】首先根据一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），可得y2=d（x﹣x1），y=y1+y2=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1；然后根据函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y=y1+y2与x轴的交点为（x1，0），再结合对称轴公式求解．

【解答】解：∵一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），

∴dx1+e=0，

∴y2=d（x﹣x1），

∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+d（x﹣x1）

=ax2﹣axx2﹣ax1x+ax1x2+dx﹣dx1

=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1

∵当x=x1时，y1=0，y2=0，

∴当x=x1时，y=y1+y2=0，

∵y=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1与x轴仅有一个交点，

∴y=y1+y2的图象与x轴的交点为（x1，0）

∴=x1，

化简得：a（x2﹣x1）=d

故选：B．

二、填空题：每题4分，共24分．

13．若x：y=1：2，则=　　．

【考点】比例的性质；分式的值．

【分析】根据题意，设x=k，y=2k．直接代入即可求得的值．

【解答】解：设x=k，y=2k，

∴==﹣．

14．一个圆锥的底面周长为2π米，母线长为2米，则该圆锥的高是　　米（结果保留根号）．

【考点】圆锥的计算．

【分析】首先根据地面周长求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．

【解答】解：设圆锥的底面半径为r，

则2πr=2π，

解得：r=1，

∵母线长为2米，

∴圆锥的高为=米，

故答案为：．

15．如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于　π　．

【考点】扇形面积的计算．

【分析】图中阴影部分的面积=半圆的面积﹣圆心角是120°的扇形的面积，根据扇形面积的计算公式计算即可求解．

【解答】解：图中阴影部分的面积=π×22﹣

=2π﹣π

=π．

答：图中阴影部分的面积等于π．

故答案为：π．

16．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是　　．

【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．

【分析】连接AC，根据网格特点和正方形的性质得到∠BAC=90°，根据勾股定理求出AC、AB，根据正切的定义计算即可．

【解答】解：连接AC，

由网格特点和正方形的性质可知，∠BAC=90°，

根据勾股定理得，AC=，AB=2，

则tan∠ABC==，

故答案为：．

17．如图，如果边长为1的等边△PQR沿着边长为1的正方形ABCD的外部的边如图位置开始顺时针连续滚动，当它滚动4次时，点P所经过的路程是　π　．

【考点】旋转的性质；弧长的计算．

【分析】由题意可知：等边△PQR沿着边长为1的正方形ABCD的外部的边如图位置开始顺时针连续滚动第1次，点P的运动轨迹是以R为圆心、圆心角为210°、PR为半径的弧；第2次滚动，点P没有移动；第3次滚动，点P的运动轨迹是以R为圆心、圆心角为210°、PR为半径的弧；第4次滚动，点P的运动轨迹是以R为圆心、圆心角为210°、PR为半径的弧；由此计算得出答案即可．

【解答】解：如图，

点P的运动路程为是以R为圆心、圆心角为210°、PR为半径的弧长，

点P所经过的路程为：3×=π．

故答案为：π．

18．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为　（π+﹣）　cm2．

【考点】扇形面积的计算．

【分析】连结OC，过C点作CF⊥OA于F，先根据空白图形ACD的面积=扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积，求得空白图形ACD的面积，再根据三角形面积公式得到三角形ODE的面积，再根据图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积，列式计算即可求解．

【解答】解：连结OC，过C点作CF⊥OA于F，

∵半径OA=2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，

∴OD=OE=1cm，OC=2cm，∠AOC=45°，

∴CF=，

∴空白图形ACD的面积=扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积

=﹣×

=π﹣（cm2）

三角形ODE的面积=OD×OE=（cm2），

∴图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积

=﹣（π﹣）﹣

=π+﹣（cm2）．

故图中阴影部分的面积为（π+﹣）cm2．

故答案为：（π+﹣）．

三、解答题：共78分．

19．计算：2sin245°+（）0﹣|﹣1|

【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．

【解答】解：原式=2×+1﹣+1=3﹣．

20．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（=1.7）．

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．

【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，

根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．

∵AB⊥AC，CD⊥AC，

∴四边形ABEC为矩形．

∴CE=AB=12m．

在Rt△CBE中，cot∠CBE=，

∴BE=CE•cot30°=12×=12．

在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，

得DE=BE=12．

∴CD=CE+DE=12（+1）≈32.4．

答：楼房CD的高度约为32.4m．

21．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0．现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有数字为y，确定点M坐标为（x，y）．

（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标．

（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x2﹣1的图象上的概率．

【考点】列表法与树状图法；二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】（1）利用画树状图展示所有9种等可能的结果数；

（2）根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点（0，﹣1），（1，﹣2）在函数y=﹣x2﹣1的图象上，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）画树状图为：

共有9种等可能的结果数；

（2）点M（x，y）在函数y=﹣x2﹣1的图象上的结果数为2，它们是（0，﹣1），（1，﹣2），

所以点M（x，y）在函数y=﹣x2﹣1的图象上的概率=．

22．如图，△ABC是等边三角形，D、E在BC边所在的直线上，且BC2=BD•CE．

（1）求∠DAE的度数．

（2）求证：AD2=DB•DE．

【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，利用等角的补角相等得到∠ABD=∠ACE，然后把题中已知的等式化为比例的形式，根据两边对应成比例，且夹角对应相等的两三角形相似即可得证；

（2）由于∠DAE=∠ADB=120°，∠D=∠D，推出△ABD∽△EAD根据相似三角形的性质得到，即可得到结论．

【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，

∴∠ABD=∠ACE，

∵BC2=BD•CE，

∴AB•AC=BD•CE，

即，

∴△ABD∽△ECA；

∴∠DAB=∠E，

∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠EAC=120°；

（2）∵∠DAE=∠ADB=120°，∠D=∠D，

∴△ABD∽△EAD

∴，

∴AD2=DB•DE．

23．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：

（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 （　x﹣60　）元；②月销量是 （　400﹣2x　）件；（直接写出结果）

（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据利润=售价﹣进价求出利润，运用待定系数法求出月销量；

（2）根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润．

【解答】解：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；

②设月销量W与x的关系式为w=kx+b，

由题意得，，

解得，，

∴W=﹣2x+400；

（2）由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400）

=﹣2x2+520x﹣24000

=﹣2（x﹣130）2+9800，

∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．

24．如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．

（1）求证：直线BC是⊙O的切线；

（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的长．

【考点】切线的判定与性质．

【分析】（1）连接OD，由DE∥BO，得到∠1=∠4，∠2=∠3，通过△DOB≌△COB，得到∠OCB=∠ODB，问题得证；

（2）根据三角函数tan∠DEO=tan∠2=，设；OC=r，BC=r，得到BD=BC=r，由切割线定理得到AD=2，再根据平行线分线段成比例得到比例式即可求得结果．

【解答】解：（1）连接OD，

∵DE∥BO，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

∵OD=OE，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

在△DOB与△COB中，

，

∴△DOB≌△COB，

∴∠OCB=∠ODB，

∵BD切⊙O于点D，

∴∠ODB=90°，

∴∠OCB=90°，

∴AC⊥BC，

∴直线BC是⊙O的切线；

（2）∵∠DEO=∠2，

∴tan∠DEO=tan∠2=，

设；OC=r，BC=r，

由（1）证得△DOB≌△COB，

∴BD=BC=r，

由切割线定理得：AD2=AE•AC=2（2+2r），

∴AD=2，

∵DE∥BO，

∴，

∴，

∴r=1，

∴AO=3．

25．阅读理解：

如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．

解决问题：

（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；

拓展探究：

（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．

（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．

（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．

【解答】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．

理由：∵∠A=55°，

∴∠ADE+∠DEA=125°．

∵∠DEC=55°，

∴∠BEC+∠DEA=125°．

∴∠ADE=∠BEC．

∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC．

∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．

（2）作图如下：

（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．

由折叠可知：△ECM≌△DCM，

∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，

∴∠BCE=∠BCD=30°，

∴BE=CE=AB．

在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°，

∴，

∴．

26．如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；

（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出OA的长，结合垂径定理求出OC的长，从而得到C点坐标，进而得到抛物线的解析式；

（2）求出点D的坐标为（﹣，0），根据△AOE∽△DOA，求出∠DAE=90°，判断出直线l与⊙E相切与A．

（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．设M（m， m+4），P（m，﹣m2+m﹣4），得到PM=m+4﹣（﹣m2+m﹣4）=m2﹣m+8=（m﹣2）2+，根据△PQM的三个内角固定不变，得到PQ最小=PM最小•sin∠QMP=PM最小•sin∠AEO=×=，从而得到最小距离．

【解答】解：（1）如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，

在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA===4，

∵OC⊥AB，

∴由垂径定理得，OB=OA=4，

OC=OE+CE=3+5=8，

∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），

∵抛物线的顶点为C，

∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣8）2，

将点B的坐标代入上解析的式，得a=﹣4，故a=﹣，

∴y=﹣（x﹣8）2，

∴y=﹣x2+x﹣4为所求抛物线的解析式，

（2）在直线l的解析式y=x+4中，令y=0，得x+4=0，解得x=﹣，

∴点D的坐标为（﹣，0），

当x=0时，y=4，

∴点A在直线l上，

在Rt△AOE和Rt△DOA中，

∵=， =，

∴=，

∵∠AOE=∠DOA=90°，

∴△AOE∽△DOA，

∴∠AEO=∠DAO，

∵∠AEO+∠EAO=90°，

∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直线l与⊙E相切与A．

（3）如图2，过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．

设M（m， m+4），P（m，﹣m2+m﹣4），则

PM=m+4﹣（﹣m2+m﹣4）=m2﹣m+8=（m﹣2）2+，

当m=2时，PM取得最小值，

此时，P（2，﹣），

对于△PQM，

∵PM⊥x轴，

∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，

又∠PQM=90°，

∴△PQM的三个内角固定不变，

∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，

∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，

PQ最小=PM最小•sin∠QMP=PM最小•sin∠AEO=×=，

∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，﹣）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为．