实验五 基于Matlab的信号频谱分析(复杂)

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实验五  基于Matlab的信号频谱分析

(一)实验目的

直接序列扩频通信系统是目前应用最为广泛的系统。在扩频过程中，对于频谱的分析是重要研究内容，因此本实验目的在于熟悉信号的傅里叶变换，用傅里叶变换进行相应的频谱分析。

(二)实验设备

计算机，Matlab软件

(三)实验要求

本实验属于验证实验，请完成（四）实验内容的实验仿真，并将仿真结果截图至指定位置（注意：共3处）。

请在页眉处填写班级、学号、姓名，并将实验报告命名为“实验五_学号_姓名”，并通过FTP上传至指定文件夹。

(四)实验内容

a）周期信号的傅里叶级数

（1）基本原理

若一周期信号，其中为整数，成为信号的周期。若周期信号在一个周期内可积，则可通过傅立叶级数对该信号进行展开。其傅立叶展开式如（2－1）式所示：

                     （1－1）

其中，，为信号周期；为信号的基波；为傅立叶展开系数，其物理意义为频率分量的幅度和相位。

式1－1表明：信号可以展开成一系列频率为的整数倍的正弦、余弦信号的加权叠加，其中相应频率分量的加权系数即为，因此可以用周期信号的傅立叶展开来重构该周期信号，其逼近程度与展开式的项数有关。

（2）举例

设周期信号一个周期的波形为，求该信号傅里叶级数展开式，并用MATLAB画出傅里叶级数展开后的波形，并通过展开式项数的变化考察其对的逼近程度，考察其物理意义。

解：

注：

源代码：

clear all;

N=20;%取展开式的项数为2N+1项

%可以改为N=input('input N:')

T=1;%周期为1

fs=1/T;

N_sample=128;%为了画波形，设置每个周期的采样点数

dt=1/ N_sample;%时间分辨率

t=0:dt:10*T-dt;%取10个周期

n=-N:N;

Fn=sinc(n/2).*exp(-j*n*pi/2);%求傅立叶系数

Fn(N+1)=0;%当n=0时，代入Fn得Fn=0，由于数组的序号是从1开始的，即n=-N

%时对应Fn(1), n=0时对应Fn(n+1)，即n=N时对应Fn(2N+1)

ft=zeros(1,length(t));%建立一个全零数组，其长度和原始信号长度相同，用

%来存放由傅里叶展开恢复的信号

for m=-N:N;%一共2N+1项累加。

ft=ft+Fn(m+N+1)*exp(j*2*pi*m*fs*t);%Fn是一个数组，而MATLAB中数组中

%元素的序号是从1开始的，故Fn序号是从1开始的，到2N＋1结束，该语句中%体现为为Fn(m+N+1)而当n=0时，Fn=0，在数组中的位置为第N+1个元素，故

%令Fn(N+1)=0

end

plot(t,ft)

仿真结果截图：

N=100时 （图1）

N=20时 （图2）

可以看出：用周期信号的傅立叶展开来重构该周期信号，其逼进程度与展开式的项数有关。

b）信号的傅里叶变换及其反变换

（1）基本原理

对于非周期信号，满足绝对可积的条件下，可利用傅里叶变换对其进行频域分析。

，

其中，称为信号傅里叶变换，表示了该信号的频谱特性。

在数字信号处理中，需要利用离散傅立叶变换（DFT）计算信号的傅里叶变换，现在考察一下信号的傅里叶变换与其离散傅立叶变换之间的关系。

将信号按照时域均匀抽样定理进行等间隔抽样后，得到序列，，其中，为抽样间隔，则由数字信号处理的知识可知，序列的离散傅立叶变换为

其中，N为采样点数。

而在一段时间内的傅立叶变换为

得到在一段时间内的傅立叶变换是连续谱，而对进行离散傅立叶变换得到的是离散谱，为了比较它们之间的关系，对也进行等间隔抽样，且抽样间隔为，即其频率分辨率，则在频率范围内，

可以看到，的离散傅里叶变换与在一段时间内的傅立叶变换的抽样成正比。由于N点离散傅里叶变换具有的性质，故信号连续谱的负半轴部分可以通过对的平移得到。

需要注意的是信号的离散傅立叶变换只和信号在一段时间内的傅立叶变换有关，而由公式1－1，的频谱是在时间上得到的。所以上述计算所得到的并不是真正的信号频谱，而是信号加了一个时间窗后的频谱。当信号是随时间衰减的或是时限信号，只要时间窗足够长，可以通过这种方法获得信号的近似频谱。因此，用DFT计算的信号频谱精度依赖于信号、抽样的时间间隔和时间窗的大小。一般情况下，对于时限信号，在抽样时间间隔小，即抽样频率高的情况下能获得较为精确的信号频谱。

计算信号的离散傅里叶变换在数字信号处理中有一种高效算法，即快速傅里叶变换FFT，Matlab中也有专门的工具，下面简要介绍：

fft(x)，x是离散信号，或对模拟信号取样后的离散值。

ifft(x), x是对信号进行快速傅里叶变换后的离散谱。

源代码一：

利用fft,fftshift定义函数T2F计算信号的傅立叶变换

function [f,sf]=T2F(t,st)%该子函数需要两个参数t和st。

%t—离散时间；st—离散信号

dt=t(2)-t(1) ;% 时间分辨率

T=t(end) ;

df=1/T ;%频率分辨率

N=length(st) ;%离散傅立叶变换长度

f=-N/2*df :df :N/2*df-df ;%设定频谱区间，注意要关于原点对称，共有N个

%点，包括0点，故要减去一个df

sf=fft(st);

sf=T/N*fftshift(sf);%信号的频谱与离散傅立叶变换之间的关系，%fftshift(x)是将信号的频谱x进行移位，与原点对称。

源代码二：

利用ifft,fftshift定义函数T2F计算信号的傅立叶反变换

function [t,st]= F2T (f,sf)

%f离散的频率；sf—信号的频谱

df=f(2)-f(1) ; %频率分辨率

Fmx=f(end)-f(1)+df ;%频率区间长度

dt=1/Fmx ; %已知频率区间长度时，求时间分辨率，由前面频率分辨率公式△f=df=1/T，

%T=dt*N，得到△f=df=1/ (dt*N)，故dt=1/(df*N)=1/Fmx，即时间分辨率

N=length(sf) ;

T=dt*N; %信号持续时间

t=0:dt:T-dt;

%离散傅立叶反变换，是T2F的逆过程

sff=fftshift(sf); %把对称的频谱进行平移，平移后同T2F中的sf

st=Fmx*ifft(sff); %由于T2F中求信号频谱在DFT基础上乘了一个因子T/N，反变换求信号时要乘以其倒数即N / T＝1/dt，正好等于Fmx。

（2）举例

设非周期信号，求该信号的傅里叶变换，用MATLAB画出傅里叶变换后的频谱，并对频谱进行反变换，画出的波形。

解：

主程序：

clear all

T=1;

N_sample=128;%为了画波形，设置每个周期的采样点数

dt=1/ N_sample;%时间分辨率

t=0:dt:T-dt;

st=[ones(1, N_sample/2), -ones(1, N_sample/2)];%依据T将信号离散化

subplot(311);plot(t,st);axis([0 1 -2 2]);xlabel('t');ylabel('s(t)');

subplot(312) ;

[f,sf]=T2F(t,st) ;

plot(f,abs(sf)) ;hold on ;%画出sf的幅度谱，不含相位

axis([-10 10 0 1]);

xlabel('f');ylabel('|S(f)|');

sff=T^2*j*pi*f*0.5.*exp(-j*2*pi*f*T).*sinc(f*T*0.5).*sinc(f*T*0.5);

 %依据傅里叶变换求信号频谱

plot(f,abs(sff),'r-')

[t,st]= F2T (f,sf);%进行离散傅立叶反变换，求原始信号

subplot(313) ;

axis([0 1 -2 2]);

xlabel('t');ylabel('恢复的s(t)');

plot(t,st) ;hold on ;

仿真结果截图（图3）：