2016第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解析(小学中年级B组)

决赛试题A(小学中年级组)

一、填空题

1、计算：（98×76-679×8）÷（24×6+25×25×3-3）=_________。

解析：此题考察计算能力。完全靠计算也能算出正确答案。现在看一看有没有简便的方法。

原式=(98×76-97×7×8)÷[24×6+(25×25-1)×3]

=(97×76+76-97×56)÷(24×6+24×26×3)

=(97×20+76)÷(24×84)

=2016÷2016

=1

2、从1，2，3，4，5这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中：

□ + □ > □ + □

有_________种不同的填法使式子成立。（提示：1+5>2+3和5+1>2+3是不同的填法）

解析：此题意在考察同学们的推理思维能力。

右边小，先从右边1、2开始考虑(当然从左边最大5、4考虑起也可以，按个人习惯)

当右边为：

(1)1、2时，左边可为3、4，3、5，4、5

根据题意，交换也算是不同填法，则右边为1、2的种类为3×2×2=12

(2)1、3时，左边可为2、4，2、5，4、5

同样种数为12

(3)2、3时，左边可为1、5，4、5，此时种数为2×2×2=8

(4)1、4时，与2、3相同，也是8种

(5)2、4时，左边可为3、5，此时种数为2×2=4

(6)1、5时，与2、4相同，也是4种

其余数字无法满足式子，即总的种数为

12+12+8+8+4+4=48

3、将下图左边的大三角形纸板剪三刀，得到4个大小相同的小三角形纸板（第一次操作）。见下图中间。再将每个小三角形纸板剪3刀，得到16个大小相同的更小的三角形纸板（第二次操作），见下图右边。这样继续操作下去，完成前六次操作共剪了_________刀。

--》---》

解析：此题意在考察的归纳能力。只要按顺序写下来找出规律即可。

第一次：刀数3，三角形个数4

第二次：刀数3+4×3，三角形个数42

第三次：刀数3+4×3+42×3，三角形个数43

第四次：刀数3+4×3+42×3+43×3，三角形个数4?

第五次：…

第六次：刀数3+4×3+42×3+43×3+4?×3+4︺5×3，三角形个数为4︺6

题目所求为刀的总数是多少，即

3×(1+4+42+43+4?+4︺5)

=3×1365

=4095

4、一个两位数与109的乘积为四位数，它能被23整除且商是一位数，这个两位数最大等于_________。

解析：此题较容易。

这个两位数能被23整除，则这个两位数可能是23、46、69、92，另一个条件是与109的乘积是四位数，因92×109=10028，是五位数，不符合题意。则最大的是69。

5、下图中的网格是由6个相同的小正方形构成。将其中4个小正方形涂上灰色，要求每行每列都有涂色的小正方形。经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有_________种不同的涂色方法。

解析：此题只要考虑两个未涂色的格子即可。

可分为两个格子在在一二行与一三行这两个类型考虑。

一二行时，有4种情况

一三行时，有3种情况

即总数为：3+4=7种

6、有若干个连续的自然数，任取其中4个不同的数相加，可得到385个不同的和。则这些自然数有_________个。

解析：该题只要抓住重点条件，挖掘潜在的关系链即可得出结论。

关键已知条件：385个和

前提：每个和都是连续4个整数相加，所有的整数都是连续的

既然有385个和，那么最小的和是哪四个数相加，最大的呢？…

于是答案迎刃而解，有时候就是关键已知条件的深层次挖掘关系。

把这些整数从小到大顺序排列

最小的和是前面的4个连续整数，最大的和是最后面的4个整数之和。

那么这两个和之间相差多少？因为385个和也是连续的，所以，385-1=384是他们的差值，则384÷4=96，这是最大4个连续整数与最小4个连续整数的平均差值，即是4个大数中最小的整数与该若干连续整数中的最小数之差。所以，所求整数个数应为96+4=100

7、在4×4方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数，每行、每列及每条对角线上的4个数之积都相等。下图给出了几个所填的数，那么心符号所在的小方格中所填的数是_________。

解析：此题可假设第二列底部数字为x(当然也可假设第二行左边的数字)，则每行的总和为140+x，可求出第二行左边空格为92+x，则再计算出第一列底部数字为30，此时

心符号=140+x-(30++x)

=46

此题实际上有一个问题，经过计算第一行第三个数字为负数-4，小学未曾学过，但对所求结果也无多大妨碍。

8、甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒。若他们同时从同一端出发跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇_________次（端点除外）。

解析：此题通过分析也比较容易。关键问题就是看在端点上相遇几次。这里用一种速算方法。

因两人从同一端点出发，那么两人每相遇一次，即两人共同走了两圈，则按照这个规则，计算出总圈数。

60×15×(3+5)÷120=60(圈)

即15分钟时两人共走了60圈，如果不考虑相遇点的情况，相遇的次数是60÷2=30

再分析端点相遇的次数：

120÷5=24(秒)即甲24秒走完全程

120÷3=40(秒)即乙40秒走完全程

求出24与40的最小公倍数为120，即在120秒时，甲乙两人在端点相遇，则有端点相遇的次数是900÷120=7…60，即甲乙两人在相遇的次数为7次。那么就有他们在15分钟时共迎面相遇的次数是30-7=23(端点除外)。

此题，为什么要将端点相遇时不算在内，意在考察同学们对此类型题理解的深刻程度。

二、简答题

9、下图中有一个边长为6厘米的正方形ABCD与一个斜边长为8厘米的等要直角三角形AEF，E在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？

解析：此题意在考察作图分析能力。较容易。

等腰直角三角形AEF的点F忘了标出。只要分别过点F作AB的垂线，再过点F作CG的垂线，即可解出。

列式为：6×6÷2+(6-2)×(8÷2-2)÷2=22(平方厘米)

10、有10个两两不同的自然数，其中任意5个的乘积是偶数，全部10个数的和是奇数。则这10个自然数的和最小是多少？

解析：从关键语句得出结论

任意5个数的乘积是偶数?奇数个数为<>

全部10个数的和为奇数?奇数个数=3或者1

当奇数个数为3时，此时偶数最小是2.4.6.8.10.12.14，那么此时10个数的最小值是1+3+5+2+4+6+8+10+12+14=65

当奇数个数为1个时，和明显大于奇数为3个。故65为10个自然数的最小值。

11、在1到200这200个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的乘积等于238？

解析：此题运用到抽屉原理。

首先将238分解质因数，即，

238=2×7×17，而后写成两数之积形式

238=2×119=14×17=7×34

有且只有这三种组合

那么根据抽屉原理，可知

至少选出200-3+1=198个数才能确保必有2个数的乘积等于238。

12、最初，盒子中有3张卡片：分别写这1、2、3.每次，从盒子里取出两张卡片，将上面的数之和写到另一张空白纸上，再把三张卡片放回盒子。如此5次后，除了最后一张写数的卡片外，其他的卡片都至少取出过一次，不超过两次。问：此时盒子里面卡片上的数最大为多少？

解析：此题要算出卡片的最大值，而规则，每张卡片至少用到1次，即最小的数1、2、3至少用到1次，那么当然是较小的数用到较少的次数才行，尽量取较大的数用。按照这个规则，可按如下方式：

第一次：2、3取出，新卡片：2+3=5

第二次：1、5取出，新卡片：1+5=6

为什么此时要取出最小的卡片，因为此时不取的话，将会取出2或3卡片第二次，我们要尽量避免小卡片用两次。

第三次：5、6取出，新卡片：5+6=11

第四次：6、11取出，新卡片：6+11=17

第五次：11、17取出，新卡片：11+17=28