参与试题解析
一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分
1．（5分）（2015•陕西）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（ ）
| A． | [0，1] | B． | （0，1] | C． | [0，1） | D． | （﹣∞，1] |
| 考点： | 并集及其运算．菁优网版权所有 |
| 专题： | 集合． |
| 分析： | 求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案． |
| 解答： | 解：由M={x|x2=x}={0，1}， N={x|lgx≤0}=（0，1]， 得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]． 故选：A． |
| 点评： | 本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题． |
2．（5分）（2015•陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
| A． | 93 | B． | 123 | C． | 137 | D． | 167 |
| 考点： | 收集数据的方法．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题；概率与统计． |
| 分析： | 利用百分比，可得该校女教师的人数． |
| 解答： | 解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为40×150%=60， ∴该校女教师的人数为77+60=137， 故选：C． |
| 点评： | 本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础． |
3．（5分）（2015•陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
| A． | 5 | B． | 6 | C． | 8 | D． | 10 |
| 考点： | 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 |
| 专题： | 三角函数的图像与性质． |
| 分析： | 由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值． |
| 解答： | 解：由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣1时， 函数取最小值ymin=﹣3+k=2，解得k=5， ∴y=3sin（x+φ）+5， ∴当当sin（x+φ）取最大值1时， 函数取最大值ymax=3+5=8， 故选：C． |
| 点评： | 本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题． |
4．（5分）（2015•陕西）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，则n=（ ）
| A． | 7 | B． | 6 | C． | 5 | D． | 4 |
| 考点： | 二项式定理的应用．菁优网版权所有 |
| 专题： | 二项式定理． |
| 分析： | 由题意可得==15，解关于n的方程可得． |
| 解答： | 解：∵二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15， ∴=15，即=15，解得n=6， 故选：B． |
| 点评： | 本题考查二项式定理，属基础题． |
5．（5分）（2015•陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
| A． | 3π | B． | 4π | C． | 2π+4 | D． | 3π+4 |
| 考点： | 由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题；空间位置关系与距离． |
| 分析： | 根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积． |
| 解答： | 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是圆柱体的一半， ∴该几何体的表面积为 S几何体=π•12+π×1×2+2×2 =3π+4． 故选：D． |
| 点评： | 本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目． |
6．（5分）（2015•陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | |
| C． | 充分必要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
| 考点： | 必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 |
| 专题： | 简易逻辑． |
| 分析： | 由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出． |
| 解答： | 解：由cos2α=cos2α﹣sin2α， ∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件． 故选：A． |
| 点评： | 本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题． |
7．（5分）（2015•陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（ ）
| A． | ||≤|||| | B． | ||≤|||﹣||| | |
| C． | （）2=||2 | D． | （）•（）=2﹣2 |
| 考点： | 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 |
| 专题： | 平面向量及应用． |
| 分析： | 由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得． |
| 解答： | 解：选项A正确，∵||=|||||cos＜，＞|， 又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立； 选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||； 选项C正确，由向量数量积的运算可得（）2=||2； 选项D正确，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2． 故选：B |
| 点评： | 本题考查平面向量的数量积，属基础题． |
8．（5分）（2015•陕西）根据如图框图，当输入x为2006时，输出的y=（ ）
| A． | 2 | B． | 4 | C． | 10 | D． | 28 |
| 考点： | 程序框图．菁优网版权所有 |
| 专题： | 图表型；算法和程序框图． |
| 分析： | 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣2时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10． |
| 解答： | 解：模拟执行程序框图，可得 x=2006， x=2004 满足条件x≥0，x=2002 满足条件x≥0，x=2000 … 满足条件x≥0，x=0 满足条件x≥0，x=﹣2 不满足条件x≥0，y=10 输出y的值为10． 故选：C． |
| 点评： | 本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． |
9．（5分）（2015•陕西）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（ ）
| A． | q=r＜p | B． | p=r＜q | C． | q=r＞p | D． | p=r＞q |
| 考点： | 不等关系与不等式．菁优网版权所有 |
| 专题： | 不等式的解法及应用． |
| 分析： | 由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系． |
| 解答： | 解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb）， q=f（）=ln（）≥ln（）=p， r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb）， ∴p=r＜q， 故选：B |
| 点评： | 本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题． |
10．（5分）（2015•陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
| 甲 | 乙 | 原料限额 | |
| A（吨） | 3 | 2 | 12 |
| B（吨） | 1 | 2 | 8 |
| A． | 12万元 | B． | 16万元 | C． | 17万元 | D． | 18万元 |
| 考点： | 简单线性规划的应用．菁优网版权所有 |
| 专题： | 不等式的解法及应用． |
| 分析： | 设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值． |
| 解答： | 解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元， 则， 目标函数为 z=3x+4y． 作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域． 由z=3x+4y得y=﹣x+， 平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大， 此时z最大， 解方程组，解得， 即B的坐标为x=2，y=3， ∴zmax=3x+4y=6+12=18． 即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元， 故选：D． |
| 点评： | 本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键． |
11．（5分）（2015•陕西）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（ ）
| A． | + | B． | + | C． | ﹣ | D． | ﹣ |
| 考点： | 几何概型．菁优网版权所有 |
| 专题： | 概率与统计． |
| 分析： | 由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得． |
| 解答： | 解：∵复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R）且|z|≤1， ∴|z|=≤1，即（x﹣1）2+y2≤1， ∴点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部， 而y≥x表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形） ∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比， ∴所求概率P== 故选：D． |
| 点评： | 本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题． |
12．（5分）（2015•陕西）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
| A． | ﹣1是f（x）的零点 | B． | 1是f（x）的极值点 | |
| C． | 3是f（x）的极值 | D． | 点（2，8）在曲线y=f（x）上 |
| 考点： | 二次函数的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用． |
| 分析： | 可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论． |
| 解答： | 解：可采取排除法． 若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b， 即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②， 又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零整数． 若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈∅，不成立； 若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不为非零整数，不成立； 若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不为非零整数，不成立． 故选：A． |
| 点评： | 本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属于中档题． |
二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）（2015•陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 5 ．
| 考点： | 等差数列．菁优网版权所有 |
| 专题： | 等差数列与等比数列． |
| 分析： | 由题意可得首项的方程，解方程可得． |
| 解答： | 解：设该等差数列的首项为a， 由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2 解得a=5 故答案为：5 |
| 点评： | 本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题． |
14．（5分）（2015•陕西）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p= 2 ．
| 考点： | 抛物线的简单性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． |
| 分析： | 先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值． |
| 解答： | 解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣， ∴=，∴p=2， 故答案为：2． |
| 点评： | 本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程 y2=2px中p的意义． |
15．（5分）（2015•陕西）设曲线y=ex在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为 （1，1） ．
| 考点： | 利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 |
| 专题： | 导数的概念及应用． |
| 分析： | 利用y=ex在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标． |
| 解答： | 解：∵f'（x）=ex， ∴f'（0）=e0=1． ∵y=ex在（0，1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直 ∴点P处的切线斜率为﹣1． 又y'=﹣，设点P（x0，y0） ∴ ∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1 ∴y0=1 ∴点P（1，1） 故答案为：（1，1） |
| 点评： | 本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中． |
16．（5分）（2015•陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1.2 ．
| 考点： | 直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有 |
| 专题： | 创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程． |
| 分析： | 建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果． |
| 解答： | 解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=ax2，因为抛物线经过（5，2），可得a=， 所以抛物线方程：y=， 横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为： 2×=2（）=， 等腰梯形的面积为：=16，当前最大流量的横截面的面积16﹣， 原始的最大流量与当前最大流量的比值为：=1.2． 故答案为：1.2． |
| 点评： | 本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键． |
三、解答题，共5小题，共70分
17．（12分）（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．
| 考点： | 余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有 |
| 专题： | 解三角形． |
| 分析： | （Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A； （Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积． |
| 解答： | 解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行， 所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0， 所以tanA=，可得A=； （Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3， △ABC的面积为：=． |
| 点评： | 本题考查余弦定理以及宰相肚里的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力． |
18．（12分）（2015•陕西）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．
| 考点： | 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 空间位置关系与距离；空间角． |
| 分析： | （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD⊥平面A1OC； （Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值． |
| 解答： | 证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=， ∴BE⊥AC， 即在图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC， 则BE⊥平面A1OC； ∵CD∥BE， ∴CD⊥平面A1OC； （Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE， 由（Ⅰ）知BE⊥OA1，BE⊥OC， ∴∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角， ∴∠A1OC=， 如图，建立空间坐标系， ∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED ∴B（，0，0），E（﹣，0，0），A1（0，0，），C（0，0）， =（﹣，0），=（0，﹣）， 设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），平面A1CD的法向量为=（a，b，c）， 则得，令x=1，则y=1，z=1，即=（1，1，1）， 由得， 取=（0，1，1）， 则cos＜＞===， ∵平面A1BC与平面A1CD为钝二面角， ∴平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为﹣． |
| 点评： | 本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法． |
19．（12分）（2015•陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
| T（分钟） | 25 | 30 | 35 | 40 |
| 频数（次） | 20 | 30 | 40 | 10 |
（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
| 考点： | 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 | ||||
| 专题： | 概率与统计． | ||||
| 分析： | （Ⅰ）求T的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数÷样本容量，数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）； （Ⅱ）设T1，T2分别表示往、返所需时间，事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”，先求出P（）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.09，即P（A）=1﹣P（）=0.91． | ||||
| 解答： | 解（Ⅰ）由统计结果可得T的频率分布为 T（分钟） | 25 | 30 | 35 | 40 |
| 频率 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1 |
| T | 25 | 30 | 35 | 40 |
| P | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1 |
（Ⅱ）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”
P（）=P（T1+T2＞70）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09
故P（A）=1﹣P（）=0.91
| 故答案为：（Ⅰ）分布列如上表，数学期望ET=32（分钟）（Ⅱ）0.91 | |
| 点评： | 本题考查了频率=频数÷样本容量，数学期望，对学生的理解事情的能力有一定的要求，属于中档题． |
20．（12分）（2015•陕西）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．
| 考点： | 直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．菁优网版权所有 |
| 专题： | 创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． |
| 分析： | （Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程． |
| 解答： | 解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0， 则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b， e===； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，① 由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=， 易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得 （1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=．x1x2=， 由x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=， 从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=•|x1﹣x2|=• ==，解得b2=3， 则有椭圆E的方程为+=1． |
| 点评： | 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题． |
21．（12分）（2015•陕西）设fn（x）是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）证明：函数Fn（x）=fn（x）﹣2在（，1）内有且仅有一个零点（记为xn），且xn=+x；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn（x），比较fn（x）和gn（x）的大小，并加以证明．
| 考点： | 数列的求和；等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有 |
| 专题： | 综合题；创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列． |
| 分析： | （Ⅰ）由Fn（x）=fn（x）﹣2=1+x+x2+…++xn﹣2，求得Fn（1）＞0，Fn（）＜0．再由导数判断出函数Fn（x）在（，1）内单调递增，得到Fn（x）在（，1）内有且仅有一个零点xn，由Fn（xn）=0，得到； （Ⅱ）先求出，构造函数h（x）=fn（x）﹣gn（x）=1+x+x2+…++xn﹣，当x=1时，fn（x）=gn（x）． 当x≠1时，利用导数求得h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，得到fn（x）＜gn（x）． |
| 解答： | 证明：（Ⅰ）由Fn（x）=fn（x）﹣2=1+x+x2+…++xn﹣2， 则Fn（1）=n﹣1＞0， Fn（）=1+． ∴Fn（x）在（，1）内至少存在一个零点， 又，∴Fn（x）在（，1）内单调递增， ∴Fn（x）在（，1）内有且仅有一个零点xn， ∵xn是Fn（x）的一个零点，∴Fn（xn）=0， 即，故； （Ⅱ）由题设，， 设h（x）=fn（x）﹣gn（x）=1+x+x2+…++xn﹣，x＞0． 当x=1时，fn（x）=gn（x）． 当x≠1时，． 若0＜x＜1，h′（x）＞=． 若x＞1，h′（x）＜=． ∴h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减， ∴h（x）＜h（1）=0，即fn（x）＜gn（x）． 综上，当x=1时，fn（x）=gn（x）； 当x≠1时，fn（x）＜gn（x）． |
| 点评： | 本题考查了函数零点的判定方法，考查了等比数列的前n项和，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化与化归等思想方法，是中档题． |
四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）（2015•陕西）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．
| 考点： | 直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 |
| 专题： | 直线与圆． |
| 分析： | （Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA； （Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径． |
| 解答： | 证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径， 则∠BED+∠EDB=90°， ∵BC⊥DE， ∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED， ∵AB切⊙O于点B， ∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA； （Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA， 则=3， ∵BC=， ∴AB=3，AC=， 则AD=3， 由切割线定理得AB2=AD•AE， 即AE=， 故DE=AE﹣AD=3， 即可⊙O的直径为3． |
| 点评： | 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键． |
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
| 考点： | 点的极坐标和直角坐标的互化．菁优网版权所有 |
| 专题： | 坐标系和参数方程． |
| 分析： | （I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；． （II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出． |
| 解答： | 解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ． ∴ρ2=2，化为x2+y2=， 配方为=3． （II）设P，又C． ∴|PC|==≥2， 因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）． |
| 点评： | 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． |
六、选修4-5：不等式选讲
24．（2015•陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求+的最大值．
| 考点： | 不等关系与不等式．菁优网版权所有 |
| 专题： | 不等式的解法及应用． |
| 分析： | （Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得； （Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值． |
| 解答： | 解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a， 又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}， ∴，解方程组可得； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+ =+≤ =2=4， 当且仅当=即t=1时取等号， ∴所求最大值为4 |
| 点评： | 本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题． |
2015年陕西省高考数学试卷（理科）
一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分
1．（5分）（2015•陕西）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（ ）
| A． | [0，1] | B． | （0，1] | C． | [0，1） | D． | （﹣∞，1] |
2．（5分）（2015•陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
| A． | 93 | B． | 123 | C． | 137 | D． | 167 |
3．（5分）（2015•陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
| A． | 5 | B． | 6 | C． | 8 | D． | 10 |
4．（5分）（2015•陕西）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，则n=（ ）
| A． | 7 | B． | 6 | C． | 5 | D． | 4 |
5．（5分）（2015•陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
| A． | 3π | B． | 4π | C． | 2π+4 | D． | 3π+4 |
6．（5分）（2015•陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | |
| C． | 充分必要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
7．（5分）（2015•陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（ ）
| A． | ||≤|||| | B． | ||≤|||﹣||| | |
| C． | （）2=||2 | D． | （）•（）=2﹣2 |
8．（5分）（2015•陕西）根据如图框图，当输入x为2006时，输出的y=（ ）
| A． | 2 | B． | 4 | C． | 10 | D． | 28 |
9．（5分）（2015•陕西）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（ ）
| A． | q=r＜p | B． | p=r＜q | C． | q=r＞p | D． | p=r＞q |
10．（5分）（2015•陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
| 甲 | 乙 | 原料限额 | |
| A（吨） | 3 | 2 | 12 |
| B（吨） | 1 | 2 | 8 |
| A． | 12万元 | B． | 16万元 | C． | 17万元 | D． | 18万元 |
11．（5分）（2015•陕西）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（ ）
| A． | + | B． | + | C． | ﹣ | D． | ﹣ |
12．（5分）（2015•陕西）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
| A． | ﹣1是f（x）的零点 | B． | 1是f（x）的极值点 | |
| C． | 3是f（x）的极值 | D． | 点（2，8）在曲线y=f（x）上 |
二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）（2015•陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．
14．（5分）（2015•陕西）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p= ．
15．（5分）（2015•陕西）设曲线y=ex在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为 ．
16．（5分）（2015•陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
三、解答题，共5小题，共70分
17．（12分）（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．
18．（12分）（2015•陕西）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．
19．（12分）（2015•陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
| T（分钟） | 25 | 30 | 35 | 40 |
| 频数（次） | 20 | 30 | 40 | 10 |
（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
20．（12分）（2015•陕西）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．
21．（12分）（2015•陕西）设fn（x）是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）证明：函数Fn（x）=fn（x）﹣2在（，1）内有且仅有一个零点（记为xn），且xn=+x；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn（x），比较fn（x）和gn（x）的大小，并加以证明．
四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）（2015•陕西）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
六、选修4-5：不等式选讲
24．（2015•陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求+的最大值．
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