2009年高考试题理科数学(陕西卷)

理科数学（必修+选修Ⅱ）(陕西卷)

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则为

（A）[0，1）     （B）（0，1）     （C）[0，1]     （D）（-1，0]

答案：A

解析：不等式的解集是，而函数的定义域为，所以的交集是[0，1），故选择A

2.已知z是纯虚数,是实数,那么z等于

（A）2i           (B)i              (C)-i           (D)-2i

答案：D

解析：代入法最简单

3.函数的反函数为

（A）           (B) 

（C）           (D) 

答案：B

4.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为

（A）      （B）2      （C）     （D）2

答案：D

5.若,则的值为

（A）          （B）            （C）        (D) 

答案：A

6.若,则的值为

（A）2            （B）0              （C）        (D) 

答案：C

解析：则都能表示出来，则等于，再利用倒序相加法求得。

7.“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的

（A）充分而不必要条件                         （B）必要而不充分条件

（C）充要条件                                 (D) 既不充分也不必要条件

答案：C

解析：说明

8.在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足,则等于

（A）           （B）           （C）        (D) 

答案：A

9．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为

(A)300                (B)216             (C) 180         (D)162

答案：C

解析：分类讨论思想：

第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为

第二类：取0，此时2和4只能取一个，0还有可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为

共有，180个数

10．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

(A)               (B)           (C)         (D) 

答案：B

解析：正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该棱锥的高时正方体高的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半， 

11．若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是

(A) （，2 ）          (B) （，2 ）         (C)         (D) 

答案：B

解析：根据图像判断，目标函数需要和，平行，

由图像知函数a的取值范围是（，2 ）

12．定义在R上的偶函数满足：对任意

的，有.

则当时,有    

(A)             (B)               

(C) (C)         (D) 

答案：C

2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修选修Ⅱ）(陕西卷)

第Ⅱ卷

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题4分，共16分).

13．设等差数列的前n项和为,若,则                .

答案：1

14．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有           人。

答案：8

15．如图球O的半径为2，圆是一小圆，，A、B

是圆上两点，若A，B两点间的球面距离为，则=          .

答案： 

16．设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为                .

答案：-2

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）

17．（本小题满分12分）

  已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.

(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的值域.

17、解（1）由最低点为得A=2.

由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即， 

由点在图像上的

故     

又

（2）

当=，即时，取得最大值2；当

即时，取得最小值-1，故的值域为[-1,2]

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中， AB=1，，∠ABC=60.

(Ⅰ)证明：；

（Ⅱ）求二面角A——B的大小。

18.（本小题满分12分）

解答一（1）证：三棱柱为直三棱柱，

在中，,由正弦定理

,又

（2）解如图，作交于点D点，连结BD，

由三垂线定理知

为二面角的平面角

在

解答二（1）证三棱柱为直三棱柱，

，，

由正弦定理

如图，建立空间直角坐标系，

则  

(2) 解，如图可取为平面的法向量

设平面的法向量为，

则

不妨取

19．(本小题满分12分) 

   某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下：

（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。

19题，解（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解答a=0.2

的概率分布为

（2）设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件表示“两个月内每月均被投诉12次”

则由事件的性得

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17

20．（本小题满分12分）

已知函数，其中

若在x=1处取得极值，求a的值；

求的单调区间；

（Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围。

20. 解（Ⅰ）

∵在x=1处取得极值，∴解得

（Ⅱ）

∵     ∴

当时，在区间∴的单调增区间为

当时，

由

∴

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知， 

当时，由（Ⅱ）知，在处取得最小值

综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是

21．（本小题满分12分）

已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。

（I）求双曲线C的方程；                                 

(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。

21．（本小题满分14分）

已知双曲线C的方程为

离心率顶点到渐近线的距离为

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若求△AOB面积的取值范围.

解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线

∴

由得∴双曲线C的方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为

设

由得P点的坐标为

将P点坐标代入化简得

设∠AOB

又

记

由

当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值

∴△AOB面积的取值范围是

解答二（Ⅰ）同解答一

      （Ⅱ）设直线AB的方程为由题意知

       由{ 得A点的坐标为

       由{ 得B点的坐标为

       由得P点的坐标为  

       将P点坐标代入

设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.

     =

以下同解答一.

22．（本小题满分12分）

      已知数列满足，.

猜想数列的单调性，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：。

22题

证（1）由

由猜想：数列是递减数列

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，已证命题成立    （2）假设当n=k时命题成立，即

易知，那么

             =

即

也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立

（2）当n=1时，，结论成立

当时，易知