2020-2021学年湖北省武汉市八年级(下)期中数学试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.下列实数中最小的是

A. 1    B.     C.     D. 0

2.下列式子中，属于最简二次根式的是

A.     B.     C.     D. 

3.下列运算正确的是

A.     B. 

C.     D. 

4.下列判断中正确的有个

直角三角形的两边为3和4，则第三边长为5

有一个内角等于其它两个内角和的三角形是直角三角形

若三角形的三边满足，则是直角三角形

若中，：：：15：17，则是直角三角形

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

5.下列说法中错误的是

A. 平行四边形的对边相等

B. 正方形的对角线互相垂直平分且相等

C. 菱形的对角线互相垂直平分

D. 矩形的对角线互相垂直相等

6.如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知，则EF的长为

A. 

B. 

C. 

D. 3

7.如图，在中，，CD、CE分别是斜边上的高和中线，若，则CD的长为

A. 

B. 

C. 6

D. 

8.如图，在一块平地上，停在一辆大客车前9m处有一棵大树．在一次强风中，这棵树从离地面6m处正对大客车方向折断倒下，若倒下部分的长是10m，则大树倒下时会碰到客车吗？

A. 不会    B. 可能会    C. 一定会    D. 无法确定

9.已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为

A. 22    B. 26    C. 22或26    D. 13

10.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，若，，则AB的长是

A.     B.     C. 13    D. 16

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.数轴上到所表示的点的距离等于4的点所表示的数是______．

12.若，则实数______．

13.在矩形ABCD中，，，点A在上，如果与相交，且点B在内，那么的半径长可以等于______只需写出一个符合要求的数

14.如图1，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，我们把的值叫做这个菱形的“形变度”例如，当形变后的菱形是如图2形状被对角线BD分成2个等边三角形，则这个菱形的“形变度”为2：如图3，正方形由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形，、E、F是格点同时形变为，若这个菱形的“形变度”，则______．

15.已知直角三角形的两直角边分别为和则它的斜边长为         

16.如图，AB为的弦，半径OC交AB于点D，，，，则AB长为______．

17.计算：

18.；

；

．

19.某地要开发一块三角形植物园，如图，测得，，．

若入口E在边AB上，且，求从入口E到出口C的最短路线的长；

若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，，请直接写出DE的长度．

20.如图，在上依次有A、B、C三点，BO的延长线交于E，，过点C作交BE的延长线于D，AD交于点F．

求证：四边形ABCD是菱形；

连接OA、OF，若且，求劣弧的长．

21.如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．

画出关于x轴的对称图形；

将沿x轴方向向左平移4个单位得到，画出并写出顶点，，的坐标．

22.阅读下列材料，解决问题：

学习了勾股定理后我们知道：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理我们定义：如图，点M、N是线段AB上两点，如果线段AM、MN、NB能构成直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点

解决问题

在图中，如果，，则______

如图，已知点C是线段AB上一定点，在线段AB上求作一点D，使得C、D是线段AB的勾股点．李玉同学是这样做的：过点C作直线，在GH上截取，连接BE，作BE的垂直平分线交AB于点D，则C、D是线段AB的勾股点你认为李玉同学的做法对吗？请说明理由

如图，DE是的中位线，M、N是AB边的勾股点，连接CM、CN分别交DE于点G、H求证：G、H是线段DE的勾股点．

23.如图，AC是正方形ABCD的对角线，，E是AC的中点．动点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，再沿CD方向向终点D运动，以EP，EQ为邻边构造平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒．

当PE的长为5时，试求t的值．

当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长．

在整个运动过程中，当平行四边形PEQF为菱形时，求t的值．直接写出答案

24.在矩形ABCD中，，，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，若两个点同时运动的时间为x秒，解答下列问题：

设的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；

是否存在x的值，使得？试说明理由．

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：，

实数中最小的是．

故选：B．

根据实数大小比较的方法进行比较即可求解．

考查了实数大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

2.【答案】D

【解析】解：A、原式，故A不是最简二次根式，

B、原式，故B不是最简二次根式，

C、原式，故C不是最简二次根式，

故选：D．

根据最简二次根式的定义即可判断．

本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式，本题属于基础题型．

3.【答案】D

【解析】解：A、原式，所以A选项错误；

B、原式，所以B选项错误；

C、与不能合并，所以C选项错误；

D、原式，所以D选项正确．

故选：D．

根据二次根式的性质对A、B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

4.【答案】B

【解析】解：直角三角形的两边为3和4，则第三边长为5或，原来的说法错误；

有一个内角等于其它两个内角和的三角形是直角三角形是正确的；

若三角形的三边满足，即，则是直角三角形是正确的；

若中，：：：15：17，，则不是直角三角形，原来的说法错误．

故正确的有2个．

故选：B．

依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，即可得到三角形是否为直角三角形．

本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．

5.【答案】D

【解析】解：矩形对角线一定相等，但不一定相互垂直，选D说法错误．

其它三个选项说法均正确．

故选：D．

根据几种四边形的性质进行判断即可．

本题主要考查了平行四边形以及三种特殊平行四边形的性质，熟悉这几种四边形的性质是解答关键．

6.【答案】B

【解析】解：正方形纸片ABCD的边长为3，

，，

根据折叠的性质得：，，

设，

则，，，

在中，，即，解得：，

，．

故选：B．

由正方形纸片ABCD的边长为3，可得，，由根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案．

此题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

7.【答案】B

【解析】解：，CE为斜边上的中线，

为等边三角形，

，

，

，

，

，

故选：B．

根据条件可求得，可证得为等边三角形，可求得，可求得DE，则可求得CD．

本题主要考查直角三角形的性质及等边三角形的性质，根据直角三角形的性质求得BE、根据等边三角形的性质求得DE是解题的关键．

8.【答案】A

【解析】解：如图所示，米，米，

在中，根据勾股定理得，．

故选：A．

由题意知树折断的两部分与地面形成一直角三角形，根据勾股定理求出BC的长即可解答．

此题考查了勾股定理在生活中的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

9.【答案】C

【解析】解：等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，

根据三角形中位线定理可知，等腰三角形的两边长为6和10，

当腰为10时，则三边长为10，10，6时，周长为26；

当腰为6时，则三边长为6，6，10时，周长为22，

故选：C．

根据三角形中位线定理求出等腰三角形的两边长，分腰为10、腰为6两种情况，根据三角形的周长公式计算，得到答案．

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

10.【答案】D

【解析】解：连接OP、OQ分别与AC、BC相交于点G、H，

根据中点可得，，

，

，

则，

根据题意可得OP、OQ为圆的半径，AB为圆的直径，

则．

故选：D．

连接OP、OQ分别交AC、BC相交于点G、H，利用中位线定理求出的长，根据求出的长，再由求出的长，进而求出的长，即可确定出AB的长．

此题考查了圆周角定理，垂径定理，以及正方形的性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．

11.【答案】或

【解析】解：根据题意得，当点在的左边时，所表示的数为，

当点在的右边时，所表示的数为，

故答案为：或．

分两种情况：当这个点在左边时，则比小4；当这个点在右边时，则比大据此解答便可．

本题主要考查了数轴上两点间的距离，关键是分情况讨论．

12.【答案】

【解析】解：由题意可知：，

，

故答案为：

根据二次根式的性质即可求出答案．

本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的的性质，本题属于基础题型．

13.【答案】答案不唯一

【解析】

【分析】

本题考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系，解题的关键是首先确定的半径，然后确定的半径的取值范围，难度不大．

首先求得矩形的对角线的长，然后根据点A在上得到的半径为5，再根据与相交，得到的半径R满足，再由点B在内，则，在此范围内找到一个值即可．

【解答】

解：矩形ABCD中，，，

根据勾股定理可得，

点A在上，

的半径为5，

如果与相交，

的半径R满足，

点B在内，

，

，

符合要求，

故答案为：答案不唯一．

14.【答案】

【解析】解：如图，

在图2中，形变前正方形的面积为：，形变后的菱形的面积为：，

菱形形变前的面积与形变后的面积之比：：：，

这个菱形的“形变度”为2：．

菱形形变前的面积与形变后的面积之比这个菱形的“形变度”，

，

若这个菱形的“形变度”，

，

即，

．

故答案为：．

求出形变前正方形的面积，形变后菱形的面积，两面积之比菱形的“形变度”，求的面积，根据两面积之比菱形的“形变度”，即可解答．

本题考查了正方形的性质，菱形的性质以及四边形综合，根据题意得出菱形形变前的面积与形变后的面积之比是解题关键．

15.【答案】13

【解析】由勾股定理，得

斜边．

16.【答案】8

【解析】解：连接OB，如图所示：

的半径为5，，

．

，

，

，

，

，

故答案为：8．

连接OB，根据的半径为5，得出OD的长，再由垂径定理的推论得出，由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．

本题考查的是垂径定理以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

17.【答案】解：

．

【解析】直接利用二次根式的性质结合平方差公式计算得出答案．

此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

18.【答案】解：原式

；

原式

；

原式

．

【解析】利用二次根式的乘法法则运算；

利用二次根式的乘除法则运算；

先利用零指数幂的意义计算，再利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．

本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

19.【答案】解：，，，

，

为直角三角形，且，

，

为AB的中点，即CE为AB边上的中线，

；

作，交AB于点F，

，

，

，

，

在中，根据勾股定理得：，

，

则．

【解析】利用勾股定理的逆定理判断出三角形ABC为直角三角形，根据CE为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出即可；

作，交AB于点F，由，利用三线合一得到F为ED中点，利用面积法求出CF的长，再利用勾股定理求出AF的长，由求出EF的长，即可确定出ED的长．

此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．

20.【答案】证明：，

，

，

，

，

，

是的直径，

，

，

，

四边形ABCD是菱形；

，

设，则，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

是等边三角形，

，

的长．

【解析】先根据圆的性质得：，由平行线的性质得：，根据直径和等式的性质得：，由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形，由可得结论；

先设，则，根据，列方程得：，求出x的值，接着求所对的圆心角和半径的长，根据弧长公式可得结论．

本题考查平行四边形和菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、弧长公式，平行线的性质等知识，解题的关键是学会设未知数，列方程求角的度数，证明三角形是等边三角形是解题的突破点，属于中考常考题型．

21.【答案】解：如图，为所作；

如图，为所作，点，，的坐标分别为，，．

【解析】利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A、B、C点的对应点、、的坐标，然后描点即可；

利用点平移的坐标特征写出点，，的坐标，然后描点即可．

本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．

22.【答案】或

【解析】解：当BN是斜边时，．

当MN是斜边时，，

故答案为或．

如图中，连接DE．

点D在线段BE的垂直平分线上，

，

，

，

，

，，

，

、D是线段AB的勾股点．

如图3中，

，，

，

，，

，，，

，

，

，

，

、H是线段DE的勾股点．

分两种情形分别求解即可解决问题．

想办法证明即可．

利用三角形的中位线定理以及勾股定理证明即可．

本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

23.【答案】解：如图，取AB中点M，连接EM，

四边形ABCD是正方形，

，，

点M是AB中点，点E是AC中点，

，，，

，

当点P在点M上方时，

，，

，

，

，

当点P在点M下方时，

，，

，

，

，

综上所述：t的值为7或1；

如图2，

四边形PEQF是平行四边形，

，，

当点F恰好落在线段AB上时，，

，

又，，

四边形EMBQ是矩形，

，，

，

动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，

，

，

；

当▱PEQF为菱形时，，分四种情况：

当时，作于M，于N，如图3所示：

，，

，

解得：舍去，或舍去；

当时，

同得：，

解得：舍去，或，

；

当时，作于M，于N，如图4所示：

，，

，

解得：，或舍去，

；

当时，

同得：，

解得：舍去，或舍去；

综上所述：在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，t的值为或．

【解析】取AB中点M，连接EM，由三角形中位线定理可得，，，，由勾股定理可求PM的长，分两种情况讨论可求AP的长，即可求解；

由平行四边形的性质得出，，当点F恰好落在线段AB上时，得出，可证四边形EMBQ是矩形，可得，，，可求，即可求出BF的长；

由菱形的性质得出，分四种情况：当时，作于M，于N；当时；当时，作于M，于N；当时；分别由勾股定理得出方程，解方程即可．

本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理，菱形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是中，需要通过作辅助线进行分类讨论，运用勾股定理得出方程才能得出结果．

24.【答案】解：

四边形ABCD为矩形，

，，

当运动x秒时，则，，

，，

，，，

又，

，

即，

为开口向上的二次函数，且对称轴为，

当时，S随x的增大而减小，当时，S随x的增大而增大，

又当时，，当时，，但x的范围内取不到，

不存在最大值，当时，S有最小值，最小值为4；

存在，理由如下：

由可知，，，

当时，则，

，且，

∽，

，即，解得舍去或，

当时．

【解析】可用x表示出AQ、BQ、BP、CP，从而可表示出、、的面积，则可表示出S，再利用二次函数的增减性可求得是否有最大值，并能求得其最小值；

用x表示出BQ、BP、PC，当时，可证明∽，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，可求得x的值．

本题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、二次函数的最值、相似三角形的判定和性质及方程思想等．在中求得S关于x的关系式后，求S的最值时需要注意x的范围，在中证明三角形相似是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．